精品解析：四川省德阳市第二中学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

四川省德阳市第二中学校2025-2026学年 八年级上学期期中考试数学试题 一、选择题 1. 下列“表情”中属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，能沿一条直线对折直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，分别判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：C. 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，根据定义判断即可解答. 2. 如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A. 是的中线 B. 是的角平分线 C. D. 是的高 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，根据三角形角平分线、中线和高等概念逐一判断即可，掌握三角形角平分线、中线和高有关概念是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是的中线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴是的角平分线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴， 但无法得到，原选项说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴是的高，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 3. 如图，点在同一直线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 4. 若一个三角形两个外角之和为，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角和为，两个外角之和为，则第三个外角的度数为，则其相邻内角是，从而判定形状． 【详解】∵三角形的外角和为，两个外角之和为， ∴第三个外角的度数为， ∴其相邻内角是， ∴该三角形是钝角三角形． 故选：C． 【点睛】本题注意考查了三角形的外角和、三角形的形状判定，熟练掌握三角形外角和，准确判定三角形的形状是解题的关键． 5. 已知，，．若，，的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，根据三角形全等的性质可得，，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ，即， 在和中，， ， ， ， 故选：A． 6. 老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 7. 下面说法正确的个数有（ ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的定义，三角形内角和定理，三角形的高和平分线，三角形的外角的性质，根据三角形定义，三角形高的概念，三角形的外角与内角的性质，逐项判断． 【详解】解：①不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误； ②如果，根据得到，解得，，那么是锐角三角形，故②错误； ③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部，故③正确； ④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故④错误； ⑤三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故⑤错误； ∴正确的命题有③，共1个， 故选：A． 8. 如图，中，，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理． 设，根据三角形的内角和定理，结合已知可得，可得，从而可得，即为的度数． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：B． 9. 如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（       ） A. 30 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 11. 如图，在中，，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时，点在线段上由点向点匀速运动．当点的运动速度为（ ）时，能够在某一时刻使与全等． A. 2 B. 4 C. 2或3 D. 4或6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，，根据等腰三角形的性质得到，再利用全等三角形的判定方法得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，，， 点为的中点， ， ， ， 当，时，， 即，，解得，； 当，时，， 即，，解得，， 综上所述，点的运动速度为或． 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：过点作轴于M，过点作轴于N， 由题意得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，则， 同上可求、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故选：B． 二、填空题 13. 已知的周长为12，且各边长均为整数，那么这样的等腰的底是_______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的边长关系和三角形三边关系是解题的关键． 设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据周长公式列出方程，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）确定、的整数解． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为． 根据三角形三边关系： ， 解得， 为整数， 或． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 14. 如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为______． 【答案】##74度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 中，，边上的高，，则的面积是___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 16. 已知a，b，c是的三条边长，化简:_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各绝对值内式子的正负，从而化简绝对值即可． 【详解】解：∵是 的三条边长， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 17. 如图，在中，，点D，P分别在边，上，且， ，，垂足分别为点E．F．若，则的值_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握用等面积法求解线段的方法和步骤． 18. 如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．有下列结论①；②垂直平分；③平分；④．则结论正确的有_______．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作一个角的平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，根据作图可知，，可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知；由等腰三角形的性质可知垂直平分；由作图可知平分；根据可得． 【详解】解：由作图可知，， 是的垂直平分线， ， 故正确； 在中，， ， 由作图可知是的平分线， ， ∴， 在和中，， ， ， 垂直平分， 故错误； ， ， 平分， 故正确； ， ， 垂直平分， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的有． 故答案为： ． 三、解答题 19. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）4，1，2，3，， （3）10 【解析】 【分析】题目主要考查作轴对称图形，写出点的坐标，利用网格画等腰三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作图即可； （2）结合图形写出点的坐标即可； （3）分三种情况以点为圆心、长为半径画圆，以点为圆心、长为半径画圆，两圆的交点连接可得的垂直平分线，结合图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变， ， ； 【小问3详解】 如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以为底的等腰三角形， 综上，所有符合条件的点有10个 故答案为：10． 20. 如图，在中，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21. 如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中， ； （2） 证明：， ， D为的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ， ； （3） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． （1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． （2）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． （3）如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 【答案】（1） （2） （3） 解：是“准互余三角形”，理由如下： ∵平分， 又∵是的外角，且 ， ， ， ∴是“准互余三角形”． 【解析】 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； 【小问2详解】 解：∵为“准互余三角形”，与为“准互余角”， ， ， ， 又， ； 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，等量代换可得，再根据平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”即可求解； （2）先证明，得出，结合，求出，根据，得出，即可求出，再根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，，的平分线交于点，． （1）证明：； （2）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． （3）如图2，射线上有点，满足，过点作．若过点作于点，请猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2） 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． （3） 解：或，理由如下： ∵， ∴可设，则， 若点P在线段上，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 若点P在线段延长线上，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，和的数量关系为或． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，从而得到，再结合三角形内角和定理可得，然后根据，即可求证； （3）设，则，然后分两种情况：若点P在线段上；若点P在线段的延长线上，结合三角形内角和定理以及平行线的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 25. 如图①，在平面直角坐标系中，，连接，且，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）如图②，若点从点出发沿轴向左移动，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接．当点在线段上时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，三点共线，求此时的度数及点的坐标． 【答案】（1）； （2） 解：是等腰直角三角形， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ； （3），点的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系的相关知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出点的坐标． （2）要证明，需证明，根据已知条件寻找全等的条件． （3）先根据，，三点共线推出角的关系，再结合等腰直角三角形的性质求出的度数，最后求出点的坐标． 【小问1详解】 解：过点作轴于点． ，， ，． ， ． 又， ． 在和中， ， ． ，． ， 点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，三点共线，由（2）知， ． 是等腰直角三角形， ， ， ． ． ， 是等腰直角三角形， ． ， 点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省德阳市第二中学校2025-2026学年 八年级上学期期中考试数学试题 一、选择题 1. 下列“表情”中属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A. 是的中线 B. 是的角平分线 C. D. 是的高 3. 如图，点在同一直线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若一个三角形两个外角之和为，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 已知，，．若，，的度数（ ） A. B. C. D. 6. 老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 下面说法正确的个数有（ ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，中，，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（       ） A. 30 B. 15 C. D. 10. 如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 7 11. 如图，在中，，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时，点在线段上由点向点匀速运动．当点的运动速度为（ ）时，能够在某一时刻使与全等． A. 2 B. 4 C. 2或3 D. 4或6 12. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知的周长为12，且各边长均为整数，那么这样的等腰的底是_______． 14. 如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为______． 15. 中，，边上的高，，则的面积是___________． 16. 已知a，b，c是的三条边长，化简:_______． 17. 如图，在中，，点D，P分别在边，上，且， ，，垂足分别为点E．F．若，则的值_______． 18. 如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．有下列结论①；②垂直平分；③平分；④．则结论正确的有_______．（填序号） 三、解答题 19. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 20. 如图，在中，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 21. 如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，判断的形状，并说明理由． 22. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． （1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． （2）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． （3）如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 23. 如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 24. 如图，，的平分线交于点，． （1）证明：； （2）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． （3）如图2，射线上有点，满足，过点作．若过点作于点，请猜想和的数量关系，并说明理由． 25. 如图①，在平面直角坐标系中，，连接，且，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）如图②，若点从点出发沿轴向左移动，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接．当点在线段上时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，三点共线，求此时的度数及点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $