江苏省南京市建邺区2025-2026学年九年级上学期数学期末练习卷

江苏省南京市建邺区2025-2026学年 九年级（上）数学期末练习卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，那么得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 3.下列各组图形中，不是相似图形的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在等边三角形中，延长到点，连接，若，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 5.如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点若是某正边形的一个外角，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知二次函数，其图象上有两点，，则和的大小关系为(    ) A. B. C. D. 不能判断 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.如果，那么____． 8.若∽，相似比为：，则对应周长的比值是______． 9.圆锥的高为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积等于__________结果用含的式子表示． 10.若，是方程的两根，则的值______． 11.在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共个，其中红球个，绿球个，这些小球除颜色外没有任何其它区别袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出个小球，则取到黄球的概率是        ． 12.黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联如图，在中，，，，点在线段上，过点分别作于点，于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为      ． 13.如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，点、、的对应点分别是点、、如果点恰好在边的延长线上，那么线段的长为      ． 14.如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折到处，分别延长、，交、边于点、连接交于点若，则       ；       ． 15.如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的的取值范围是          ． 16.如图，半径为的与正五边形相切于点，，则劣弧的长度为____． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.解下列方程： ． 四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． 若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则生产线至少加工多少小时？ 原计划，生产线每天均工作小时由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个，生产线每小时比原计划多生产个若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 19.本小题分 消防教育进校园，消防安全记心间为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁位老师中随机选取位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师请用画树状图法或列表法，求被选到的位老师是一男一女的概率． 20.本小题分 人工智能越来越应用广泛，中学生也应该逐步了解人工智能某中学对学生就人工智能的了解程度进行调查，随机从七、八年级各抽取了名学生参与“人工智能”知识竞赛，并对数据成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级成绩的频数分布直方图如下：数据分成五组：，，，， 七年级成绩在的数据如下：单位：分 ，，，，，，，，，，， 七、八年级各抽取的名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： 表中 ______， ______，请补全七年级成绩的频数分布直方图； 综合以上信息，请问七、八年级哪个年级对人工智能知识掌握得更好？请说明理由一条理由即可； 竞赛成绩分及以上记为优秀，八年级的成绩按分数从大到小排列，第和第个数据均为分，且得分的学生只有这两名该校七年级和八年级共有名学生，请估计七年级和八年级成绩优秀的学生总人数． 21.本小题分 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为求抛物线的表达式及点的坐标； 判断的形状． 22.本小题分 如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为的中点，连结． 求证：是半圆的切线； 若，，则的长为          ． 23.本小题分 已知：如图，在中，点在边上，点在线段上，且． 求证：； 当点为中点时，求证：． 24.本小题分 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． 若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ 若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ 每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 25.本小题分 如图，为的直径，为上一点，点为的中点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求的半径长． 26.本小题分 对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整． 在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象． 列表： 其中，_______． 描点：请根据上述数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点． 连线：画出该函数的图象． 观察函数图象，写出两条函数的性质： ______________________________________________________________________________； ______________________________________________________________________________． 进一步探究函数图象，并解决问题： 平行于轴的一条直线与的图象有两个交点，则的取值范围为__________________． 已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程的解为________________． 27.本小题分 定义：如图，若点在三角形的一条边上，且过点和三角形一个顶点的直线将三角形分成两个三角形，若其中一个三角形与原三角形相似，则称点为这个三角形的“理想点”． 如图，若点是的边的中点，，，试判断点是不是 的“理想点”，并说明理由； 如图，在中，，，，若点是的“理想点”，直接写出的长____________． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解一元二次方程因式分解法，属于基础题． 根据一元二次方程的解法因式分解法即可求出答案． 【解答】 解：， ， ， 或， 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变换求解更加简便． 根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【解答】 解：抛物线向上平移个单位，向左平移个单位， 平移后的抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线解析式为． 故选：． 3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  【解析】根据正六边形与正方形的性质判断出的度数，可得结论． 【详解】解：如图，标注顶点，连接，，，    由正六边形与正方形的性质可得，所在的直线是该图形的对称轴， ， 是某正边形的一个外角， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：已知二次函数， 抛物线对称轴为直线，开口向上， 在对称轴的右边随的增大而增大，在对称轴的左边随的增大而减小， ， ， 故选：． 根据抛物线开口向上，则距离对称轴越远的点的纵坐标越大求解即可． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 7.【答案】  8.【答案】：  【解析】解：∽，相似比为：， 对应周长的比值为：， 故答案为：：． 根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：圆锥的底面半径为，则底面周长， 圆锥的高为，底面圆的半径为， 由勾股定理得，母线长， 侧面面积 故答案为：． 利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长． 本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键． 10.【答案】  【解析】解：，是方程的两根， ． 故答案为：． 根据根与系数的关系即可得出，此题得解． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：袋子中共有个小球，其中红球个，绿球个， 黄球有个， 从袋子中随机取出个小球，则取到黄球的概率是． 故答案为：． 根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 12.【答案】  【解析】解：由条件可知， ， 由矩形得， ∽， ， 设， 则，， 矩形的周长为， ， 解得， ， 故答案为：． 利用勾股定理求得，证明∽，求得，设，利用，列式计算即可求解 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识点是关键． 13.【答案】  【解析】解：连接，，过点作于点，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，点、、的对应点分别是点、、． 由题意可得：，，， ， ，，，， ， ， ≌， ， 矩形中，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 连接，，过点作于点，由等腰三角形三线合一得到，证明≌，则，再由矩形的性质证明，设，则，在中，由勾股定理得：，求出，，，由∽，求出，，再对运用勾股定理即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于正确添加辅助线． 14.【答案】   【解析】解：如图，过作于， 则， 四边形是矩形， ，，， 翻折， ，，， ， 由勾股定理得， ，，， ， 解得， ，， ，， ∽， ， 即， ，， 设， 四边形是矩形， ，， 在中，，， 由勾股定理得， 则， 解得， ． ， 作， 则∽，∽， ，， ， ； 故答案为：；． 过作于，根据矩形性质和折叠性质，结合勾股定理求得，，证明∽，求得，，设，证明四边形是矩形，得到，，在中，由勾股定理求出的值，即为的值，进而求出的值，作，则∽，∽，列出比例式求出的值即可． 本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形是解题的关键． 15.【答案】或  【解析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于点， 一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 16.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键． 连接、，根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出，然后根据圆弧长公式即可解决问题． 【解答】 解：连接，． 五边形是正五边形， ． ，均与相切， ， ， 劣弧的长为． 17.【答案】解：， ， 或， 所以，； ， 所以，．  【解析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程； 利用求根公式法解方程． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了公式法解一元二次方程． 18.【答案】生产线至少加工小时；   的值为．  【解析】解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：生产线至少加工小时； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：的值为． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，利用工作总量工作效率工作时间，结合工作总量不少于个，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； 利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 19.【答案】．  【解析】解：画树状图如下： 共有种等可能性的结果，其中被选到的位老师是一男一女的结果数有种， 被选到的位老师是一男一女的概率为． 画出树状图，共有种等可能性的结果，其中被选到的位老师是一男一女的结果数有种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】，，补全统计图见解析；   见解析；   人．  【解析】解：由题意知，七年级成绩在的数据按从小到大排列如下单位：分：，，，，，，，，，，，， 七年级成绩的中位数为第、位数的平均数， ，， 中位数为，且第五组的人数是：人， 由题意知，出现次，次数最多， 众数为， 故答案为：，； 补全七年级成绩的频数分布直方图如下： 七八年级的成绩的平均数相同，但七年级的成绩的中位数比八年级的中位数大， 七年级对学生就人工智能知识的掌握的更好． 由题意知名， 估计七年级和八年级成绩优秀的学生人数为名． 先根据中位数、众数的定义进行求解，再用减去成绩小于的人数即可补全统计图； 根据中位数进行判断即可； 用乘以七年级和八年级成绩优秀的学生数所占比，计算求解即可． 本题考查了频率分布直方图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21.【答案】解：抛物线与轴交于，两点， 设此抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ，得， ， 即该抛物线的解析式为； ， 该抛物线的顶点坐标为， ，，， ，，， ， 是直角三角形，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 22.【答案】【小题】 解：证明：如图，连结，，． 为半圆的直径，，．在中，为斜边的中点，在和中，，即又是半圆的半径，是半圆的切线  【小题】   23.【答案】证明：，，， ， ， ∽， ． ，， ∽， ， ， ， ， ，， ∽， ， ．  【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 欲证明：，只要证明∽即可解决问题； 由∽，推出，由，可得，推出，再证明即可解决问题； 24.【答案】【小题】 解：双 答：商场平均每天可售出双鞋子． 【小题】 设每双降价元． 解得： 让顾客尽可能得实惠， 答：每双鞋子降价元． 【小题】 设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．   【解析】  本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，二次函数的应用； 根据题意列出算式，即可求解；   设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解；   设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解． 25.【答案】【小题】 证明：连接． ， ． 点为的中点， ． ． ， ． ． ． 即． 又为的半径， 是的切线； 【小题】 解：设的半径为，过点作于， 则，． 又， 四边形是矩形． ，． ． 在中，， ． 解得． 的半径是．   26.【答案】解：； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；  或 ；，，．  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质、二次函数图象与一次函数的交点问题． 先计算的值，然后利用描点法画出函数图象； 利用函数图象，可从增减性写出函数性质； 结合函数图象，找出与轴平行的直线与函数的图象有个交点的位置，从而得到的值或范围； 写出直线与函数的图象的交点的横坐标即可． 【解答】 解：，如图； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当或时，直线与的图象有两个交点； 方程的解为，，． 故答案为； 或 ；，，． 27.【答案】解：点 是 的“理想点”，理由如下：  是 中点， ，  ， ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  点 是 的“理想点”；  或   在 上时，如图：  是 的“理想点”，  或 ， 当 时，  ，  ，  ，即 是 边上的高， 当 时，同理可证 ，即 是 边上的高， 在 中， ， ， ，  ，  ，  ，  ， ，  有 ，   “理想点” 不可能在 边上，  在 边上时，如图：  是 的“理想点”，  ， 又 ，  ，  ，即 ，  ， 综上所述，点 是 的“理想点”， 的长为 或 ．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $