精品解析：湖南省长沙市长郡教育集团联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季九年级期中限时检测试卷 数学 命题人：陈卉 审题人：杨璇 注意事项 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，） 1. 下列各数中是无理数的为（ ） A. 5 B. C. 3.1415926 D. 2. 在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 4. 中学生培养“强健的体魄、良好的运动习惯和坚韧的意志品质”，才能为学习和生活打下坚实基础．某校为了解初三年级700名学生的每周体育锻炼情况，随机抽取了100名学生的每周体育锻炼时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ） A. 700名学生是总体 B. 样本容量是700 C. 此调查为全面调查 D. 100名学生的每周体育锻炼时间是样本 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点坐标依次为，将绕点C逆时针旋转，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，P为外一点，，， 分别切于A，B，C三点，且切线 分别交，于点M，N．若，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 8. 如图，线段是的直径，弦 ，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 要使函数有意义，自变量x的取值范围是___． 12. 从2，0，2，5，中随机地选一个数，则选到奇数的概率是________． 13. 已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为________． 14. 一个扇形的圆心角为，半径为5，则这个扇形的面积为______． 结果保留 15. 已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是________． 16. 已知正整数N，满足，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． （1）以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； （2）若，求的度数． 20. 某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在运动的过程中， 的面积是否存在最大值？若存在，求 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求三角形AOB的面积； （3）直接写出不等式的解集． 23. 如图，内接于，过点B的切线与线段 的延长线交于点D，线段交于点E，交于点F， ． （1）求 的度数； （2）连接，探究线段，和之间的数量关系，并进行证明． 24. 我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点N为点M的“亮粹点"， （1）已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为，且N在直线上，求点N的坐标； （2）已知点为点的“亮粹点”，其中，且，求直线 的解析式； （3）函数（，且）的图象记为，将其沿直线 翻折后的图象记为，已知，两部分组成的图象上恰有点的两个“亮粹点”，令，其中P的值恒不大于，求实数t的取值范围． 25. 定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． （1）如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； （2）如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； （3）如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级期中限时检测试卷 数学 命题人：陈卉 审题人：杨璇 注意事项 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，） 1. 下列各数中是无理数的为（ ） A. 5 B. C. 3.1415926 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比．整数、分数和有限小数均为有理数；π是无理数，因此2π也是无理数，据此判断即可． 【详解】解：A．5是整数，属于有理数； B．是分数，属于有理数； C．3.1415926是有限小数，属于有理数； D．是无理数． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数”解答即可得答案． 【详解】∵关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数， ∴点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（-2，1）， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数是解题关键. 3. 如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转得到 ， ∴旋转角是 或． 故选：C． 4. 中学生培养“强健的体魄、良好的运动习惯和坚韧的意志品质”，才能为学习和生活打下坚实基础．某校为了解初三年级700名学生的每周体育锻炼情况，随机抽取了100名学生的每周体育锻炼时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ） A. 700名学生是总体 B. 样本容量是700 C. 此调查为全面调查 D. 100名学生的每周体育锻炼时间是样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计学中的基本概念，包括总体、样本、样本容量和调查方式．正确理解总体、样本、样本容量和调查方式的定义是解题关键．注意总体和样本的研究对象是数据（如锻炼时间），而不是个体本身．根据题干描述判断各选项的正误． 【详解】解：∵ 总体是所研究的全体对象，这里研究的是700名学生的每周体育锻炼时间，因此总体是700名学生的每周体育锻炼时间，而不是700名学生本身，故A错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数量，本题中样本是100名学生的每周体育锻炼时间，因此样本容量是100，故B错误； ∵ 全面调查是对总体中每一个个体都进行调查，本题只抽取了100名学生，因此是抽样调查，不是全面调查，故C错误； ∵ 样本是从总体中抽取的一部分个体，本题中抽取了100名学生的每周体育锻炼时间，因此这些时间数据是样本，故D正确． 故选：D． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：B． 6. 如图，的顶点坐标依次为，将绕点C逆时针旋转，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，求绕某点（非原点）旋转 度的点的坐标，判断三边能否构成直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据旋转的性质得出，进而根据、的坐标求出点的纵坐标为6，再利用勾股定理的逆定理证明，从而可求得点的横坐标，由此可得点的坐标． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，如图， 则， ，， ， 点的纵坐标为6， ， ，， ， ， 点在直线上， 点的横坐标为2， 点的坐标， 故选：D． 7. 如图，P为外一点，，， 分别切于A，B，C三点，且切线 分别交，于点M，N．若，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，， 分别切于A，B，C三点，且切线 分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 8. 如图，线段是的直径，弦 ，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由线段是的直径，弦，根据垂径定理的即可求得，然后由圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：∵线段是的直径，弦， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出反比例函数的解析式，再求出当时，的值，从而结合图象可得出结论． 【详解】解：∵近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数， ∴设反比例函数的解析式为， ∵度近视眼镜的镜片焦距为米， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∵小明同学眼睛的近视度数不超过度， ∴， ∴， 即小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得半径为4，由三角形中位线的定理可求，当过点C时，有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连结， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点与点， ∴对称轴为， 当时，， ∴顶点， ∵与y轴相切， ∴的半径为4， ∵点D为的中点， ∴， ∴最大时，有最大值， ∴当过点C时，有最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，切线的性质定理，与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 要使函数有意义，自变量x的取值范围是___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得，． 故答案为：． 12. 从2，0，2，5，中随机地选一个数，则选到奇数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，奇数与偶数的认识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 从数字2，0，2，5，中随机选一个数，总共有5个数，其中奇数为5和，共2个，因此选到奇数的概率为奇数个数与总个数的比值． 【详解】解：数字2，0，2，5，中，2和0是偶数，5和是奇数，故奇数有2个．总数字个数为5，所以概率为． 故答案为． 13. 已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，正六边形的外接圆半径等于其边长． 【详解】解：正六边形的中心与各顶点相连，将正六边形分成六个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长均为6，因此外接圆的半径为6． 故答案为：6． 14. 一个扇形的圆心角为，半径为5，则这个扇形的面积为______． 结果保留 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积的计算，扇形面积等于扇形圆心角度数乘以半径的平方并除以360，据此求解即可． 【详解】解：， 这个扇形的面积为 故答案为： 15. 已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数y随x的增大而减小可得，即可得答案． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 已知正整数N，满足，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了反证法，根据题意，正整数N满足，且甲、乙、丙、丁四人中有一人说错，其余三人说对．分别考虑甲错、乙错、丙错、丁错四种情况，计算满足条件的N值，并比较得出最大值． 【详解】解：若甲错，则N不是2的倍数，但N是3、5、7的倍数．3、5、7的最小公倍数为105，但，无解； 若乙错，则N不是3的倍数，但N是2、5、7的倍数．2、5、7的最小公倍数为70，70在50到100之间且不是3的倍数，故； 若丙错，则N不是5的倍数，但N是2、3、7的倍数．2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数在50到100之间有84，84不是5的倍数，故； 若丁错，则N不是7的倍数，但N是2、3、5的倍数．2、3、5的最小公倍数为30，30的倍数在50到100之间有60和90，两者均不是7的倍数，故或90． 比较各情况，N的最大值为90． 验证：当时，甲说正确（90是2的倍数），乙说正确（90是3的倍数），丙说正确（90是5的倍数），丁说错误（90不是7的倍数），符合题意． 故答案为：90． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂及绝对值；根据算术平方根的定义，乘方的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用因式分解和分式的通分、约分等方法对分式进行化简，再代入求值．通过因式分解和约分合并分式，再代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． （1）以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； （2）若，求的度数． 【答案】（1）相等，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1） 利用即可； （2）先根据等边对等角求得 ，再结合（1）求得． 【小问1详解】 解：相等， 理由：连结 ，， ∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E， ∴ ， ∵大于的长为半径画弧，两弧交于点F， ∴ ， 又， ， ， 即以上作图得到的和数量上有相等关系； 【小问2详解】 ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等的性质和 综合（ ），等边对等角，作角平分线(尺规作图)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20. 某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50名， 补充条形统计图如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合描述数据，通过部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形图，根据树状图或列表法计算概率等，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点． （1）通过部分得出总体，总体减去已知的数据，即可得出数据； （2）利用 占比即可求出部分圆心角度数； （3）画出树状图，利用树状图求解即可． 【小问1详解】 解： （名） 答：此次调查一共抽取了50名学生． （名） 【小问2详解】 解： 答：扇形统计图中部分的圆心角是． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点D是线段下方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在运动的过程中， 的面积是否存在最大值？若存在，求 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为1 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数求最值等知识，读懂题意是解题的关键． （1）用待定系数法求出解析式即可； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，根据三角形的面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵的图象与x轴交于，， ∴设， 将代入，解得 ， ∴． 【小问2详解】 解： 的面积存在最大值，理由如下： 过点D作轴交于点E， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴时，有最大值为1． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求三角形AOB的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入和，求出和 的值即可； （2）求出B的坐标、与轴交点C的坐标，得出 ，根据即可求解； （3）根据图形，找出当一次函数图象高于反比例函数图象时，自变量x的取值范围即可； 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质． 【小问1详解】 解：把代入，得， 将代入，得，解得， ∴一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由，得或， 故，， 设与x轴交于C点， 把 代入 ，得 ， ， ； 【小问3详解】 由图可知的解集为或 ． 23. 如图，内接于，过点B的切线与线段 的延长线交于点D，线段交于点E，交于点F， ． （1）求 的度数； （2）连接，探究线段，和之间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等边对等角分别得出 与，结合对顶角的性质，可得出，再结合切线的性质可得出 ，从而可利用圆周角定理得出结果； （2）延长到G，使，连接 ，利用圆内接四边形的性质，结合证明，从而可得出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得出，从而可得出． 【小问1详解】 解：连接 ，， ， ∵过点B的切线与线段 的延长线交于点D， ∴，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， 理由：延长到G，使，连接 ， ，， ， 解得：， ， ， 四边形是的圆内接四边形， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，圆周角定理及推论，切线的性质，等边对等角，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 24. 我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点N为点M的“亮粹点"， （1）已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为，且N在直线上，求点N的坐标； （2）已知点为点的“亮粹点”，其中，且，求直线 的解析式； （3）函数（，且）的图象记为，将其沿直线 翻折后的图象记为，已知，两部分组成的图象上恰有点的两个“亮粹点”，令，其中P的值恒不大于，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）设点，根据“亮粹点”的定义得出，解方程即可求解； （2）根据“亮粹点”的定义可求出，根据待定系数法可求出直线 的解析式为，根据完全平方公式应用结合可求出，点在反比例函数上，联立，化简得，由根的判别式可求出，由韦达定理得：，不妨设，根据三角形的面积公式可得出，解方程即可求解； （3）先求出翻折后的抛物线解析式为，设点在两部分组成的图象上“亮粹点”的坐标为，根据“亮粹点”的定义，则点的“亮粹点”在直线上，然后分①当 时；②当时；③当时；④当时，四种情况讨论，可得出当时，两部分组成的图象上恰有个“亮粹点”，根据的最大值不大于，再分①时；②时；③时，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：设点， ∵N为点的“亮粹点”， ∴， 解得：， ∴N的坐标为． 【小问2详解】 解：设直线 的解析式为， ∵点为点的“亮粹点”， ∴， ∴， 将代入得：， 由得：， 直线 的解析式为， ， ， 则， 点在反比例函数上， 联立， 化简得， ∴， 由韦达定理得：， 不妨设， 则， 解得， 则 的解析式为： 或． 【小问3详解】 解：函数 关于直线 的翻折后的抛物线解析式为， 设点在两部分组成的图象上“亮粹点”的坐标为， 由题知：， 点的“亮粹点”在直线上， 由已知，则有 ①如下图，当 时，直线与均无交点，即在上没有“亮粹点”，不符合题意； ②如下图，当时，直线过的交点，此时直线与仅一个交点， 即在上仅有一个“亮粹点”，不符合题意； ③如下图，当时，直线与各有一个交点，即在上有两个“亮粹点”，符合题意． ④如下图，当时，直线与各有一个交点，即在上有两个“亮粹点”，符合题意． 当时，两部分组成的图象上恰有个“亮粹点”， 已知，其最大值不大于，则： ①时，，解得，则此时无解； ②时，，解得，则； ③时，，解得，则此时无解． 综合，实数的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，反比例函数，一次函数，不等式的应用，新定义等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 25. 定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． （1）如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； （2）如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； （3）如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 【答案】（1）是，见解析 （2） （3） 或或 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质和圆周角定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出 ，结合得出，然后根据“梦之三角形”的定义即可得证； （2）解：如图，连接，根据内心的性质得出，，根据轴对称得出，，则，，根据圆内接四边形的性质得出，则可求出 ，则，连接，过点 作于点，由垂径定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，然后结合已知求解即可； （3）先判断，然后分 和 两种情况讨论，根据圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，并结合（2）中求解即可． 【小问1详解】 解：是． 理由：如图，连接， ， 为的内接等边三角形， ，点 为的内心即外心， ， ，且 ， ， ， ， ， ， 等边的内心 关于的对称点在上， 是的“梦之三角形”． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设， 是的内心， 平分 ，平分 ， ， 点 和点关于对称， ， ， ， 即， ， ， ； 连接，过点 作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． 【小问3详解】 解：由（2）知若为的“梦之三角形”，则必有一个角为， 若，如图，连接， ， 可知， ， 因此，． 分两种情况进行讨论： ①当 时，当在优弧上时，如图，连接，， ， ， 过作于点， ， ， ， 在中，， ； 当在劣弧上时，过作，此时，， ； ②当 时， 此时为对边， 如图，当在优弧上时，连接， ， 可知， ， ； 当在劣弧上时，同理可求， 综上，可能的值为 或或 ． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $