精品解析：云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期教学测评期中卷数学试题

云南师大附中2027届高二年级上学期教学测评期中卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，即可得答案. 【详解】由题意得． 故选：D． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，可求直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意可得，又，所以． 故选：A． 3. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，， 由为双曲线的焦点，得， 所以，故渐近线方程为. 故选：C 4. 已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以，解得． 故选：B． 5. 已知且，则为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出的所有可能取值的情况，根据古典概型的概率公式，即得答案. 【详解】因为， 其中偶数有，所以为偶数的概率为． 故选：B． 6. 将函数右移个单位得到函数，则的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平移得出解析式，再应用对称轴方程计算判断. 【详解】函数右移个单位得到函数． 令，得， 当时，得， 故选：D 7. 已知圆与直线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求解即可. 【详解】由圆，得， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交的弦. 故选：A． 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设，再结合双曲线定义得出，最后应用勾股定理计算求解. 【详解】设，则， 由双曲线定义得：，解得， 所以，则为直角三角形，且， 在中，， 故选：A． 二､多选题 9. 的三个顶点是，下列说法正确的是（ ） A. 边上的中线所在的直线的方程： B. 边上的高所在的直线的方程： C. 过点，且平行于边的直线的方程： D. 过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由的坐标求出中点，求出，利用点斜式得到中线为AD的直线的方程；B选项，求出直线的斜率，利用两线垂直，得到上的高所在直线的斜率；C选项，由点斜式可得过点且平行于边的直线的方程；D选项若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为截距式，代入点的坐标得到无解，直线不存在；若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点的坐标得该直线方程. 【详解】因为，所以中点，边上的中线为AD，所在的直线的方程：，A正确； 由可得直线的斜率为1，所以边上的高所在直线的斜率为-1，方程为：，B正确； 由点斜式可得，过点，且平行于边的直线的方程：，C正确； 若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为：， 代入点，得a无解，直线不存在； 若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点，得该直线方程为：，D错误. 故选：ABC． 10. 已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为： B. 若轴，则 C. 若直线AB的斜率为1，则 D. 以为直径的圆与相切或相交 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合点差法、直线与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】因为抛物线，所以准线的方程为：错误． 轴，，则，B正确． 因为，又因为，两式作差可得： ，即，C正确． 以为直径的圆，圆心为，半径为， 则圆心到的距离为，因为， 所以，该圆与相切或相离，D错误， 故选：BC． 11. 在长方体中，分别为的中点，分别为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 若，则平面截长方体所得截面为五边形 D. 若为中点，则三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由平面可得点到平面的距离为定值，进而可得三棱锥的体积为定值；B选项，将沿翻折，使得与四边形共面，进而根据三点共线且时取得最小值，再由等面积法求解最小值；C选项，由，利用空间向量方法证明五点共面，可证截面为五边形；D选项，利用球心性质，通过余弦定理及勾股定理求解外接球半径，进而求解外接球表面积. 【详解】A选项：在长方体中， 在四边形中，，且， 故四边形为平行四边形，所以. 平面，且平面， 故平面，又因为在上， 所以到平面的距离为定值， 由的面积确定，所以三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，故A正确； B选项，将沿翻折，使得与长方形共面， 当三点共线且时，取得最小值， 即过作，垂足为，与交于点， 此时. 由等面积法， 其中， 可得， 解得，故B错误； C选项，当时，即为棱上靠近点的三等分点， 在棱上取靠近点的三等分点，连接， 则，且，，故四点共面. 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以， 令，则， 所以，解得，即， 即四点共面，则五点共面， 故五边形即为平面截长方体所得的截面，故C正确； D选项，设三棱锥的外接球球心为，半径为， 取中点，连接， 设的外心为，外接圆半径为， 由，可知. 在中，， 则由余弦定理得， 所以， 故外接圆半径； 由为直角三角形，则中点为的外心， 连接. 则，且， 由平面，则平面， 又平面，所以， 同理可证，所以四边形为平行四边形， 则； 则， 所以， 三棱锥的外接球表面积为，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题 12. 样本数据的方差为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】直接利用方差公式计算即可求解. 【详解】样本数据的平均数， 方差． 故答案为：． 13. 已知是椭圆上的一点，且点P在第一象限，以点P及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设P点，再根据面积得出，再代入计算求解. 【详解】设，， 因为， 又因为点P在第一象限，所以， 又因为P是椭圆上的一点，代入，， 可得P的坐标． 故答案为：. 14. 已知圆在轴右侧，点在轴上运动，以为直径的圆与圆交于点，且最小值为，点为直线与直线的交点，为坐标原点，则__________，最小值__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，可得以为直径的圆的方程，由，结合可求得，与圆的方程相减可得直线的方程，进而求得定点，进而可得的轨迹为以为直径的圆，从而可求的最小值 【详解】因为点为以为直径的圆与圆交点，所以， 所以，又因为， 所以，解得， 设，则以为直径的圆方程为：， 又圆， 两方程作差：可得为直线的方程， 即为：，所以直线过定点， 由对称性可知：，因为点为直线与直线的交点， 所以的轨迹为以为直径的圆（点除外）， 该圆半径，记圆心， 所以最小值． 故答案为：；2 四､解答题： 15. 在中，内角所对的边分别为，面积为，且． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）应用面积公式及数量积公式计算得出，最后应用同角三角函数关系计算求解； （2）先应用正弦定理得出，再应用诱导公式及两角和的正弦公式求出，最后应用面积公式求解. 【小问1详解】 由可得：， 则，即为锐角， 又因为，解得 【小问2详解】 因为， 由正弦定理可得：， 又因为， 所以． 16. 已知抛物线与直线交于两点． （1）求； （2）若线段的垂直平分线交轴于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由弦长公式即可求解； （2）由垂直关系确定线段的垂直平分线方程，再结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 设，联立得：， 所以，又因为直线的斜率为1， 【小问2详解】 设中点为，则，代入直线， 得，所以，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为-1， 直线的方程为：，即，所以 所以， 17. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，为线段中点，，为上一点． （1）证明：平面平面； （2）若为中点，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为为线段中点，，所以， 因为，所以，又因为，所以四边形ABCO为正方形， 所以，由已知：，且，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可证明，结合已知可证平面，可得结论； （2）可证两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是等边三角形，为线段中点，所以， 又因为，所以平面 所以两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成夹角为， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 18. 已知． （1）求的解析式，并判断的单调性（无需证明）； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若，，有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1），在上为增函数，在为减函数，在为增函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用配凑法求的解析式，再利用单调性的性质以及导数判定函数单调性； （2）分析可知，参变分离结合基本不等式处理恒成立问题； （3）设，结合对数函数可得，，再结合的单调性分析方程根的问题. 【小问1详解】 因为， 则，所以， 又因为在定义域内单调递增，可知在上为增函数， 且， 令，解得；令，解得； 所以在内为减函数，在内为增函数． 【小问2详解】 因为在上为增函数， 由，则， 若，则， 又因为，当且仅当，时，等号成立， 即的最小值为2，可得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 设，则， 若，则，可得，所以， 因为，则， 由的单调性可知在内为减函数，内为增函数， 且，，， 若有两个实数根， 则或，解得或， 所以的取值范围为. 19. 已知椭圆的焦距为，为椭圆上一点． （1）求的方程； （2）椭圆的左､右顶点为，直线与交于不同的两点（不与重合），直线与直线的斜率满足，且直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①求证：直线为定直线； ②求四边形面积S的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）根据题意结合椭圆定义可得，进而可得和椭圆方程； （2）①根据题意结合椭圆方程可得，，设直线方程求交点坐标即可；②设，利用韦达定理结合可得，进而求面积，结合函数单调性求最值. 【小问1详解】 因为椭圆焦距，所以， 可知左､右焦点分别为， 又因为在椭圆上，则， 可得，所以E的方程为：. 【小问2详解】 ①由题可知：， 设，则，可得， 所以， 同理，设， 则， 联立，解得点， 联立，解得点 所以直线为定直线：； ②由题可得：的斜率不为0，设， 联立：得： 则，， 因为， 可得， 整理可得， 代入韦达定理可得：， 因为，可得，解得， 满足，所以直线过左焦点， 因为，则， 可得， 则 ， 即， 可得， 令，则，， 可得， 因为函数在为增函数， 所以当，即时，S取得最小值，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高二年级上学期教学测评期中卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知且，则为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数右移个单位得到函数，则的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与直线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 的三个顶点是，下列说法正确的是（ ） A. 边上的中线所在的直线的方程： B. 边上的高所在的直线的方程： C. 过点，且平行于边的直线的方程： D. 过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 10. 已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上两动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为： B. 若轴，则 C. 若直线AB的斜率为1，则 D. 以为直径的圆与相切或相交 11. 在长方体中，分别为的中点，分别为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 若，则平面截长方体所得截面为五边形 D. 若为中点，则三棱锥的外接球表面积为 三､填空题 12. 样本数据的方差为__________． 13. 已知是椭圆上的一点，且点P在第一象限，以点P及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________． 14. 已知圆在轴右侧，点在轴上运动，以为直径的圆与圆交于点，且最小值为，点为直线与直线的交点，为坐标原点，则__________，最小值__________． 四､解答题： 15. 在中，内角所对的边分别为，面积为，且． （1）求； （2）若，求． 16. 已知抛物线与直线交于两点． （1）求； （2）若线段的垂直平分线交轴于点，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，为线段中点，，为上一点． （1）证明：平面平面； （2）若为中点，求平面与平面所成夹角的余弦值． 18. 已知． （1）求的解析式，并判断的单调性（无需证明）； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若，，有两个实数根，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的焦距为，为椭圆上一点． （1）求的方程； （2）椭圆的左､右顶点为，直线与交于不同的两点（不与重合），直线与直线的斜率满足，且直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①求证：直线为定直线； ②求四边形面积S的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $