精品解析：江苏省苏州市2025--2026学年上学期八年级阳光测评期中数学试卷

2025~2026学年第一学期阶段性学业水平阳光测评 初二数学 2025.11 （满分130分，时长120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应的位置上． 1. 若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点E，F在上，且，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（ ） A. △ABC三边垂直平分线的交点 B. △ABC三个内角平分线的交点 C. △ABC三条中线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点 7. 如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在，上滑动，且，若点M、N分别是的中点，连接，则的长度最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点，再分别以点为圆心，取大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，点在上，连接，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应的位置上． 9. 因式分解：______． 10. 若，，则的值为______． 11. 若，则 ___________ ． 12. 已知关于x的方程有增根，则常数m的值为______． 13. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点为格点），则=______°． 14. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，分别交于点D,E，连接，则的度数为______°． 15. 如图，中，，平分，交于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，若的面积为25，的面积为11，则的面积为______． 16. 如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的度数为______°． 三、解答题：本大题共11小题，共82分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解方程：． 21. 如图，中，是高，是角平分线，且，．求的度数． 22. 如图，在钝角中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 23. 某校积极发展航模特色社团，为了让航模小组能更好地完成无人机训练、参赛任务，现需购买A、B两种新款无人机模型，已知A型无人机模型的单价比B型贵800元；用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． （1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ （2）若航模小组购买A、B两种新款无人机模型共10台，共用资金20000元，求航模小组购买A型无人机模型的数量． 24 如图，中，，，于点D，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 25. 如果两个分式P与Q，满足（k为常数），且k为整数（），则称P与Q互为“调和分式”，常数k称为“调和值”．例如：分式，，由，则P与Q互为“调和分式”，“调和值”． （1）已知三个分式，，，则下列结论中正确的是______（填序号）． ①A与B是调和分式；②A与C是调和分式；③B与C是调和分式． （2）若分式，（S是整式），M与N互为“调和分式”，且“调和值”，求整式S； （3）若分式与（a，b为整数）互为“调和分式”，求“调和值”k的值． 26. 【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 27. 如图1，中，，，点D边上一动点（点D不与点B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）已知，点D在上运动的过程中，若是直角三角形，求此时的长； （3）如图2，点F是的中点，连接，若，则线段的长度最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期阶段性学业水平阳光测评 初二数学 2025.11 （满分130分，时长120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应的位置上． 1. 若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得： 第三边的长度，即． 观察四个选项，B选项符合题意， 故选：B． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的核心：分母不等于零． 根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求解不等式得到的取值范围，再匹配选项得出答案． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零，对于分式，需满足分母，解得． 故选：C． 3. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的理解．根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的乘积的形式”，由此即可求解． 【详解】解：、，是因式分解，该选项符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：． 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为计算顶角． 由可知为等腰三角形，与为底角且相等；先确定的度数，再根据三角形内角和定理求出，即可． 【详解】解：， 是等腰三角形，， 已知，则， 根据三角形内角和为，得． 故选：D． 5. 如图，点E，F在上，且，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定综合，根据，得，再根据以及选项添加的条件进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，即，∵，，∴不能判定，故该选项符合题意； B、∵，∴，即，∵，，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，即，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：A 6. 如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（ ） A. △ABC三边的垂直平分线的交点 B. △ABC三个内角平分线的交点 C. △ABC三条中线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定P点的位置． 【详解】解：∵点P到点A，B，C的距离相等， ∴点P为AB、BC、AC的垂直平分线的交点． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心：外心到三个顶点的距离相等． 也考查了线段垂直平分线的性质．掌握三角形的外心及线段垂直平分线的性质是解题关键． 7. 如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在，上滑动，且，若点M、N分别是的中点，连接，则的长度最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接，， 在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ， 当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：， 的最小值为：2． 故选B． 8. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点，再分别以点为圆心，取大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，点在上，连接，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于，由角平分线的性质可得，进而证明，得，设，则，得到，再证明，得到，即得，解方程即可求解，掌握角平分线的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， 在和中， , ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得， 即， 故选：． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应的位置上． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．该多项式为完全平方式，可直接应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 【详解】∵ ，， ∴ 故答案为：． 11. 若，则 ___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据的值与的关系，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，熟知分式的加减法则是解答此题的关键． 12. 已知关于x的方程有增根，则常数m的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先去分母可得，再根据关于的方程有增根，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得：，即， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 将代入， 得， 故答案为：6． 13. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点为格点），则=______°． 【答案】45 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，根据格点，得到，推出，由是等腰直角三角形，知，由此求出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为45． 14. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，分别交于点D,E，连接，则的度数为______°． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是利用同圆半径相等得出等腰三角形，逐步推导相关角的度数． 先根据三角形内角和求出的度数；由同圆半径相等得，利用等腰 三角形性质求出、及的度数；结合共线点的角度关系求出，进而算出的度数． 【详解】解：∵在中， ∴ ∵以点B为圆心，为半径画弧， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵点A、D、C共线， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，，平分，交于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，若的面积为25，的面积为11，则的面积为______． 【答案】28 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，延长和交于点F，证明，推出，由此得到，，进而可得结论． 【详解】解：如图，延长和交于点F， ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， 故答案为：28． 16. 如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边对等角，以及外角性质，得到，即可得解． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判断和性质，外角的性质，以及三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 三、解答题：本大题共11小题，共82分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式和公式法因式分解成为解答本题的关键． （1）先提取公因式2，然后再运用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式2，然后再运用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘混合运算，解题的关键是掌握同分母分式减法法则、分式乘法法则，以及“先括号后乘除”的运算顺序，运算中注意因式分解与约分简化过程． （1）利用同分母分式减法法则，分子相减、分母不变，再对分子因式分解后约分； （2）先计算括号内的减法，通分转化为同分母分式运算，化简后与括号外分式相乘，通过因式分解约分得出结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，最后运算减法，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 20. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 21. 如图，中，是高，是角平分线，且，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及高的性质，解题的关键是熟练运用这些知识求出相关角的度数． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数．再利用高的性质求出的度数，最后通过求出结果． 【详解】解：在中，， ， ． 是角平分线， ， 是高， ， 在中，， ． 22. 如图，在钝角中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理， （1）作线段的垂直平分线交于点D即可； （2）根据等边对等角推出，，，再根据三角形内角和定理求出答案． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 23. 某校积极发展航模特色社团，为了让航模小组能更好地完成无人机的训练、参赛任务，现需购买A、B两种新款无人机模型，已知A型无人机模型的单价比B型贵800元；用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． （1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ （2）若航模小组购买A、B两种新款无人机模型共10台，共用资金20000元，求航模小组购买A型无人机模型的数量． 【答案】（1）型无人机模型的单价是2400元，型无人机模型的单价是1600元 （2）航模小组购买型无人机模型的数量是5台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次方程是解此题的关键． （1）设型无人机模型的单价是元，则型无人机模型的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设航模小组购买A型无人机模型的数量为台，则航模小组购买型无人机模型的数量为台，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设型无人机模型的单价是元，则型无人机模型的单价是元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 故型无人机模型的单价是2400元，型无人机模型的单价是1600元； 【小问2详解】 解：设航模小组购买A型无人机模型数量为台，则航模小组购买型无人机模型的数量为台， 由题意可得：， 解得：， ∴航模小组购买型无人机模型的数量是5台． 24. 如图，中，，，于点D，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，，利用三角形周长公式可得答案． 小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴的周长. 25. 如果两个分式P与Q，满足（k为常数），且k为整数（），则称P与Q互为“调和分式”，常数k称为“调和值”．例如：分式，，由，则P与Q互为“调和分式”，“调和值”． （1）已知三个分式，，，则下列结论中正确的是______（填序号）． ①A与B是调和分式；②A与C是调和分式；③B与C是调和分式． （2）若分式，（S是整式），M与N互为“调和分式”，且“调和值”，求整式S； （3）若分式与（a，b为整数）互为“调和分式”，求“调和值”k的值． 【答案】（1）①② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． （1）计算每对分式的和，判断是否等于常数整数． （2）根据调和分式定义和调和值，建立方程求解整式S． （3）根据调和分式定义，建立方程并比较系数，求解调和值k． 【小问1详解】 解：（常数整数）， 故A与B调和分式，①正确； （常数整数）， 故A与C是调和分式，②正确； （非常数）， 故B与C不是调和分式，③错误； 故答案为：①②． 【小问2详解】 解：根据题意得， 即， 去分母得， ， ∴． 【小问3详解】 解：根据题意， 去分母得 ∴， 比较系数，则，，， 代入到得：， 解得：． 26. 【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 【答案】（1）1，3；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】此题考查三角形内角和定理，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角， （1）根据三角形内角和定理求出，再利用直角三角形30度角的性质求出即可； （2）在上截取，连接，得到，根据，推出，根据等边对等角得到，利用外角性质推出，根据三角形内角和求出的度数； （3）在上截取，连接，证明，得到，，由，，得到，推出，进而得到结论． 【详解】解：（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为1，3； （2）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 27. 如图1，中，，，点D是边上一动点（点D不与点B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）已知，点D在上运动的过程中，若是直角三角形，求此时的长； （3）如图2，点F是的中点，连接，若，则线段的长度最小值为______． 【答案】（1） （2）的长为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，，则通过角的转换可得，即可证明，则，进而即可得解； （2）先根据题意求出，再过点A作于点G，当是直角三角形时，可分为两种情况求解，分别为：当时和当时，进行列方程求解即可； （3）如图，取中点G，连接，由“”可证，可得，则当时，有最小值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段绕点A逆时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 过点A作于点G， 由题意可知，当时，如下图： ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴在含的中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴； 当时，如下图： ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴在含的中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：如图，取中点G，连接， ，点是中点，点是中点， ， ， ， ，， 在和中， ， ， 有最小值时，也有最小值， 当时，有最小值． ，， ，，， ，， 线段长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的性质和一元一次方程的应用，熟知以上知识点并熟练的运用是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $