精品解析：天津市河北区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷

河北区2024-2025学年度高二年级第一学期期中质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 过和两点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 6. 已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 10. 已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上. 11. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则__________. 12. 已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为____________． 13. 如图，在长方体中，，，点为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 14. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 15. 已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为_________. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，，，. （1）求点到直线的距离： （2）求线段垂直平分线所在的直线方程； （3）求过点且在轴和轴截距相等的直线方程. 17. 已知直线与圆交于，两点，且. （1）求实数的值； （2）若点为直线上动点，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过点，当面积为时，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2024-2025学年度高二年级第一学期期中质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角即可. 【详解】由得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则且，解得. 故选：C. 2. 空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则计算可得结果. 【详解】易知 故选：D 3. 已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率. 【详解】由题的， 所以， 所以离心率为， 故选：C. 4. 过和两点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 5. 已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3 ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 6. 已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设直线方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径， 圆圆心为，半径， 所以有 故选：C 7. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基底表示将基底转换即可得出对应坐标. 【详解】依题意可知， 设向量在基底下的坐标是，则, 所以， 可得，解得， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：B 8. 从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可. 【详解】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 9. 平行六面体中，，，，，，则长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底表示出，再利用数量积的运算律计算可得结果. 【详解】记，则， 且； 所以； 因此可得, 即，所以的长为. 故选：D 10. 已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求解. 【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上. 11. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据空间中点的对称关系得到B点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果． 【详解】∵点B是点在坐标平面内的正射影， ∴B在坐标平面上，横标和纵标与A相同，而竖标为0， ∴B的坐标是， ∴， 故答案为：. 12. 已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为____________． 【答案】或 【解析】 分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 13. 如图，在长方体中，，，点为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】以为基底表示出，，再由向量夹角的计算公式即可得出答案. 【详解】记，则， 易知，所以； 又， 所以； 显然，, 所以； 又直线与直线所成的角的范围是， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 15. 已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知和椭圆定义求出、，点在轴上（也为椭圆的顶点），在中，由余弦定理、解得，再由求出可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，，， 又，所以，所以，所以在轴上（也为椭圆的顶点）， 在中，由余弦定理可得， ，可得，解得， 所以，则的方程为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，，，. （1）求点到直线的距离： （2）求线段垂直平分线所在的直线方程； （3）求过点且在轴和轴截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，再由点到直线距离公式计算可得结果； （2）由两直线垂直的斜率关系以及中点坐标，由点斜式方程可得结果； （3）分类讨论截距是否为0，即可得出对应直线方程. 【小问1详解】 由题可知直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 由点到直线距离公式可得， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 易知线段的斜率,所以其垂直平分线斜率为； 且过的中点， 可得该直线方程为，即； 【小问3详解】 当在轴和轴截距都为0时，此时直线过， 此时直线方程为； 当在轴和轴截距不为0时，设直线方程为，可得； 代入点坐标可得，解得， 此时直线方程为，即； 综上可知，过点且在轴和轴截距相等的直线方程为或. 17. 已知直线与圆交于，两点，且. （1）求实数的值； （2）若点为直线上的动点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程得出圆心和半径，再由并结合弦长公式构造方程即可得； （2）由（1）可得，利用两平行线间距离公式求得点到的距离为，可求出的面积. 【小问1详解】 将圆化为， 所以其圆心，半径，作于点， 由垂径定理可得为的中点，如下图所示： 由可得， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 直线与直线平行， 所以点到的距离为， 因此的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过点，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆顶点以及垂直关系可得，再由通径长可得，代入可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为并于椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线距离公式得出面积表达式可得结果. 【小问1详解】 由椭圆顶点性质以及可得； 当直线过焦点且与轴垂直时，其方程为， 代入可求得，所以， 解得； 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 设直线的方程为，，如下图所示： 联立，消去并整理可得， 由韦达定理可得； 因此， 直线的方程化为，可得点到直线的距离为； 所以的面积为， 又面积，可得，解得； 所以直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $