精品解析：天津市第一中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

天津一中2025－2026－1八年级数学 学科期中质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时100分 第I卷1至2页，第II卷2至4页．考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（本卷共12道题，每题2分，共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项合题目要求．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2. 如图，，点A和点B，点C和点D是对应点，如果cm，cm，cm，那么的长是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据全等三角形的性质求解；本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 【详解】解：∵， 和是对应边 ∴cm． 故选：B． 3. 一个三角形两边长分别是3和7，则第三边长可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，设第三边为x,可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： 7﹣3＜x＜7+3， 则4＜x＜10， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边大于已知的两边的差，而小于两边的和． 4. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE． 【详解】当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中 ∵， ∴△ADF≌△CBE（SAS） 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 5. 如图，，，的垂直平分线交于D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质．利用等边对等角，求出的度数，利用中垂线的性质，求出的度数，两角差即为的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 6. 将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形的外角的定义及性质；由三角板可得，，再由三角形的外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】解：如图： ， 根据三角板可得，， 则， 故， 故选：B． 7. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 8. 已知点的坐标是，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为（1，2）， ∴点A关于y轴的对称点的坐标是（-1，2）， 故选B． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 9. 如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的垂直平分线交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质知是等腰三角形，证明是直角三角形，利用含角的直角三角形的性质可得与间的数量关系，进一步推出，可得结论． 【详解】解：设的垂直平分线交于点，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，确定是解题的关键． 10. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、C正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项B正确， 由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确． 故选：D． 11. 如图，在中，，，，垂足为点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，延长交于，由已知条件可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，又由可得，继而得到，即可得解．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴的长为． 故选：B． 12. 如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的结论为①②③，共3个． 故选∶C． 第II卷（本卷共13道题，共76分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 13. 若等腰三角形的一条边长为，另一条边长为，则此三角形第三条边长为____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形； 当为腰时，其它两边为和，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 所以三角形三边长只能是、、，所以第三边是． 故答案为：8． 14. 已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为__________ 【答案】72°或54° 【解析】 【分析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再分这个内角是顶角与底角两种情况讨论求解即可． 【详解】等腰三角形的一个外角为108°， ∴与这个外角相邻的内角是180°-108°=72°， ①72°角是顶角时，底角为（180°-72°）=54°， ②72°角是底角时，底角为72°， 综上所述，其底角的度数为54°或72°． 故答案为54°或72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题时要注意分情况讨论，不要漏解． 15. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=8cm,BC=30cm,则点D到BC边的距离是______cm，△BCD的面积是______cm2 【答案】 ①. 8 ②. 120 【解析】 【详解】作DE⊥BC于E点． ∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴DE=DA=8cm． ∴△BCD的面积是：（cm2）. 故答案为8，120. 16. 如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为___． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵△BDE由△BCE翻折而成， ∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°． ∵AD=BD， ∴AB=2BC，AE=BE． ∴∠A=30°． 在Rt△ABC中，∵AC=6， ∴BC=AC•tan30°=6×=2． 设BE=x，则CE=6﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x， ∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4． ∴折痕BE的长为4． 故答案为：4 17. 如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则为______度． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 等腰中，，， ， 是的平分线， ， 又是的中垂线， ， ， 垂直平分线段， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，中垂线及等腰三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1） （度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】（1）45 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）利用网格特点和等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）利用勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质证得即可求解． 【小问1详解】 解：由网格得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； 【小问2详解】 解：如图，取格点H，连接交于点E，连接，可得，， 则是等腰直角三角形， ∴， 则， 由， 可得， 故点E即为所求作； 故答案为：如图，取格点H，连接交于点E，连接，可得，，则是等腰直角三角形，可得，则，由，可得，故点E即为所求作． 三、解答题 19. 如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴。 20. 如图，在中，，，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，． （1）求的度数． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），，； （3）P点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）首先确定三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可； （2）根据（1）的写出点，，的坐标即可； （3）根据关于轴对称点的特点，确定点Q的纵坐标为，根据列式求出a的值，即可得P点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ； 【小问2详解】 解：，，； 【小问3详解】 解：∵点与点Q关于x轴对称， ∴点Q的坐标为， 又∵， ∴， ∴或， ∴当时，；当时，， ∴P点的坐标为或． 22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【答案】（1）见解析；（2）2cm． 【解析】 【分析】（1）先说明∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BCE＝∠CAD，然后根据AAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得AD＝CE＝5cm，BE=CD，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质，灵活证明三角形全等的判定定理成为解答本题的关键． 23. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ; 【小问2详解】 解：设 , 由（1）知，在和中， ， 解得 24. 如图，点O是等边△ABC内一点，，．△COD为等边三角形，连接OD、AD． （1）求证：△BCO≌△ACD； （2）当时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析；（3）当＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，求出∠ACD＝∠BCO，根据SAS可证△ADC≌△BOC； （2）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°， ∴∠ACB−∠ACO＝∠DCO−∠ACO． 即∠BCO＝∠ACD． △BCO和△ACD中： ， ∴△BCO≌△ACD． （2）解：当， △AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠BOC＝∠ADC， ∵∠BOC＝＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝150°−60°＝90°， ∴△ADO是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝， ∴∠AOD＝360°−∠AOB−∠BOC−∠COD＝360°−110°−−60°＝190°−， ∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝−60°． ∴∠OAD＝180°−∠AOD−∠ADO＝180°−（190°−）−（−60°）＝50°． 当∠AOD＝∠ADO时，190°−＝−60°， ∴＝125°． 当∠AOD＝∠OAD时，190°−＝50°， ∴＝140°． 当∠ADO＝∠OAD时， −60°＝50°， ∴＝110°． 综上所述：当＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定与性质以及根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解题的关键． 25. 已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． （1）________，为________三角形； （2）如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 【答案】（1）；等边 （2）见解析 （3），理由 【解析】 【分析】（1）根据与x轴正半轴夹角为，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形； （2）在上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系可得，由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可证明； （3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用全等三角形的判定与性质及各角之间的等量关系可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵OB与x轴正半轴夹角为150°， ∴， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：；等边； 【小问2详解】 解：如图所示：在上截取，可得，即， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴BD平分，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由为： ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴， 在中，， 则． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，角的直角三角形的性质等，综合运用各个性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025－2026－1八年级数学 学科期中质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时100分 第I卷1至2页，第II卷2至4页．考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（本卷共12道题，每题2分，共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项合题目要求．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，点A和点B，点C和点D是对应点，如果cm，cm，cm，那么的长是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 3. 一个三角形两边长分别是3和7，则第三边长可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 4. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 5. 如图，，，的垂直平分线交于D，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 8. 已知点坐标是，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A B. C. D. 11. 如图，在中，，，，垂足为点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12 12. 如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（本卷共13道题，共76分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 13. 若等腰三角形的一条边长为，另一条边长为，则此三角形第三条边长为____． 14. 已知等腰三角形的一个外角为108°，则其底角的度数为__________ 15. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=8cm,BC=30cm,则点D到BC边的距离是______cm，△BCD的面积是______cm2 16. 如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为___． 17. 如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则为______度． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1） （度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题 19. 如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 20. 如图，在中，，，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，． （1）求的度数． （2）求的度数． 21. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标． 22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 23. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，点O是等边△ABC内一点，，．△COD为等边三角形，连接OD、AD． （1）求证：△BCO≌△ACD； （2）当时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 25. 已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． （1）________，为________三角形； （2）如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $