精品解析：安徽省九师联盟2025-2026学年高三上学期第三次质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 5. tan（ ） A. 0 B. C. 2 D. 6. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. 11 B. 31 C. 32 D. 121 7. 已知，，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期 C. 在上单调递增 D. 函数为奇函数 10. 若椭圆的左、右焦点分别是，，P是E上的动点，则（ ） A. 的周长为6 B. 面积的最大值为 C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极大值与极小值异号 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的图象关于点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________． 13 若随机事件A，B相互独立，且，，则__________. 14. 已知函数，若在上恒成立，则实数取到的最大整数值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，，为边的中点，求的长. 16 已知函数 （1）求的值； （2）当时，求方程解； （3）若函数在上恰有三个极值点，求实数ω的取值范围． 17. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数的取值范围； （2）设，求证：. 18. 如图1，在梯形中，，且，沿对角线将折起，使得点到点位置，且平面平面，如图2. （1）求证：； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）已知，若函数在上的最小值为0，求的值； （3）若，证明：，使得对恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，根据集合的补集运算即可求解. 【详解】由题意知，所以． 故选：C． 2. 若复数，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算及模的运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算求解. 【详解】根据三角函数的概念，得，，所以. 故选：C. 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，求出，再代入解析式，求出即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 5. tan（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，进行化简求值，即可得到答案. 【详解】由， ， 所以，原式． 故选：B． 6. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. 11 B. 31 C. 32 D. 121 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，再用公比表示出，求出.由等比数列的前n项和公式即可求得. 【详解】由等比数列的性质知，又，所以， 设的公比为，则，所以或（舍）， 所以. 故选：B. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用辅助角公式，把条件中两个角合并成一个角，然后找到待求的式子中的角与条件中的角的关系，再利用三角恒等变换联系起来，即得答案. 【详解】由， ，又， 所以，， 所以， . 故选：D. 8. 已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，进而比较大小. 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为偶函数，则， 而，则． 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期 C. 在上单调递增 D. 函数为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的性质，逐一验证即可求解. 【详解】因为，所以，故A错误； 由的最小正周期，故B正确； 令，得， 取，得在上单调递增，， 所以在上单调递增，故C正确； 非奇非偶函数，故D错误． 故选：BC． 10. 若椭圆的左、右焦点分别是，，P是E上的动点，则（ ） A. 的周长为6 B. 面积的最大值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程得到.由椭圆的定义即可得到的周长，判断A选项；设，由椭圆上的点坐标的范围即可求得面积的最大值，判断B选项；由的关系，消元化简，由的范围求得的范围，判断C选项；写出，坐标，然后得到，由椭圆中的范围得到结果，判断D选项. 【详解】由题意知，，. 由椭圆的定义，得，所以的周长为，故A正确； 设，则的面积，故B错误； 因为，所以，又， 所以，故C正确； ，，， 又，，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 的极大值与极小值异号 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数可得到的单调性与极值，再结合零点存在定理可判断选项AB；对于C：验证，即可判断；对于D：验证，即可判断. 【详解】， 令，得或，所以在和上单调递减； 令，得，或，在和上单调递增， 列表如下： 0 0 0 极大值2 极小值 极大值2 因为，，所以在上有且只有一个零点， 又，，所以在上有且只有一个零点，又，故A正确； 由表格知，极大值和极小值同号，故B错误； 因为， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 因为， ， 所以的图象关于对称，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】． 故答案为：. 13. 若随机事件A，B相互独立，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】法一，根据概率的加法公式求解；法二，根据相互独立事件的性质及对立事件的概率求解. 【详解】解法一：因为事件A，B相互独立，所以，. 解法二：因为事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若在上恒成立，则实数取到的最大整数值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导，研究的性质，结合函数不等式恒成立确定的零点在内，且，进而只需且能成立，应用放缩确定的大致范围，从而得到的大致范围，讨论取整数的情况求其最大值. 【详解】由题设，若是的导数，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 而，且时，时， 所以，在上，在上， 当时，恒成立，即在上单调递增，且时，显然不满足题设； 当时，在上存在一个零点，记为， 所以上，即在上单调递增，且时，显然不满足题设； 当时，在上存在一个零点，记为， 此时上，上， 所以上，上，且，则， 即在上单调递减，在上单调递增，， 要使在上恒成立，则且， 由，则，故， 要找到实数的最大整数值，需确定情况下的大致范围， 即能成立，对应的大致范围，只需， 则，故，所以， 由取整数，故范围可变为，再讨论如下： 当时，，显然时，不合题意； 当时，，则， 由，故，使，即， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 又时，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，满足题意， 综上，实数取到的最大整数值是1. 故答案为：1 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，，为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式可得答案； （2）解法一：由余弦定理求出，再由勾股定理可得答案；解法二：对两边平方可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 代入上式得， 因为，所以，所以，即， 又，所以； 【小问2详解】 解法一：由余弦定理， ， 因为，即，所以， 所以； 解法二：因为为边的中点，所以， 故， ，，，的夹角为， 所以，即. 16. 已知函数 （1）求的值； （2）当时，求方程的解； （3）若函数在上恰有三个极值点，求实数ω的取值范围． 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式化简，代入即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值，以及诱导公式、角的范围，求出对应的解即可； （3）结合三角函数的图像与性质，极值点的定义，求解即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由，得， 由，得，所以，或，相应的解为； 【小问3详解】 ，由，得， 因为在上恰有三个极值点，所以，解得， 即的取值范围是． 17. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数取值范围； （2）设，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在上单调递增等价于在上恒成立，再分离参数，结合不等式求最值即可； （2）令，利用小问（1）可得到：，再根据此式放缩，累加即得答案. 【小问1详解】 ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 所以恒成立，令，只需， ， 当且仅当，即时等号成立，所以. 由，得，即的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递增， 所以当时，，即. 令，，所以， 即，所以，. 当依次取1，2，…，n时，，，…，. 上面式子叠加即得. 18. 如图1，在梯形中，，且，沿对角线将折起，使得点到点位置，且平面平面，如图2. （1）求证：； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）在梯形中证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设出球心坐标，利用空间两点间距离公式建立方程组求出球半径，再利用球的体积公式求解. （3）利用（2）中坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在梯形中，，取的中点，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 于是，即，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，而平面， 所以. 【小问2详解】 在三棱锥中，在平面内过点作，由（1）知平面， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，又， 则， 设三棱锥的外接球球心为，半径为，则， 即，解得， 所以三棱锥的外接球的体积为. 【小问3详解】 由（2）得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）已知，若函数在上的最小值为0，求的值； （3）若，证明：，使得对恒成立． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，求出切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解； （2）求导后再对导数进行分析，研究其单调性，从而得出导数小于等于0，得出单调递减，代入解出即可； （3）首先对于的存在性问题，只需求出左侧即可，对求导分析，可以通过隐零点表示出，再利用进行代换，构造函数研究其单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，， ，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，所以， 令，则， 因，所以， 在上单调递减，， 所以在上单调递减，， 所以，符合题意，即． 【小问3详解】 ，， 令，则，因为， 所以，， 令，得，当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以在时取得极大值，也是最大值，最大值为 要证，使得对恒成立，即证对恒成立，即证对成立，又，所以即证对恒成立，即证，其中． 令， 因为， 所以． 令，则，则在上单调递增，又，则，使，解得，所以． 当时，，即单调递减；当时，，即单调递增． 所以在时取得极小值，也是最小值，． 令， 则，即在上单调递减，， 又， 即当时，， 所以，使得对恒成立，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $