精品解析：江苏省江阴市部分学校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷

2025-2026学年度秋学期期中联考试卷 高二数学 命题人：孙彬 复核人：陆敏军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 圆的圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ） A. B. 3 C. 3 D. 2 4. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 11. 已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ） A. 时， B. 时，的最小值为 C. 时，三棱锥的体积为定值 D. 时，直线与面的交点轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知经过椭圆的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长为___________. 13. 如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点，则____________________. 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则的最小值为______，的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P为C上一点，且，求的面积． 16. 已知是空间的一个基底，且，，，. （1）求证：，，，四点共面； （2）能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 17. 已知圆的圆心在轴上，且经过点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）求圆的标准方程； （3）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面 ，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面. （2）已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面的一般式方程. （2）求到直线的距离. （3）在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度秋学期期中联考试卷 高二数学 命题人：孙彬 复核人：陆敏军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 圆的圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的一般方程求圆心坐标即可. 【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心坐标为， 故选：B 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 3. 如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ） A. B. 3 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】、分别是、的中点，利用向量共线定理、三角形的中位线定理可得．再利用向量的三角形法则可得．即可得出． 【详解】解：、分别是、的中点， ． 而． ． 故选：C． 4. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆和圆的位置关系判断可得答案. 【详解】由题意知，两圆的圆心分别为， 圆心距为， 两圆的半径分别为2，3， 由于， 所以两圆相交. 故选：B. 5. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线与所成的角即可． 【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，2，，，2，， 则 所以 ， 所以异面直线与直线所成角的余弦值为， 故选：． 6. 已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断；对于B，利用特殊值判断；对于C，将点的坐标代入方程即可判断；对于D，根据两直线垂直可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，当，时，直线为，即， 此时直线经过第三象限，故B错误； 对于C，将代入方程，则， 即点在直线上，故C正确； 对于D，若两直线垂直，则，方程无解，故D错误． 故选：AC 10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线向量的定义判断A，结合单位向量和共线向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断C，根据向量垂直的坐标关系判断D. 【详解】已知空间中三个向量，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，在方向上的投影向量是， 所以在方向上的投影向量是，C对； 对于D选项，因为， 则、不垂直，D错. 故选：BC. 11. 已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ） A. 时， B. 时，的最小值为 C. 时，三棱锥的体积为定值 D. 时，直线与面的交点轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】取为的中点，当时，得到点在线段上运动，证得和，证得平面，可判定A正确；取得，连接，得到当时，得到点在上运动，沿将平面旋转到与平面重合，可判定B正确；取的中点，当时，得到点在线段上运动，结合，可判定C正确；连接，交于点和点， 当时，得到点在线段上运动，证得平面，得到平面平面，求得的长度，可判定D不正确. 【详解】由题意，正方体的棱长为1，E为线段的中点，且，其中， 对于A中，取分别为的中点，当时，可得点在线段上运动， 如图（1）所示，在正方形中，因为的中点，可得， 又由平面，平面，所以， 因为，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确. 对于B中，在上分别取点和点，使得，连接，当 当时，可得点在线段上运动， 在直角中，，可得， 如图（2）所示，沿将平面旋转到与平面重合，得到平面， 连接，则， 即的最小值为，所以B正确. 对于C中，如图（3）所示，取的中点，分别连接， 当时，可得点在线段上运动， 由且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 又由的面积为定值，所以（定值），所以C正确. 对于D中，如图（4）所示，连接，交于点和点， 当时，可得点在线段上运动， 因为且平面，所以平面， 又因为平面平面，所以， 由与相似，且相似比为， 所以，即直线与面的交点轨迹长度为，所以D不正确. 综上可得，选项正确的是ABC. 故答案为：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知经过椭圆的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用椭圆的定义即可得到答案。 【详解】如图所示： ，， 所以的周长为 故答案为： 13. 如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点，则____________________. 【答案】 【解析】 【分析】记，由题知，，利用空间向量的运算，将用表示，再利用空间向量数量积定义和运算，即可求解. 【详解】记， 由题知，， 又，所以， 因为，， 所以， 又，所以， 故答案为：. 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数满足，则的最小值为______，的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用直线和圆的位置关系可得的最小值，把转化为点到直线的距离与它到距离比值的2倍，结合图形可得答案. 【详解】由得，令， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以的最小值为. 可以看作点到直线的距离与它到距离比值的2倍， 设过点的直线与圆相切于点，此时取到最大值. 设直线方程为， 由，得， ，解得，结合图形可知， 把代入联立后的方程可得切点， 代入可得的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把目标式转化为点到直线的距离与它到距离比值的2倍，数形结合可得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P为C上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为， 所以，所以， 所以. 16. 已知是空间的一个基底，且，，，. （1）求证：，，，四点共面； （2）能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 【答案】（1）证明：由，， 而，则， 所以，，，四点共面； （2）不能作为基底，理由： 若共面，则，即， 所以，则，可得， 所以，故不能作为基底. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性(加减)关系判断是否成立，即可证结论； （2）判断是否成立即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知圆的圆心在轴上，且经过点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）求圆的标准方程； （3）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【小问1详解】 设的中点为，则． 由圆的性质，得，所以，得. 所以线段的垂直平分线的方程是. 【小问2详解】 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由（1）得直线的方程为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为. 【小问3详解】 由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面 ，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面. （2）已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：取的中点 ，连接， ，如图所示， 为棱的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）作的中点 ，连接， ，可证四边形是平行四边形，可得，可证得结论. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离得向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面 ，， ，， 两两垂直， 以 为坐标原点，，， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 为棱的中点，， （i），， 设平面的法向量为，则， 令，则，，， 取 的中点 ，连接 ，易知平面， 即是平面的一个法向量，， 设平面与平面夹角为， ， 平面与平面夹角的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，，则，， 由（i）知平面的一个法向量为，， 点Q到平面的距离是， ，，所以存在点Q满足题意，此时. 19. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面的一般式方程. （2）求到直线的距离. （3）在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面所成的角求得，根据平面的点法式方程求得正确答案. （2）利用等面积法来求得到直线的距离. （3）设出点的坐标，利用面面垂直列方程，化简求得正确答案. 【小问1详解】 由于平面， 所以平面，所以是直线与平面所成的角， 所以，所以. 所以， 所以, ，设平面的法向量为， 则，故可设，平面， 则平面的方程为， 即. 【小问2详解】 在中，，， 设到的距离为，则， 由于平行四边形和平行四边形全等， 所以到直线的距离等于设到的距离， 即到直线的距离为. 【小问3详解】 ，，，， 即，而， 所以， 设，则，即， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设. 设平面的法向量为， 则，故可设， 若平面平面，则， 即， 解得，负根舍去， 所以存在符合题意的点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $