精品解析：广东省潮州市湘桥区韩山师范学院附属城西中学集团2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中教学质量检查 九年级数学科试卷 一、选择题（把你认为正确的答案代号填在相应的表格内，每小题3分，共30分） 1. “琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 关于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 当或者时， 4. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 5. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条．则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知坐标平面上有一等边，其坐标分别为，，将绕点依顺时针方向旋转，如图所示则旋转后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 9. 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为，则下列结论错误的是（　　） A. B. 当时，y随x的增大而减小 C. 若的一个根为，则 D. 抛物线可由抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 10. 如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ）． A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分，请把下列各题的正确答案填在横线上）． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为__________． 12. 如图，是的弦， 于点D，交于点C，若，，那么的半径为 _____． 13. 广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得______． 14. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 15. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是___________ ． 三、解答题（每小题8分，共24分） 16. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 17. 如图，二次函数的图象与轴交于点 （在的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求两点的坐标； （2）根据图象直接写出当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）将绕原点逆时针旋转得，画出． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 20. 如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC=2cm，求⊙O的半径． 21. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 五、解答题（每小题12分，共24分） 22. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5米－6.5米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为元． 【建立模型】（1）当车库区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准? （2）若该小区区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元? 【拓展应用】 （3）由于租金过高，车位租出个数相应减少，小区物业决定将车位月租金上涨金额控制在不低于5元且不高于15元，则当区域每个停车位月租金上涨多少元时，该区域的月租金收入最大?最大值是多少元? 23. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值 ②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中教学质量检查 九年级数学科试卷 一、选择题（把你认为正确的答案代号填在相应的表格内，每小题3分，共30分） 1. “琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 3. 关于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 当或者时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口方向、对称轴以及顶点坐标，可判断A、B、C选项，求出和时的函数值，再结合二次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：， 图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，A、B选项说法错误， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，C选项说法错误； 当时，；当时，； 当或者时，，选项说法正确， 故选：D． 4. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．记，，旋转后的对应点为，，，交于点．利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点． 由旋转的性质可知四边形为长方形， ， ， ， ， 旋转角可以为， 故选：A． 5. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条．则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个飞机场，根据题意得，然后解方程并检验是否符合题意即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设共有个飞机场， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 答：这个航空公司共有飞机场个． 故选：． 6. 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理．先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，然后用即可求出结果． 【详解】解：过O点作垂直于的半径，交于点D，连接，如下图， ∵油漆桶的直径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴油漆桶中油漆的最大深长为． 故选：D． 7. 已知坐标平面上有一等边，其坐标分别为，，将绕点依顺时针方向旋转，如图所示则旋转后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设旋转后点对应的点为，过作轴于，首先利用旋转的性质和等边三角形的性质可以得到，，然后利用含30度直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设旋转后点对应的点为，过作轴于， 为等边三角形，，， 又将绕点依顺时针方向旋转， ，， ， ，， ， 旋转后点的坐标为 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化旋转，同时也利用了等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质和勾股定理，有一定的综合性． 8. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 9. 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为，则下列结论错误的是（　　） A. B. 当时，y随x的增大而减小 C. 若的一个根为，则 D. 抛物线可由抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解的定义，用表示、的值是解题的关键． 根据顶点坐标判断、的正负性，由此判断A；根据开口方向和对称轴判断B；用表示、，再解方程判断C；根据平移法则判断D． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ， ， ， ， ， ， ∴的符号无法判断，故A错误，符合题意； ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； ， ， ∵的一个根为， ， ∴，故C正确，不符合题意； ∵抛物线的顶点为， ， ∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到，故D正确，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ）． A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分，请把下列各题的正确答案填在横线上）． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的特征，正确得出，的值是解题关键． 直接利用关于原点对称点的特征：横纵坐标与横向坐标、纵坐标与纵坐标互为相反数得出，的值，进而代入得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ，， 解得：，， 则的值为：． 故答案为：12． 12. 如图，是的弦， 于点D，交于点C，若，，那么的半径为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，先根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵于点D，， ∴， 在中， ∵ ， ∴， 故答案为：5． 13. 广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，熟练掌握是解题的关键，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 根据增长率为x，2023年荔枝树平均每株产量，写出2024年荔枝树平均每株产量表达式，2025年荔枝树平均每株产量表达式，由2025年平均每株产量达到25千克，列出方程即可． 【详解】解：2023年荔枝树平均每株产量为16千克，每年的增长率基本相同． 设年平均增长率为x， 则2024年平均每株产量． 2025年平均每株产量． ∵2025年平均每株产量达到25千克， ∴列方程． 故答案为：． 14. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 因为，所以抛物线的顶点坐标为， 得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是___________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，连接，证明，得，得到点F在射线上，当时，有最小值，最小值为1，即可得到答案． 【详解】解：连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点D与成的射线上移动， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 三、解答题（每小题8分，共24分） 16. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 解：甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确， 故答案为：不正确；不正确； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 17. 如图，二次函数的图象与轴交于点 （在的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求两点的坐标； （2）根据图象直接写出当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，利用待定系数法求函数解析式，通过函数图象交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）通过二次函数解析式求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，联立解析式求交点坐标即可； （2）利用图象交点确定不等式解集即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得或， ∴，， 将代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴； 【小问2详解】 解：根据直线和抛物线的交点坐标可得， 当一次函数的值大于二次函数的值时，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）将绕原点逆时针旋转得，画出． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，中心对称变换，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点，，，然后描点连接即可； （）利用网格特点和旋转的性质分别画出点，，的对应点，然后描点连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【小问1详解】 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 20. 如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC=2cm，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：∵ACAB，ODAB，OEAC， ∴四边形ADOE是矩形，，， 又∵AB=AC， ∴AD=AE， ∴四边形ADOE是正方形． （2）cm 【解析】 【分析】（1）根据ACAB，ODAB，OEAC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证； （2）连接OA，由勾股定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接OA， ∵四边形ADOE是正方形， ∴cm， 在Rt△OAE中，由勾股定理可得：cm， 即⊙O的半径为cm． 【点睛】本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题的关键． 21. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 【答案】（1） 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 五、解答题（每小题12分，共24分） 22. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为5.5米－6.5米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为元． 【建立模型】（1）当车库区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准? （2）若该小区区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元? 【拓展应用】 （3）由于租金过高，车位租出个数相应减少，小区物业决定将车位月租金上涨金额控制在不低于5元且不高于15元，则当区域每个停车位月租金上涨多少元时，该区域的月租金收入最大?最大值是多少元? 【答案】（1）车道宽度符合标准（2）每个车位月租金上涨25元（3）每个车位月租金上涨15元时，收入最大，最大值是10105元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设车道的宽度为x米，根据A区域占地面积，可列方程，求解方程再进行判断即可； （2）设每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，根据月租金收入为10125元列方程求解即可； （3）设月租金收入为元，根据题意得，根据二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）先将图形平移，如图， 因为停车位占地面积为，则 ， 解得或（不符合实际，舍去）， 因为，所以车道宽度符合标准； （2）设每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，根据题意得， 整理得， 解得， 所以，每个车位月租金上涨25元； （3）设月租金收入为元，根据题意得， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） 所以，每个车位月租金上涨15元时，月租金收入最大，最大值是10105元． 23. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值 ②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】（1）y=-0.25（x-5）2+6.25；（2）隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；理由见解析；（3）（Ⅰ）；（Ⅱ）P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）． 【解析】 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点， 代入顶点式得： y=a（x-5）2+6.25， ∴0=a（10-5）2+6.25， 解得：a=-0.25， ∴y=-0.25（x-5）2+6.25； （2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴10-3×2=4， 4÷2=2， ∴x=2代入解析式得： y=-0.25（2-5）2+6.25； y=4， 4-3.5=0.5， ∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶； （3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25； ∴矩形ABCD的周长为l为： ∴l的最大值为： ． II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q． ∴∠POA=∠OPA=45°， ∴Q点的纵坐标为5， ∴5= −m2+10m 4 ， 解得：， 所以P或 当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴， 当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形， Q点在OM的上方时， P3Q3=2Q3K1，P3Q3=， Q3K1=5-x， Q点在OM的下方时， P4Q4=2Q4K2，P4Q4=， Q4K2=x-5， ∴ ， 解得：x1=4，x2=10， P3（4，4），P4（10，10） ∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为： 或或（4，4）或（10，10）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $