1.2一定是直角三角形吗 同步习题 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.2一定是直角三角形吗 一、单选题 1．下列各数中，能与8，15构成一组勾股数的是（    ） A．7 B．17 C．19 D． 2．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C．31 D．37 3．的三边分别为，，，则下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．将一个直角三角形的三边都扩大4倍，则得到的新三角形是（   ）． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 6．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．72 B．36 C．66 D．42 7．已知的三边长分别是a、b、c，且a、b、c满足等式，则下列关于形状的判断正确的是(　　) A．是直角三角形，是直角， B．是直角三角形，是直角， C．是等腰三角形，底边长为c， D．是等腰三角形，底边长为a， 8．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 二、填空题 9．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 10．中，若，则 ． 11．如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为 ． 12．勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 13．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 三、解答题 14．利用无刻度的直尺画图． (1)利用图①中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线． (2)在图②的网格中画一个三角形，满足下列条件：①是直角三角形；②任意两个顶点都不在同一条网格线上；③三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上． 15．如图，在中，，，是上一点，且，． (1)是直角三角形吗？说说你的理由； (2)求的长． 16．如图，四边形中，，，，，． (1)判断是否是直角，并说明理由； (2)求四边形的面积． 17．如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)试说明：； (2)若，求的长度． 18．如图，在中，，是边上一点，，，． (1)试判断的形状； (2)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了勾股数，勾股数要求三个正整数，且满足，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不是正整数，故该选项不符合题意； 故选：B 2．B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得的长，然后根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为， 故选：B． 3．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理及构成三角形的条件，若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形，解决本题的关键就是根据勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】A选项：，，， ， 是直角三角形， 故选项符合题意； B选项：，， ，， ∴不能构成三角形， 故B选项不符合题意； C选项：，，， ，， ， 不是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：，，， 最大， ，， ， 不是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决此题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理； 【详解】解：∵的三条边分别为，，，满足， ∴， 根据勾股定理逆定理可知：， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握两个定理的内容是关键；设原三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则新三角形的三边分别为，，利用勾股定理及逆定理即可完成． 【详解】解：设原三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， ∵直角三角形的各边都扩大4倍， ∴则新三角形的三边分别为，， 由题意知，， ∵， ∴得到的新三角形是直角三角形． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，勾股定理及其逆定理． 先利用绝对值和偶次方的非负性可得，，从而可得，，进而可得，，然后利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，从而利用勾股定理可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键； 将化为，根据勾股定理逆定理即可判定． 【详解】由可得，， 是直角三角形，且是直角． 故选：C． 9．16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 10． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据题意可得为直角三角形，． 【详解】解：中， ， 为直角三角形， ， 如图： 故答案为：． 11．24 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数，分、、三种情况，根据勾股数的概念判断即可，熟练掌握勾股数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，， 则， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴， 此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述：对应的数为或， 故答案为：（答案不唯一）． 13． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作平行线和垂线的方法，利用直尺作图即可； （2）根据勾股定理逆定理判断三条线段的平方分别为：，判断这三条线段能构成直角三角形即可画出图形． 【详解】（1）解：如图①，如图所示．利用直尺作：，． 则和直线即为所求． （2）解：如图②，即为所求． 理由：由勾股定理得： ． ． 故是直角三角形． 【点睛】本题考查了平行线的作法，垂线的作法，掌握网格结构的特点并熟练应用是解题的关键． 15．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下 ∵， ∴， ∴， 故是直角三角形； （2）设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 故． 16．(1)是直角，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）解：是直角，理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角； （2）解： ． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）先求出，在中，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：因为是的中点，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是直角三角形，即． （2）解：是的中点，， 所以， 因为， 所以， 在中，， 因为， 所以， 解得：， 所以的长为． 18．(1)见解析 (2)7.5 【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 所以， 所以是直角三角形． （2）解：由（1）知，是直角三角形，且， 所以． 设， 因为， 所以． 因为， 所以， 解得．     所以． 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $