精品解析：辽宁省鞍山市铁西区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学学情调查（十一月） （考试时间共120分钟，试卷满分120分） 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，否则不给分，答题要求见答题卡． 一、选择题：（3分*10=30分） 1. 将方程化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，1，3 B. 2，，3 C. 2，， D. 2，，1 2. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 关于的方程的一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（ ） A B. 4 C. 12 D. 5. 在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（ ） A B. C. D. 7. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 9. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针方向旋转60．到的位置，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 2 10. 某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（3分*5=15分） 11. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是___________． 12. 二次函数的图象的最高点是，则__________，__________ 13. 如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为___________． 14. 用一段长为的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园的面积为，墙的长度为．设垂直于墙的一边长为，则x的值为________． 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，若，则________________． 三、解答题：（2个小题，16题8分，17题8分，共16分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 如图，在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若的周长是9，求的长． 四、解答题：（2个小题，18题6分，19题8分，共14分） 18. 如在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位： （1）请在图中作出以为旋转中心，沿逆时针方向旋转后的图形； （2）若点的坐标为，请在图中画出直角坐标系；（不用写结论）则点坐标为____________，关于点对称的点坐标为__________________． 19. 已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． （1）请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． （2）结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． 五、解答题：（2个小题，20题9分，21题10分，共19分） 20. 如图，在Rt中，，，，动点从点出发，沿方向运动，到结束，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，到点结束，速度是，一个点到达终点时，另一个点停止运动．设的面积为，运动时间为， （1）求与的函数关系． （2）求经过多少后，面积最大，最大值是多少？ 21. 中秋节前夕，某批发部购入一批进价为5元/千克的阳光玫瑰葡萄，销售过程中发现：日销量（千克）与售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）若计划日销售利润为1440元，那么每千克葡萄的售价应定为多少元？ 六、解答题：（2个小题，每题12分，共24分） 22. 点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． （1）如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与数量关系，并说明理由． （2）如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 23. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调查（十一月） （考试时间共120分钟，试卷满分120分） 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，否则不给分，答题要求见答题卡． 一、选择题：（3分*10=30分） 1. 将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，1，3 B. 2，，3 C. 2，， D. 2，，1 【答案】C 【解析】 【分析】把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解． 【详解】解：由方程可得：，则有； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 2. 下列图案是历届冬奥会会徽，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：A． 3. 关于的方程的一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将已知根代入方程，直接求解m的值即可． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴代入得， 即， ∴， ∴； 故选A． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（ ） A. B. 4 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，根据此性质列出方程求解即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且对称点为， ∴，且， 解得，， ∴； 故选D． 5. 在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；原函数的顶点坐标为，根据函数图象平移规律：向左平移个单位，顶点横坐标减；向上平移个单位，顶点纵坐标加，即可求得新顶点坐标． 【详解】解：∵原顶点为，向左平移2个单位，顶点横坐标变为，向上平移1个单位，顶点纵坐标变为， ∴平移后顶点坐标为； 故选C． 6. 如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∵， ∴； 故选B． 7. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的顶点式确定对称轴和开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数（）， ∴对称轴为，抛物线开口向下， ∵点、、在图象上，且在对称轴上， ∴为最大值， ∵点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ∵开口向下， ∴距离越大，值越小， ∴，即； 故选D． 8. 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为， 由图可知，当或时，抛物线位于x轴的下方，即， 故答案为：B． 9. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针方向旋转60．到的位置，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，连，过点作于点D，即可得到是等边三角形，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，即可得到得值，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，（负值舍去） 连，过点作于点D， 由旋转可得，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：A． 10. 某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该商品的原价为a元，则经过两次降价后的价格为元，利用经过两次降价后的价格原价两次降价的平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该商品的原价为a元，则经过两次降价后的价格为元， 根据题意得：， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二、填空题：（3分*5=15分） 11. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，且二次项系数不为零，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， 则判别式，且， 解不等式，得，即， 由于时同时满足，所以的取值范围是； 故答案为． 12. 二次函数的图象的最高点是，则__________，__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的顶点坐标公式，最高点即顶点，代入给定坐标求解即可． 【详解】解：因为二次函数图象的最高点是，所以顶点为， 由顶点横坐标公式，得，其中，所以，即，，因此； 由顶点纵坐标公式，得，代入，，得，即，化简得，因此； 故答案为：，． 13. 如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对坐标与图形变换-旋转，全等三角形的性质和判定，过A作轴于C，过作轴于D，根据旋转求出，证，推出，即可． 【详解】解：过A作轴于C，过作轴于D， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴的坐标是， 故答案为：． 14. 用一段长为的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园的面积为，墙的长度为．设垂直于墙的一边长为，则x的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据菜园的面积为，列出一元二次方程，解之得出的值，再结合墙的长度为，即可确定的值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即的值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由旋转的性质可知：，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：（2个小题，16题8分，17题8分，共16分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 化简得： 或 ∴． 17. 如图，在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若周长是9，求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，则有，进而根据等边三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是9， ∴， ∴． 四、解答题：（2个小题，18题6分，19题8分，共14分） 18. 如在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位： （1）请在图中作出以为旋转中心，沿逆时针方向旋转后的图形； （2）若点的坐标为，请在图中画出直角坐标系；（不用写结论）则点坐标为____________，关于点对称的点坐标为__________________． 【答案】（1）见解析 （2）建立坐标系见解析，点A的坐标为；点关于点对称的点坐标为 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，建立平面直角坐标系，写出点的坐标； （1）根据旋转的性质，在图中画出以D为旋转中心，沿逆时针方向旋转后的图形即可； （2）根据点的坐标，在图中建立直角坐标系，然后写出点A，，D的坐标，然后根据中心对称的点的坐标特征得到关于点对称的点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示： 如图，点A的坐标为； ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点关于点对称的点坐标为， 故答案为：；． 19. 已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． （1）请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． （2）结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． 【答案】（1）图象见详解 （2）①或；② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据列表、描点、连线及折叠的性质可进行作图； （2）①根据（1）中函数图象可直接进行求解； ②由题意先得出将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数解析式为，然后找到直线与相交的临界点，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：根据函数可列表如下： x …… 0 1 2 ….. y …… 0 0 ….. 所作图象如下： 【小问2详解】 解：①由（1）中函数图象可知： 随增大而增大的自变量的取值范围为或； ②由（1）中图象可知：的顶点坐标为，开口向上， ∴将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数图象的顶点坐标为，开口向下，则该函数图象的解析式为， 当直线恰好过点时，即，解得：，此时直线与有3个交点， 当直线与所在图象相切时，则有： ，整理得：， ∴，解得：， 此时直线与有3个交点， ∴要使直线与有四个交点，则需满足． 五、解答题：（2个小题，20题9分，21题10分，共19分） 20. 如图，在Rt中，，，，动点从点出发，沿方向运动，到结束，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，到点结束，速度是，一个点到达终点时，另一个点停止运动．设的面积为，运动时间为， （1）求与的函数关系． （2）求经过多少后，面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）经过后，面积最大，最大值是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的动点问题； （1）现根据运动过程表示和，然后根据三角形的面积公式列函数关系式即可； （2）把二次函数配方为顶点式，然后根据顶点坐标求出最大值即可． 【小问1详解】 解：运动后，，，则， ∴，其中； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 又∵开口向下， ∴当时，y取最大值，最大值为， 故经过后，面积最大，最大值是． 21. 中秋节前夕，某批发部购入一批进价为5元/千克的阳光玫瑰葡萄，销售过程中发现：日销量（千克）与售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）若计划日销售利润为1440元，那么每千克葡萄的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每千克葡萄的售价应定为11元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与之间的函数关系式为，然后由图象可把点代入进行求解即可； （2）由题意易得方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）及题意可得： ， 解得：， 答：每千克葡萄的售价应定为11元． 六、解答题：（2个小题，每题12分，共24分） 22. 点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． （1）如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 【答案】（1）①见解析 ②，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）①根据旋转的性质，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到结论即可； ②在上截取，连接， 根据等边三角形的性质和旋转的性质证明，即可得到，然后根据线段的和差解答即可； （2）延长到点N，使得，连接，，，证明，即可得到，，，，然后证明是等边三角形，过点D作于点P，过点N作于点Q，得到，得到，即可得到，然后根据中线分出的两三角形面积相等得到结论即可． 【小问1详解】 ①证明：由旋转可得：，， ∴是等边三角形； ②，理由为： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：延长到点N，使得，连接，，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点D作于点P，过点N作于点Q， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2）点P的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，面积问题，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得，然后根据轴，可以得到，再根据三角形的面积得到，求出长，然后求出点P的纵坐标解答即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：把和点代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵和 ∴， ∴， 又∵轴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； ∴点P坐标为； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $