专题4.3 对数（7类必考点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.3 对数 【知识梳理】 1 【考点1：对数的概念判断与求值】 2 【考点2：指数式与对数式的互化】 4 【考点3：对数的简单运算】 7 【考点4：对数运算性质的应用】 9 【考点5：运用换底公式化简求值】 11 【考点6：运用换底公式证明恒等式】 13 【考点7：对数的实际应用】 15 【知识梳理】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 3．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 4．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 5．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 6．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【考点1：对数的概念判断与求值】 1．（2025高一上·全国·专题练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解. 【详解】因为函数，且， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，， 所以. 故答案为：2 5．（25-26高一上·全国·课前预习）判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （2）原式中的底数是，而不是常数，故不是对数函数． （3）原式中的底数是，且不等于1，符合对数函数的定义，是对数函数． （4）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （5）原式中的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数． 【考点2：指数式与对数式的互化】 1．（2025·海南·一模）若，则 . 【答案】/ 【分析】根据对数式与指数式的转化及指数幂的运算性质求解. 【详解】由得，则， 所以. 故答案为：. 2．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 3．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 4．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 【考点3：对数的简单运算】 1．（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）已知，，若，则（    ） A． B． C． D．36 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化和对数的运算性质计算即得. 【详解】易知，所以， 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）下列指数或对数运算中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：利用对数的换底公式以及对数的运算法则计算即可；对于B：利用指数幂的运算法则计算即可；对于C：平方验证即可；对于D：利用对数的运算法则计算即可. 【详解】对于选项 A：因为 ，所以 . 使用换底公式得：（因为 ）。 因此，，故选项A正确； 对于选项 B： 左边：， 右边：. 两边均等于 ，故选项B正确； 对于选项 C：两边平方验证： 左边：， 右边：. 两边平方后相等，且 ，故选项C正确； 对于选项 D：， 故选项D错误. 故选：D 3．（四川省资阳市2026届高三第一次诊断性考试数学试题）已知，，则 . 【答案】2 【分析】根据指数与对数的关系，表示出，再根据对数的运算法则求值. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2 4．（25-26高三上·重庆·开学考试） . 【答案】 【分析】利用对数运算化简可得答案. 【详解】 故答案： 5．（25-26高一上·新疆·期中）求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算法则，即可求得答案； （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【考点4：对数运算性质的应用】 1．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）计算 . 【答案】10 【分析】根据对数运算法则、对数恒等式、指数运算法则化简运算即可得答案. 【详解】 . 故答案为：10. 2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）计算： ． 【答案】/0.5 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算． 【详解】，， ， ． 故答案为：． 3．（25-26高三上·甘肃白银·阶段练习）求值： . 【答案】 【分析】应用指数对数运算法则计算求解. 【详解】 . . 故答案为：. 4．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式互化公式可把用对数表示出来，代入到中，再利用换底公式以及对数的运算法则可得答案. 【详解】由，得；由，得， 则：， 则， 则：， 故选：D 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）设是正实数，.若，则的最小值是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算及基本不等式计算可得. 【详解】， ， 即，，当且仅当，即时取等号. 故选：A. 【考点5：运用换底公式化简求值】 1．（2025·吉林·模拟预测）求值： . 【答案】8 【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算． 【详解】， 故答案为：8. 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为 ； 【答案】或 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 当时，显然符合，此时， 当时，， 由，代入中， 得， 故答案为：或 3．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】用换底公式将换成以2为底的对数，进而根据对数的运算性质得到答案. 【详解】. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期中）（1）设，且，求的值： （2）若，，用和表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据立方和公式分解求解即可； （2）根据换底公式求解即可. 【详解】解：(1)因为， 所以 （2）由得， 所以 5．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可求解； （2）利用对数的运算法则化简计算即可得解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 【考点6：运用换底公式证明恒等式】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题. 2．（25-26高一下·上海·课后作业）用计算器计算：．根据计算结果写出一个一般性结论，并证明． 【答案】，，；证明见解析． 【分析】利用换底公式证明. 【详解】，， 结论， 证明：设且， 由换底公式得：. 3．（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 5．（25-26高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【详解】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 【点睛】本题考查了等式的证明，考查了对数的运算性质、对数的运算法则，属于基础题. 【考点7：对数的实际应用】 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，n表示分钟打出的字数，则要达到60字/分水平所需的学习时间约为（    ）（，） A．65小时 B．67小时 C．69小时 D．71小时 【答案】C 【分析】将，代入求解. 【详解】当时， ， 故选：C 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）地震以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级可定义为.在2021年3月下旬，地区发生里氏级地震，地区发生里氏7.3级地震，则地区地震所散发出来的相对能量是地区地震所散发出来的相对能量的（    ）倍. A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个震级代入后，两式作差即可解决此题． 【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏7.3级地震所散发出来的能量为，则①，② ②①得：，解得：． 故选：． 3．（25-26高三上·河北·阶段练习）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步3%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（   ）天，甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：，，） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】A 【分析】先设初始“日能力值”为1，根据甲、乙能力值的变化规律列出天后的表达式，再根据倍数关系建立方程，通过对数运算求解的值. 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”均为1，天后， 甲和乙的“日能力值”分别为和. 由题知，即. 两边分别取对数得. 因此. 所以大约需要经过99天，甲的“日能力值”是乙的50倍. 故选：A. 4．（25-26高三上·广西·阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（    ） A．2 B．9 C．99 D．101 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】当，时， ， 由， 得，所以， 所以，即信噪比变为原来的101倍 故选：D 5．（25-26高三下·辽宁·阶段练习）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度与其采摘后时间（小时）满足的函数关系式为．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（    ）（已知，结果取整数） A．42小时 B．53小时 C．56小时 D．67小时 【答案】D 【分析】利用指数的运算得出，再利用对数的运算即可求解. 【详解】由题意可得，① ，② ②①可得，解得， 所以，③ ③①可得， 所以，即， 解得（小时）. 故选：D 6．（2025·全国·模拟预测）声音通过空气的振动所产生的压强叫做声压强，简称声压，声压的单位为帕斯卡()，把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级，声压级以符号表示，单位为分贝()，在空气中，声压级的计算公式为(声压级)，其中为待测声压的有效值，为参考声压，在空气中，一般参考声压取，据此估计，声压为的声压级为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设知声压为的声压级为，利用对数的运算性质求值即可. 【详解】由题意知：， ∴声压为的声压级约为. 故选：B 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 对数 【知识梳理】 1 【考点1：对数的概念判断与求值】 2 【考点2：指数式与对数式的互化】 3 【考点3：对数的简单运算】 4 【考点4：对数运算性质的应用】 5 【考点5：运用换底公式化简求值】 5 【考点6：运用换底公式证明恒等式】 6 【考点7：对数的实际应用】 8 【知识梳理】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 3．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 4．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 5．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 6．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【考点1：对数的概念判断与求值】 1．（2025高一上·全国·专题练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数，则 . 4．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数，则的值为 . 5．（25-26高一上·全国·课前预习）判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【考点2：指数式与对数式的互化】 1．（2025·海南·一模）若，则 . 2．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 3．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 4．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【考点3：对数的简单运算】 1．（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）已知，，若，则（    ） A． B． C． D．36 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）下列指数或对数运算中不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（四川省资阳市2026届高三第一次诊断性考试数学试题）已知，，则 . 4．（25-26高三上·重庆·开学考试） . 5．（25-26高一上·新疆·期中）求下列各式的值： (1) (2) 【考点4：对数运算性质的应用】 1．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）计算 . 2．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）计算： ． 3．（25-26高三上·甘肃白银·阶段练习）求值： . 4．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 5．（25-26高三上·上海·阶段练习）设是正实数，.若，则的最小值是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【考点5：运用换底公式化简求值】 1．（2025·吉林·模拟预测）求值： . 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为 ； 3．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 4．（25-26高一上·上海·期中）（1）设，且，求的值： （2）若，，用和表示． 5．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【考点6：运用换底公式证明恒等式】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·课后作业）用计算器计算：．根据计算结果写出一个一般性结论，并证明． 3．（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 5．（25-26高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【考点7：对数的实际应用】 1．（24-25高一上·江苏常州·期末）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，n表示分钟打出的字数，则要达到60字/分水平所需的学习时间约为（    ）（，） A．65小时 B．67小时 C．69小时 D．71小时 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）地震以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级可定义为.在2021年3月下旬，地区发生里氏级地震，地区发生里氏7.3级地震，则地区地震所散发出来的相对能量是地区地震所散发出来的相对能量的（    ）倍. A．7 B． C． D． 3．（25-26高三上·河北·阶段练习）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步3%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（   ）天，甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：，，） A．99 B．100 C．101 D．102 4．（25-26高三上·广西·阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（    ） A．2 B．9 C．99 D．101 5．（25-26高三下·辽宁·阶段练习）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度与其采摘后时间（小时）满足的函数关系式为．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（    ）（已知，结果取整数） A．42小时 B．53小时 C．56小时 D．67小时 6．（2025·全国·模拟预测）声音通过空气的振动所产生的压强叫做声压强，简称声压，声压的单位为帕斯卡()，把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级，声压级以符号表示，单位为分贝()，在空气中，声压级的计算公式为(声压级)，其中为待测声压的有效值，为参考声压，在空气中，一般参考声压取，据此估计，声压为的声压级为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $