精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025年下学期八年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（ ）组 A. 3，4，8 B. 6，6，10 C. 6，7，15 D. 5，5，11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边．只需检查每组中两个较短边之和是否大于最长边即可判断． 【详解】解：∵， ∴长为3，4，8的三根小棒不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，6，10的三根小棒能组成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为6，7，15的三根小棒不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为5，5，11的三根小棒不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明，两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可得： 在和中， ， ∴≌（SSS）， 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 5. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式．平方差公式适用于两数和与两数差的乘积，即的形式，需逐一检查各选项是否匹配此结构，即可作答． 【详解】解： A、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； B、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； C、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； D、具有相同项和相反项，符合平方差公式，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 的算术平方根是2 B. 9的立方根是3 C. 全等三角形的周长相等 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，立方根和算术平方根，全等三角形的性质，等边三角形的判定，根据立方根和算术平方根的定义可判断A、B；根据全等三角形的性质可判断C；根据等边三角形的判定定理可判断D． 【详解】解：A、的算术平方根是，原命题是假命题，不符合题意； B、9的立方根是，而不是3，原命题是假命题，不符合题意； C、全等三角形的周长相等，原命题是真命题，符合题意； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的轴对称变换，牢记关于x轴对称的点坐标关系是解题关键。 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，直接计算即可． 【详解】解：点关于轴对称点是， 故选：B． 8. 如图，，在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，由全等三角形的性质得到的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 9 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解，即可解题． 【详解】解：是的中点，的面积为3， 即在中，是边上的中线， ， 是边上的中线， ； 故选：B． 10. 如图，是角平分线，、分别是和的高，下列结论①②垂直平分 ③若，则 ④若，，则 ⑤若为中点，则为等腰三角形，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，判断与的关系． ②通过证明三角形全等得到，，再根据垂直平分线的判定定理判断． ③根据四边形内角和求出，再结合直角三角形的性质判断． ④利用三角形面积公式，结合，判断的值． ⑤根据为中点且，结合直角三角形全等，判断的形状． 【详解】解：①∵ 是的角平分线，，， ∴ ，故①正确． ②在和中， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ 垂直平分，而非垂直平分，故②错误． ③∵ ，， ∴ ， 又∵ ，四边形内角和为， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， 在中，， ∴ ，故③正确． ④∵ ，，且， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，故④错误． ⑤∵ 为中点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即为等腰三角形，故⑤正确． 综上，①③⑤正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、直角三角形的性质等，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法法则的应用，掌握逆用同底数幂除法法则是解题的关键． 先将转化为，然后将已知条件代入计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若是一个完全平方式，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征确定出的值是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的一个内角等于，则它的底角是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：根据等腰三角形的性质，分类讨论： ∵当的角是底角时，三角形的内角和大于，此情况不存在； ∴只能为顶角， 当的角是顶角时，两底角相等为：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，沿着过的顶点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，已知周长等于，则周长为________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，，由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵周长等于， ∴， ∴， ∴， ∴周长， 故答案为：19． 16. 如图，已知在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，则的度数为________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解． 【详解】解：如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值，乘方运算，正确掌握相关性质是解题的关键．先求一个数的算术平方根，进行乘方运算，化简零次幂以及绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ； 当，时，原式． 19. 如图，在直角坐标平面内，已知点，，． （1）画出关于轴对称的． （2）已知点，直线轴，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查在平面直角坐标系中进行轴对称变换作图及平行于y轴的直线上的点的坐标的特点，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，是正确解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，即可求出a的值，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：，点与点关于轴对称， ． ，轴， 点的纵坐标为4， ， ， ， 点的坐标为． 20. 2022年，国家教育部新颁发的《义务教育语文课程标准》提出明确要求：“要重视培养学生广泛的阅读兴趣，提高阅读品位，提倡多读书、好读书、读好书”．某校决定举办以“科教兴国”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在初二年级随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）此次调查中，一共抽取了________名学生． （2）补全条形统计图，并求出扇形中“农业”部分的圆心角度数． （3）若该校共有3600名学生，请你估计大约有多少名学生最想阅读“科技”类书籍？ 【答案】（1）60 （2）图见解析， （3）540名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，扇形的圆心角，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用教育的人数除以教育的占比，即可求出此次调查一共抽取的学生总数； （2）先求出国防的人数，再补全条形统计图，再列式计算出扇形中“农业”部分的圆心角度数 （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意知，（名） ∴一共抽取了名学生， 【小问2详解】 解：由题意知，国防的人数为（人）， 补图如下： ∴， 答：扇形中“农业”部分的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：由题意知，（名）， 答：估计该年级最想读科技类书籍的学生有540名． 21. 如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答． （1）先由平行线的性质得，易证得，即可得； （2）由，，得，又，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ． 22. 当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变，某制造厂采用了，两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台型机器人和2台型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台型机器人和3台型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂． （1）求每台，型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂． （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台型机器人？ 【答案】（1）型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂； （2）该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，由题意得： ，解得：， 答：型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂； 【小问2详解】 解：设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为18， 答：该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人． 23. 已知在中，，为线段上一点且满足，连接，过点作于点，与交于点． （1）如图1，，，，求的长和的面积． （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接．若，求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 分析】（1）由，，，得，由，得， 过作于点，证明 ，得，即得 ． （2）法一：过作于点，可得，得，，由，可得，得，即得． 法二：过点作于，交于，设交于．证明，， 得，得，由，即得． 【小问1详解】 解：于点， ，又， ， ∵， ， 如图1中，过作于点，又于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：解法一：如图2中，过作于点，又于点， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ，又， ，即， 又 ． 解法二：如图3中，过点作于，交于，设交于． ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查含30度的直角三角形和等腰直角三角形．熟练掌握直角三角形30度角的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，是解题的关键． 24. 定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． （1）当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ① ② ③ ④ （2）若关于的多项式是的完美多项式，求的值． （3）已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 【答案】（1）②④ （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，因式分解的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，设，则，得到，求解即可； （3）由，得到，得到当时，，得到，根据新定义得到，则此完美多项式的另一个因式为，根据且最小值为，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：①，是一个单项式，故①不符合题意； ②，该式有因子，是的半完美多项式，故②符合题意； ③，没有等于的因子，故③不符合题意； ④，因为，为整数，所以与中必有一个为偶数，则是2的倍数，所以是16的倍数，是的半完美多项式，故④符合题意； 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：设 ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，为正整数， 当时，， 当取其它值时，与题意不符，舍去； ， 是的完美多项式 此完美多项式的另一个因式为， 且最小值， ， ． 25. 已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． （1）如图1，点在线段上，连接，求证：． （2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，作射线，为射线上一点，为上的动点，连接和．若，的面积为，求的最小值． 【答案】（1）证明过程见解析； （2），证明过程见解析； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质，可证明，可得，从而可得，即可证得结论； （2）延长到点，使得，可证明，，可得，由等腰三角形的性质，等量代换，即可得线段、、之间的数量关系； （3）过作于点，由等边三角形的性质，结合三角形的面积，可得， 连接，可证明，对应角相等，在射线上截取，连接，可证明，对应边相等，由垂线段最短，即可得的最小值． 【小问1详解】 解：和是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ， ． 小问2详解】 解：线段、、之间的数量关系为， 证明：如图1，延长到点，使得， ，都是等边三角形， ，，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图3，过作于点， 是等边三角形， ， ， ， 连接，同（1）可得， ， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ，且当于点时，有最小值， ，于点，于点， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期八年级期中检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（ ）组 A. 3，4，8 B. 6，6，10 C. 6，7，15 D. 5，5，11 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明，两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 算术平方根是2 B. 9的立方根是3 C. 全等三角形的周长相等 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，在边上，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 9 D. 24 10. 如图，是角平分线，、分别是和的高，下列结论①②垂直平分 ③若，则 ④若，，则 ⑤若为中点，则为等腰三角形，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①③⑤ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 12. 已知，，则________． 13. 若是一个完全平方式，则常数的值为______． 14. 已知等腰三角形的一个内角等于，则它的底角是_____． 15. 如图，在中，，沿着过的顶点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，已知周长等于，则周长为________． 16. 如图，已知在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，则的度数为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在直角坐标平面内，已知点，，． （1）画出关于轴对称的． （2）已知点，直线轴，求点的坐标． 20. 2022年，国家教育部新颁发的《义务教育语文课程标准》提出明确要求：“要重视培养学生广泛的阅读兴趣，提高阅读品位，提倡多读书、好读书、读好书”．某校决定举办以“科教兴国”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在初二年级随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）此次调查中，一共抽取了________名学生． （2）补全条形统计图，并求出扇形中“农业”部分的圆心角度数． （3）若该校共有3600名学生，请你估计大约有多少名学生最想阅读“科技”类书籍？ 21. 如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 22. 当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变，某制造厂采用了，两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台型机器人和2台型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台型机器人和3台型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂． （1）求每台，型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂． （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台型机器人？ 23. 已知在中，，为线段上一点且满足，连接，过点作于点，与交于点． （1）如图1，，，，求的长和的面积． （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接．若，求证：． 24. 定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． （1）当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ① ② ③ ④ （2）若关于的多项式是的完美多项式，求的值． （3）已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 25. 已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． （1）如图1，点在线段上，连接，求证：． （2）如图2，点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，作射线，为射线上一点，为上的动点，连接和．若，的面积为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $