第三章 整式及其加减——整式的化简重难点题型 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

整式加减重难点题型 【题型一】整式的加减运算 【例1】已知 ，求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】题中是小贤同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： （1）以上化简步骤中，第一步的依据是_______．（填序号） ①等式的基本性质；②加法交换律；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）以上化简步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_____． （3）请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时，该整式的值． 【答案】（1）③ （2）二，去括号时，括号前面是“”号，去掉括号和“”号，括号内的第二项没有变号 （3）化简见解析，整式的值为 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则，和化简求值的步骤是解本题的关键． （1）观察第一步变形过程，确定出依据乘法分配律即可； （2）找出出错的步骤二，分析其原因去括号法则问题即可； （3）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：以上化简步骤中，第一步的依据是乘法分配律， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：以上化简步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，，括号内的第二项没有变号， 故答案为：二，去括号时，括号内的第二项没有变号； 【小问3详解】 解： ， 当，时，． 【变式2】 计算： （1）定义一种运算：，求． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的运算及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）先对整式进行化简，然后再代值求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ． 【小问2详解】 解： ． 当，时，原式 ． 【变式3】化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 【答案】(1)，2； (2)，． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 【例2】若A是六次多项式，B也是六次多项式，则一定是（    ） A．六次多项式 B．次数不低于六的整式 C．次数不高于六的整式 D．十二次多项式 【答案】C 【详解】解：若A和B都是6次多项式，则的结果的次数一定是次数不高于6次的整式． 例如：当时， ，即错误； 当时， ，即错误； 故选C． 【变式1】如果A是一个五次整式，B是一个四次整式，则一定是（    ） A．次数大于五次的整式 B．五次整式 C．九次整式 D．次数小于五次的整式. 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减.多项式的次数由最高次项决定. 【详解】解：∵整式相减后的次数不超过原式中较高的次数， 又∵A是五次整式，B是四次整式， ∴的次数至多为五次， 并且A的五次项系数在减法中不会被B影响，因为B最高为四次项， ∴中仍存在五次项， ∴一定是五次整式. 故选：B. 【题型二】不含某项问题 【例1】若关于，的多项式不含二次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先去括号、合并同类项，再根据不含二此项求解即可． 【详解】解： = = ∵关于x，y的多项式不含二次项， ∴，， 解得，，， ， 故选：D． 【变式1】若多项式不含项，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵多项式不含项， ∴ 得， ∴． 故答案为：． 【变式2】如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型三】取值无关问题 【例1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值13，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了整式的化简与整式的无关型，先将整式化简，再让含有x和y的项系数为0，得出m和n的值，即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式的值都等于定值13， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：7． 【变式1】已知，． （1）化简； （2）当，，求的值： （3）若的值与y的取值无关，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）把，整体代入（1）中的计算结果中求解即可； （3）根据与y的取值无关即含y的项的系数为0求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵的值与y的取值无关， ∴， ∴， ∴． 【变式2】若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ＝ ＝， ∵原代数式的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ． 【题型四】整式加减中的误看问题 【例1】有一道题目是一个多项式A减去多项式，小胡同学将抄成了，计算结果是，这道题目的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果． 【详解】解：由题意可得：， 则 ， 故这道题目的正确结果是： ． 故选：B． 【变式1】小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的运算法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据条件求出多项式，然后将和代入中即可求出答案． （2）将和代入中，合并同类项为，再根据的结果不含和项，即可得到，，求解即可得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 的结果不含和项， ∴，， 解得：，． 【变式2】小马虎做一道数学题，“已知两个多项式______，，试求．”其中多项式的二次项系数印刷不清楚 （1）小马虎看答案以后知道，请你替小马虎求出系数“______”； （2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式正确求出，老师又给出了一个多项式，要求小马虎求出的结果．小马虎在求解时，误把“”看成“”，结果求出的答案为．请你替小马虎求出“”的正确答案． 【答案】（1）-5；（2）-11x2-x+3． 【解析】 【分析】（1）根据整式加减即可求解； （2）根据整式的加减先求出C，再求A-C的结果即可． 【详解】解：（1）因为， 所以A= = = = 所以，系数为：-5， 故答案为：-5； （2）因为A+C=，A=-5x2-4x， 所以C=+5x2+4x， =6x2-3x-3 所以A-C=（-5x2-4x）-（6x2-3x-3） =-5x2-4x-6x2+3x+3 =-11x2-x+3． 答：A-C的结果为-11x2-x+3． 【题型五】整式加减中的遮挡问题 【例1】印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式1】某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． 请通过计算分别求出C，D卡片上的代数式． 【答案】卡片上的代数式分别为：， 【分析】本题考查整式的加减运算，根据整式的加减运算法则，分别求出两张卡片上的代数式的和与差，即可得出结果． 【详解】解：； ； ∵卡片上的二次项为：， ∴卡片上的代数式为：； ∵的常数项为3， ∴卡片上的代数式为：． 【例2】（2025·河北·模拟预测）老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚． 计算： 解： (1)小明认为“■”是“”，请求出这道题的结果； (2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题： ①小刚说：“当x的值是时，这道题的值为”，求此时系数“■”的值； ②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）把■代入式子，运用去括号法则，合并同类项法则进行化简即可； （2）设系数“■”的值为a，将式子化简为．①由当x的值是时，这道题的值为，可得，求解即可．②由这道题最后的结果是个常数，可得，求解即可． 【详解】（1）解：当“■”是“”时，该多项式为：， ∴ ． （2）解：设系数“■”的值为a，则 ， ①∵当x的值是时，这道题的值为， ∴， ∴， ∴此时系数“■”的值为． ②∵这道题最后的结果是个常数， ∴， ∴， ∴此时系数“■”的值为3． 【变式1】老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式的二次项系数．如图： 已知两个多项式，，试求． 然后告知该题的正确答案是． (1)请求出中被遮挡的二次项系数． (2)老师又给出了一个多项式，并要求求出的结果．小马虎在求解时，误把“”看成“”，进而求出的答案为．现请你修正小马虎的错误，求出“”的正确答案． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，多项式项的系数； （1）由题意得，求出，即可求解； （2）先由求出，再计算，即可求解； 掌握整式加减运算的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 中被遮挡的二次项系数为； （2）解：由题意得 ， ． 【例3】有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 【答案】 见解析 【分析】本题考查整式的化简，通过去括号、合并同类项来化简式子，若化简后的式子中含有的项与正负无关，就是小明抄错的值但结果仍正确的原因． 【详解】解： ∵，即， ∴小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的． 【变式1】有一道题“先化简，再求值， 其中 ，”，小玲做题时错把“” 抄成了“”，但她的计算结果仍是正确的，请你解释这是怎么回事？ 【答案】见详解 【详解】解：原式， 即式子结果与取值无关， 故小玲做题时错把“” 抄成了“”，但她的计算结果仍是正确的． 【变式2】有这样一道题：“先化简，再求值：，其中”，甲同学做题时把错抄成了，乙同学没抄错，但他们做出来的结果却一样，你能说明这是为什么吗？并求出这个结果． 【答案】能，13 【详解】解：因为 ， 所以该整式的值与x的取值无关，即无论x取何值，该整式的值都为13． 【题型六】整体代入 【例1】已知，那么代数式的值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】去括号，合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： 原式 故答案为：7． 【变式1】当时，整式的值为，则当时，整式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，先根据已知条件式得到，进而得到，再把代入整式进行求解即可．利用整体代入的思想求解是解题的关键． 【详解】解：∵当时，整式的值为， ∴， ∴， ∴当时， 即 故答案为： 【变式2】已知，求的值（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式3】实践探究：根据合并同类项法则，得．类似的，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，广泛运用于在多项式的化简与求值中． 据此解答以下问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是____； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，学会运用“整体思想”是解题的关键． （1）按照“整体思想”把看成一个整体，合并同类项即可． （2）把变形为然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则， 故答案为：． （2）解： ∵， ∴原式 【变式4】先化简，再求值： （1），其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式化简后代入已知数值计算即可； （2）将原式化简后将代入计算即可． 【小问1详解】 原式 ， 当时， 原式； 【小问2详解】 原式 ， ∵， ∴， 原式． 【题型七】整式的加减运算与应用 【例1】某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价30元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（）． （1）若该客户按方案①购买，需付款 ______元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款 ________元（用含x的代数式表示）． （2）若，两种方案中，通过计算说明选择按哪种方案购买较为合算． 【答案】（1）， （2）按方案①购买较为合算 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键． （1）根据两种方案表示出需付款即可； （2）将代入两种方案中计算，比较即可． 小问1详解】 ①根据题意得：元； ②根据题意得：元； 故答案为：①；②； 【小问2详解】 当时，（元）， ， 按方案①购买较为合算． 【变式1】2025年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示： 优惠 条件 一次性购物 不超过200元 一次性购物超过200元， 但不超过600元 一次性购物 超过600元 优惠 办法 没有 优惠 全部按九折 优惠 其中600元扔按九折优惠， 超过600元部分按八折优惠 用代数式表示（所填结果需化简）： （1）设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x超过600元时，实际付款为 元． （2）若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？ 【答案】（1）， （2）两次购物的总原价为839元或860元；当总原价为839元时，便宜37.8元；当总原价为860元，便宜21元 【解析】 【分析】（1）由题意知，设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为元；当原价x超过600元时，实际付款为元； （2）由，，可知，第一次花费分两种情况求解：①第一次花费原价为元；②第一次花费原价为元；由，，可得第二次花费原价为 元，分别计算两种情况下的总原价，以及合并成一次购买的总费用，然后与分两次购物的费用作差求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为元； 当原价x超过600元时，实际付款为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， 由题意知，第一次花费分两种情况求解： ①第一次花费原价为元； ②第一次花费原价为元； ∵，， ∴第二次花费原价为 元， ∴当第一次花费原价为元；两次购物的总原价为元， 若合并成一次购买，总费用为元， ∴（元）； 当第一次花费原价为元；两次购物的总原价为元， 若合并成一次购买，总费用为元， ∴（元）， ∴当两次购物的总原价为839元时，合并成一次购买，比分两次购买便宜37.8元；当两次购物的总原价为860元，合并成一次购买，比分两次购买便宜21元． 【变式2】网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表： 项目 时长费 里程费 远途费 单价 0.5元/分钟 1.6元/千米 0.4元/千米 乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成，其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米收0.4元． （1）张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费__________元； （2）若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a、b的代数式表示车费，并化简：当时，小明应付车费__________元；当时，小明应付车费__________元； （3）小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差__________分钟． 【答案】（1）51 （2）；； （3）16 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）将时长费、里程费、远途费相加，即可求出车费； （2）根据当时，车费时长费里程费；当时，车费时长费里程费远途费，分别列代数式即可； （3）设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差分钟，根据时间差路程差远途费列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，（元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：当时，小明应付车费元； 当时，小明应付车费元， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差分钟， 则， 解得：， 即两人所乘的两辆网约车的行车时间相差分钟， 故答案为：． 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，即可作答． （2）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，得，最后结合为正整数，则为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 【例3】学习《整式》后，在一次数学活动中，乐乐对悠悠说：“你在心里想好一个两位数，将个位数字乘5，然后加3，再将所得新数乘2，最后将得到的数加十位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．” (1)如果悠悠的计算结果是38，那么乐乐的答案是　　； (2)通过两人的对话，你能判断乐乐说得对吗？请你用多项式的相关知识说明． 【答案】(1)23 (2)乐乐说到对，说明见解析 【分析】本题考查了整式的加减，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意，列出式子，得到结果； （2）根据题意，得到 ，得到原数为新数减去6，并且交换十位与个位数字即可得到原数． 【详解】（1）解：设悠悠想的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依题意得： ， ， ， ∵且x，y为整数， ∴， ∴乐乐的答案为：23， 故答案为：23； （2）解：设原数为，依题意得： ， ∴原数为新数减6，并且交换十位与个位数字即可得到原数， 故乐乐说到对． 【变式1】小颖某天在一本资料书上看到一个如图所示的流程图，她按照这个流程写下了几个三位数验证了一下，结果都正确，她觉得很神奇，想弄清楚原因，请你借助代数式来帮她解释一下这其中的原因． 【答案】见解析 【详解】解：假设写的三位数为，即它百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是． 根据题意，得 ， 【题型八】新定义中的化简求值 【例1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，，试判断、的大小，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，整式的加减计算，熟知新定义是解题的关键： （1）根据所给新定义先计算出，再计算出的结果即可； （2）根据新定义结合整式的加减计算法则求出的结果，再利用作差法求出的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例2】阅读下列材料，解决问题： 三位数的“衍生数” 一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”，如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45，它们都是654的“衍生数”． （1）写出135所有的“衍生数”：__________； （2）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a，则用含a的代数式表示这个三位数所有“衍生数”的和为__________； （3）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除． 【答案】（1）13，15，31，35，51，53 （2） （3）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，理解“衍生数”的定义是解题关键． （1）根据“衍生数”的定义填写即可； （2）根据“衍生数”的定义写出这个三位正整数的所有“衍生数”，再求和即可； （3）根据“衍生数”的定义写出这个三位正整数的所有“衍生数”，再求和即可． 【小问1详解】 解：135所有的“衍生数”： 13，15，31，35，51，53， 故答案为：13，15，31，35，51，53； 【小问2详解】 解：一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，且它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a， 所有“衍生数”：、、、、、， 所有“衍生数”的和为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， 所有“衍生数”：、、、、、， 所有“衍生数”和为， 、、数字均不为零且互不相等， 能被22整除， 即所有“衍生数”的和能被22整除． 【变式1】 我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】（1）①③ （2）24 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值； （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【小问1详解】 解：∵， ∴数对是“和积等数对”， ∵， ∴不是“和积等数对”， ∵， ∴数对是“和积等数对”， 故答案为：①③； 【小问2详解】 解： ， ∵“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 【变式2】新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， ， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， …… 利用以上规律计算： （1）___________，___________． （2）___________． （3）计算：． 【答案】（1），； （2）0 （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算、数字规律、整式的加减混合运算等知识点，根据新定义运算发现规律成为解题的关键． （1）根据题中给出的例子进行计算即可； （2）先根据题中给的新定义化简，然后再进行计算即可； （3）先根据题中给的新定义化简，然后再根据整式的加减混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ． 故答案为：0． 【小问3详解】 解： ． 【题型九】含绝对值的整式化简求值 【例1】已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 【变式1】若，且，则 ． 【答案】1或 【详解】解：∵，且， ∴中负数有一个或三个， 当中有一个负数时：， 当中有三个负数时：， 则原式或， 故答案为：1或 【变式2】若，则代数式的值为 ． 【答案】3或 【详解】解：， 若，，则，，， ∴， 若，，则，，， ∴， 若，，则，，， ∴， 若，，则，，， ∴， 综上，代数式的值为或． 故答案为：或． 【变式3】我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 【例2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案． 【详解】解：依题意，得 ，， ． 故答案为：． 【题型九】数字类规律探究 【例1】有一组单项式：，，，···，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第20个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式规律问题，通过观察找出该组单项式系数、字母次数的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：由题意知，第n个单项式为， 所以第20个单项式为，即， 故答案为：． 【变式1】按一定规律排列的代数式：，，，，…，其中第n个代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式规律题，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键． 在这列数中分母是都2；分子，，，，中系数由3逐渐增大的连续奇数；分子中的次数由1逐渐增大的连续自然数； 【详解】解：∵，，，，…， ∴分子系数的规律为3，5，7，…，； 指数的规律为1，2，3，4，…，n， 则这列数的第个数为， 故选：C． 【变式2】已知，，，，，…请你根据以上规律写出第2024个式子是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是单项式规律探索，根据题意找出规律，根据此规律进行解答是解答此题的关键．根据题意找出规律为当n为奇数时，第n个单项式为；当n为偶数时，第n个单项式为；根据此规律即可得出结论． 【详解】解：已知，，，，，…， 根据以上规律第2024个式子是， 故答案为：． 【例2】（23-24七年级·北京昌平·期末）观察下列等式： ①        ②        ③…… 那么第n（n为正整数）个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的后一个因数之间的关系，可归纳出规律； 【详解】解：①， ②， ③…… …… 第n（n为正整数）个等式为， 故选：D． 【变式1】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　； （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　　=　　（n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1． （3）运用变化规律计算即可. 【详解】解：（1）a5=； （2）an=； （3）a1+a2+a3+a4+…+a100 . 【题型十】图形类规律探究 【例1】如图所示，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15．以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为（ ） A. 100 B. 120 C. 220 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据前几幅图中“●”的个数，可以发现它们的变化规律． 【详解】解：由题意可得， 第1幅图形中“●”的个数为， 第2幅图形中“●”的个数为， 第3幅图形中“●”的个数为， 第幅图中“●”的个数为， 第10幅图形中“●”的个数为， 故选：B． 【变式1】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第n个图形中菱形的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．根据图形规律得出第个图形中菱形的个数即可． 【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，； 第②个图形中共有7个菱形，； 第③个图形中共有13个菱形，； ， 第个图形中菱形的个数为：； 故答案为：． 【变式2】将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（   ）    A．6070 B．6067 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化类．根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 图②中共有4个正方形，即； 图③中共有7个正方形，即； 图④中共有10个正方形，即； …… 图n中共有正方形的个数为； 所以第2024个图中共有正方形的个数为：． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级·河南周口·开学考试）用小棒按照如下方式摆图形． 摆第8个图形需要( )根小棒，摆第个图形需要( )根小棒． 【答案】 57 / 【分析】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定图形变化规律是解题关键．根据题意确定图形变化规律，即可确定摆第8个图形和摆第个图形所需要的小棒根数． 【详解】解：根据题意， 摆第1个图形需要根小棒， 摆第2个图形需要根小棒， 摆第3个图形需要根小棒， …… 则摆第8个图形需要根小棒， 所以，摆第个图形需要根小棒． 故答案为：57；． 【变式4】（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，正十二边形需要黑色棋子的个数是（    ） A．80 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】此题主要考查了图形的变化类，根据多边形的周长的方法进行计算，注意每个顶点的重复．结合图形，发现：第1个图形中黑色棋子的个数是；第2个图形中黑色棋子的个数是；以此类推即可求解． 【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数是； 第2个图形中黑色棋子的个数是； 第3个图形中黑色棋子的个数是； 第4个图形中黑色棋子的个数是； 第n个图形中黑色棋子的个数是； 正十二边形需要黑色棋子的个数是：（个）． 故选：D． 【变式5】（23-24七年级·广东汕头·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2023个图案有多少个三角形 ．    【答案】 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2023个图案中三角形的个数． 【详解】解：第①个图案有4个三角形，即 第②个图案有7个三角形，即 第③个图案有10个三角形，即 第个图案三角形个数为， 所以第2023个图案有三角形的个数为 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式加减重难点题型 【题型一】整式的加减运算 【例1】已知 ，求： (1) (2) 【变式1】题中是小贤同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： （1）以上化简步骤中，第一步的依据是_______．（填序号） ①等式的基本性质；②加法交换律；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）以上化简步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_____． （3）请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时，该整式的值． 【变式2】 计算： （1）定义一种运算：，求． （2）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 【例2】若A是六次多项式，B也是六次多项式，则一定是（    ） A．六次多项式 B．次数不低于六的整式 C．次数不高于六的整式 D．十二次多项式 【变式1】如果A是一个五次整式，B是一个四次整式，则一定是（    ） A．次数大于五次的整式 B．五次整式 C．九次整式 D．次数小于五次的整式. 【题型二】不含某项问题 【例1】若关于，的多项式不含二次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【变式1】若多项式不含项，则的值为 ． 【变式2】如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【题型三】取值无关问题 【例1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值13，则 ． 【变式1】已知，． （1）化简； （2）当，，求的值： （3）若的值与y的取值无关，求的值． 【变式2】若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【题型四】整式加减中的误看问题 【例1】有一道题目是一个多项式A减去多项式，小胡同学将抄成了，计算结果是，这道题目的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【变式1】小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【变式2】小马虎做一道数学题，“已知两个多项式______，，试求．”其中多项式的二次项系数印刷不清楚 （1）小马虎看答案以后知道，请你替小马虎求出系数“______”； （2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式正确求出，老师又给出了一个多项式，要求小马虎求出的结果．小马虎在求解时，误把“”看成“”，结果求出的答案为．请你替小马虎求出“”的正确答案． 【题型五】整式加减中的遮挡问题 【例1】印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【变式1】某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． 请通过计算分别求出C，D卡片上的代数式． 【例2】（2025·河北·模拟预测）老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚． 计算： 解： (1)小明认为“■”是“”，请求出这道题的结果； (2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题： ①小刚说：“当x的值是时，这道题的值为”，求此时系数“■”的值； ②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值． 【变式1】老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式的二次项系数．如图： 已知两个多项式，，试求． 然后告知该题的正确答案是． (1)请求出中被遮挡的二次项系数． (2)老师又给出了一个多项式，并要求求出的结果．小马虎在求解时，误把“”看成“”，进而求出的答案为．现请你修正小马虎的错误，求出“”的正确答案． 【例3】有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 【变式1】有一道题“先化简，再求值， 其中 ，”，小玲做题时错把“” 抄成了“”，但她的计算结果仍是正确的，请你解释这是怎么回事？ 【变式2】有这样一道题：“先化简，再求值：，其中”，甲同学做题时把错抄成了，乙同学没抄错，但他们做出来的结果却一样，你能说明这是为什么吗？并求出这个结果． 【题型六】整体代入 【例1】已知，那么代数式的值是___________． 【变式1】当时，整式的值为，则当时，整式的值是________． 【变式2】已知，求的值（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【变式3】实践探究：根据合并同类项法则，得．类似的，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法被称为“整体思想”，广泛运用于在多项式的化简与求值中． 据此解答以下问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是____； (2)已知，求的值． 【变式4】先化简，再求值： （1），其中． （2）已知，求的值． 【题型七】整式的加减运算与应用 【例1】某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价30元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（）． （1）若该客户按方案①购买，需付款 ______元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款 ________元（用含x的代数式表示）． （2）若，两种方案中，通过计算说明选择按哪种方案购买较为合算． 【变式1】2025年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示： 优惠 条件 一次性购物 不超过200元 一次性购物超过200元， 但不超过600元 一次性购物 超过600元 优惠 办法 没有 优惠 全部按九折 优惠 其中600元扔按九折优惠， 超过600元部分按八折优惠 用代数式表示（所填结果需化简）： （1）设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x超过600元时，实际付款为 元． （2）若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？ 【变式2】网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表： 项目 时长费 里程费 远途费 单价 0.5元/分钟 1.6元/千米 0.4元/千米 乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成，其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米收0.4元． （1）张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费__________元； （2）若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a、b的代数式表示车费，并化简：当时，小明应付车费__________元；当时，小明应付车费__________元； （3）小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差__________分钟． 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【例3】学习《整式》后，在一次数学活动中，乐乐对悠悠说：“你在心里想好一个两位数，将个位数字乘5，然后加3，再将所得新数乘2，最后将得到的数加十位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数．” (1)如果悠悠的计算结果是38，那么乐乐的答案是　　； (2)通过两人的对话，你能判断乐乐说得对吗？请你用多项式的相关知识说明． 【变式1】小颖某天在一本资料书上看到一个如图所示的流程图，她按照这个流程写下了几个三位数验证了一下，结果都正确，她觉得很神奇，想弄清楚原因，请你借助代数式来帮她解释一下这其中的原因． 【题型八】新定义中的化简求值 【例1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）已知，为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，，试判断、的大小，并说明理由． 【例2】阅读下列材料，解决问题： 三位数的“衍生数” 一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”，如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45，它们都是654的“衍生数”． （1）写出135所有的“衍生数”：__________； （2）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a，则用含a的代数式表示这个三位数所有“衍生数”的和为__________； （3）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除． 【变式1】 我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若是“和积等数对”，求代数式的值． 【变式2】新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， ， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ， ， ， ， …… 利用以上规律计算： （1）___________，___________． （2）___________． （3）计算：． 【题型九】含绝对值的整式化简求值 【例1】已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式1】若，且，则 ． 【变式2】若，则代数式的值为 ． 【变式3】我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【例2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【题型九】数字类规律探究 【例1】有一组单项式：，，，···，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第20个单项式为 ． 【变式1】按一定规律排列的代数式：，，，，…，其中第n个代数式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，，，…请你根据以上规律写出第2024个式子是 ． 【例2】（23-24七年级·北京昌平·期末）观察下列等式： ①        ②        ③…… 那么第n（n为正整数）个等式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　； （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　　=　　（n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 【题型十】图形类规律探究 【例1】如图所示，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15．以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为（ ） A. 100 B. 120 C. 220 D. 240 【变式1】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第n个图形中菱形的个数为______． 【变式2】将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（   ）    A．6070 B．6067 C．2023 D．2024 【变式3】（24-25七年级·河南周口·开学考试）用小棒按照如下方式摆图形． 摆第8个图形需要( )根小棒，摆第个图形需要( )根小棒． 【变式4】如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，正十二边形需要黑色棋子的个数是（    ） A．80 B．90 C．100 D．120 【变式5】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2023个图案有多少个三角形 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $