专题3.6 函数的应用一（7类必考点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题3.6 函数的应用一 【知识梳理】 1 【考点1：一次函数模型】 2 【考点2：二次函数模型】 3 【考点3：幂函数模型】 6 【考点4：分段函数模型】 10 【考点5：分式型函数模型】 15 【考点6：“对勾”函数模型】 18 【考点7：函数模型的选择】 21 【知识梳理】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 4．幂函数模型及其应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 5．分段函数模型的应用 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). 6．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【考点1：一次函数模型】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪元，每工作小时获取元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为小时，获取的税前月工资为元，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为 ． 3．（24-25高一上·广东·阶段练习）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 4．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）某淘宝网店新年礼盒促销，其中，，，四款礼盒价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%.在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为 . 5．（21-22高一·全国·课后作业）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为 ． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【考点2：二次函数模型】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为万元．（1）与之间的函数关系式为 ；（2）从第 年开始，使用该设备开始盈利． 2．（2025高一·全国·专题练习）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 3．（24-25高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 4．（25-26高一上·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．    (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 5．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 6．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【考点3：幂函数模型】 1．（25-26高一·上海·课堂例题）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 2．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 3．（24-25高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． (1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； (2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 4．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【考点4：分段函数模型】 1．（24-25高一上·天津西青·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则 ；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税 元. 2．（24-25高一上·四川凉山·期末）某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 6．（25-26高一上·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【考点5：分式型函数模型】 1．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 2．（24-25高一·全国·随堂练习）某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？ 3．（24-25高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本万元. (1)写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？ 5．（24-25高一上·广东广州·期末）某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和． (1)写出关于的函数表达式； (2)求为多少时，有最小值，并求出的最小值． 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【考点6：“对勾”函数模型】 1．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）受疫情影响，国内经济出现低迷，某厂商为了促进消费，拟投入适当广告费，对其产品进行促销.经调查测算，该促销产品的销售量 p 万件与促销费用 x 万元之间满足 （其中0 ≤ x ≤ a ，a 为正常数）.已知生产该产品 p 万件还需投入成本8 + 3p 万元（不含促销广告费），产品的销售定价为元/件（即 万元/万件），假设厂家的生产能力可以完全满足市场需求. （1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 3．（24-25高三上·湖北·期中）党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元. （1）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使剩下户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的最大值.（参考数据：) 【考点7：函数模型的选择】 1．（2025高三·全国·专题练习）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ） A．5.6万元 B．4.8万元 C．6万元 D．5万元 2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 4．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示： 5 10 15 20 25 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式； (3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？ 5．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示： 5 15 18 22 26 30 35 45 48 48 44 40 给出下列三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的函数关系，说明选择的理由，并求出该函数的解析式及定义域； (2)若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，根据（1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数. 6．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. (2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 函数的应用一 【知识梳理】 1 【考点1：一次函数模型】 2 【考点2：二次函数模型】 4 【考点3：幂函数模型】 9 【考点4：分段函数模型】 13 【考点5：分式型函数模型】 19 【考点6：“对勾”函数模型】 24 【考点7：函数模型的选择】 26 【知识梳理】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 4．幂函数模型及其应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 5．分段函数模型的应用 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). 6．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【考点1：一次函数模型】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪元，每工作小时获取元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为小时，获取的税前月工资为元，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意直接写出函数即可. 【详解】由题意得， 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为 ． 【答案】，且 【分析】根据题意，分析可得，变形后可得出答案 【详解】根据题意，该同学计划第一天记忆个单词，第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量， 则，且． 故答案为：，且 3．（24-25高一上·广东·阶段练习）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 【答案】 【分析】根据题意分析得时的原价，进而求得促销后的费用的解析式，从而得解. 【详解】因为当时，元， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）某淘宝网店新年礼盒促销，其中，，，四款礼盒价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%.在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为 . 【答案】10 【分析】设订单总价为，分与两种情况讨论，可求得，可得结论. 【详解】设订单总价为，若，没有优惠，符合题意； 若，则，，而， 所以，的最大值为10. 故答案为：10. 5．（21-22高一·全国·课后作业）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为 ． 【答案】6 【分析】设A的横坐标为m，把代入两个直线方程，所得值相减（大减小）差为1，由此可解得，得结论． 【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx， 为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6． 故答案为：6． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 【考点2：二次函数模型】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为万元．（1）与之间的函数关系式为 ；（2）从第 年开始，使用该设备开始盈利． 【答案】 3 【分析】（1）根据题意，即可得出函数；（2）由，得不等式并求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，． （2）当时，开始盈利，即， 整理，得，解得． 又因为，所以，即从第3年开始盈利． 故答案为：（1）；（2）3. 2．（2025高一·全国·专题练习）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 【答案】②③④ 【分析】对于①，表达出，根据单调性得到取得最大值时每月产量为台或台；对于②，计算出，②正确；对于③，计算出，；对于④，根据为减函数，得到④正确. 【详解】对于①，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，①错； 对于②， ，②对； 对于③，， 因为函数为减函数，则，③对； 对于④选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，④对. 故答案为：②③④. 3．（24-25高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第3年 (2)第7年平均利润最大，为12万元 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，万元时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 4．（25-26高一上·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．    (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，当时， 【分析】（1）利用相似得到矩形边长，再求解面积解析式即可. （2）利用二次函数性质分析解析式，求解最值即可. 【详解】（1）如图，作，交于，交于，    因为，，所以，， 由得到，所以， 所以，故，解得， 所以， （2）设，由二次函数性质得当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，在上单调递减，当时，， 综上当时，，当时，. 5．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 6．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【详解】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 【考点3：幂函数模型】 1．（25-26高一·上海·课堂例题）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 【答案】 【分析】首先建立函数关系式，并代入求值. 【详解】由题意可知，，，则， 即，当时，. 所以气体通过半径为的管道时的速率为. 2．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 【答案】（1），；（2）万元． 【分析】（1）利用曲线过可求参数的大小，从而得到所求的解析式. （2）设销售甲商品投入资金万元，则可得利润关于的函数，利用换元法可求利润的最大值. 【详解】（1）由题意，解得，故. 又由题意，得，. （2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元. 由（1）得. 令，则且， 故，， 当即时，取最大值， 答：该商场所获利润的最大值为万元． 【点睛】本题考查函数的应用，注意模型的正确构建，对于无理函数的值域问题，可通过换元法、配方法把无理函数转化为二次函数的最值，此类问题属于中档题． 3．（24-25高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． (1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； (2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 【答案】(1)，, (2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 【分析】（1）根据已知条件，分别求解1年，2年后，….，进而归纳后的利润，即可求解． （2）分别求出两种方案的净收益，再通过比较，即可求解． 【详解】（1）对于甲方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， 对于乙方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， （2）甲方案十年共获利（万元）， 10年后，到期时银行贷款本息为（万元）， 故甲方案的净收益为（万元）， 乙方案十年共获利（万元）， 贷款本息为（万元）， 故乙方案的净收益为（万元）， 由，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 4．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 【考点4：分段函数模型】 1．（24-25高一上·天津西青·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则 ；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税 元. 【答案】 3344 【分析】根据表格中数据，得到函数表达式，并得到小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额，代入表达式，求出答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故； 小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额 ， ，故， 故他全年应缴纳个税3344元. 故答案为：；3344 2．（24-25高一上·四川凉山·期末）某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，年利润最大，最大值为万元 【分析】（1）根据题意，分段求出年利润即可求解； （2）对每一段函数求出最大值，再进行比较即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 所以当时，利润取最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值， 因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元. 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意列出分段函数式，根据函数单调性即可求解最值； （2）根据关于的函数关系式，得到不等式，即可求解. 【详解】（1）由题知，， 即， 所以在上递减，此时， 且在上递减，此时， 综上，该函数的最大值为. （2）由（1）知，， 则令，解得， 所以此时； 令，解得， 综上，的取值范围为. 4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)50；2200 【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 6．（25-26高一上·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为3680万元 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 【考点5：分式型函数模型】 1．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 2．（24-25高一·全国·随堂练习）某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？ 【答案】0.60～0.75元/ 【分析】根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以；再根据上年度电力部门实际收益，列不等式 求解即可. 【详解】设下调后的电价为x元， 依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为0.2a）， 则新增用电量为，即用电量增至， 所以今年电力部门的收益 ； 要保证电力部门的收益增长率不低于20%， 则， 由， 整理得， 解得． 答：当电价定到0.60～0.75元/，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 3．（24-25高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2） 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本万元. (1)写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元. 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式；（2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为，所以， 所以该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系为 （2）化简， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当万元时，公司本季度增加的利润最大， 最大为万元. 5．（24-25高一上·广东广州·期末）某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和． (1)写出关于的函数表达式； (2)求为多少时，有最小值，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值为 【分析】（1）根据为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和，即可建立函数模型． （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，关于的函数表达式为． （2）解：， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，有最小值为． 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【答案】(1)定义域为； (2)的面积有最大值，此时cm. 【分析】（1）根据题意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及定义域； （2）表达出的面积，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为矩形的周长为，，则， 又，即，又，， 易知≌，所以， 在中，根据勾股定理得，即， 整理得， 故，定义域为. （2）由题意， ，当且仅当时，等号成立. 所以，当时，的面积有最大值． 【考点6：“对勾”函数模型】 1．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）受疫情影响，国内经济出现低迷，某厂商为了促进消费，拟投入适当广告费，对其产品进行促销.经调查测算，该促销产品的销售量 p 万件与促销费用 x 万元之间满足 （其中0 ≤ x ≤ a ，a 为正常数）.已知生产该产品 p 万件还需投入成本8 + 3p 万元（不含促销广告费），产品的销售定价为元/件（即 万元/万件），假设厂家的生产能力可以完全满足市场需求. （1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【答案】（1）；（2）当时，投入 万元时利润最大；当 时，投入1万元时利润最大. 【分析】（1）依题意得化简即可； （2）根据函数单调性即可求出最大值. 【详解】（1）； ； （2） 在上单调递减，在 上单调递增； ①当时， 在 上单调递增； 当时，取到最大值 ②当时，在 上单调递增；在上单调递减；  当时，取到最大值13； 综上所述，①当时，投入 万元时利润最大；②.当 时，投入1万元时利润最大； 【点睛】求解函数最大值时关键在于判断函数单调性. 3．（24-25高三上·湖北·期中）党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元. （1）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使剩下户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的最大值.（参考数据：) 【答案】（1）见解析；（2）5.46 【分析】(1)根据题意得到解出不等式即可；（2）从事蔬菜种植的所有农民年总年收入万元，依题意得 恒成立变量分离转化为对勾函数，由函数的单调性得到最值即可. 【详解】（1）由题意得   ，     又，所以()； （2）户农民从事蔬菜加工的总年收入为万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入万元，依题意得 恒成立， ，恒成立，在上递减，在递增，，，  . 【点睛】这个题目考查了函数的实际应用，这类题目重点是审清楚题目，根据条件列出式子，注意函数表达式的实际意义，最终通常需要采用函数的单调性等性质解决数值问题. 【考点7：函数模型的选择】 1．（2025高三·全国·专题练习）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ） A．5.6万元 B．4.8万元 C．6万元 D．5万元 【答案】B 【分析】根据已给函数模型结合已知数据求出解析式，设A产品投入万元，则B产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数求得最大值． 【详解】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元． 由题意设，． 由图知，．又，． 从而，． 设A产品投入万元，则B产品投入万元， 设企业利润为万元， 则， 设，则， ， 时，，此时． A产品投入16万元，则B产品投入4万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为4.8万元， 故选：B. 2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【分析】依次判断函数是否满足条件. 【详解】函数①图象的对称轴为， 所以，超出了值域范围，A不符合题意． 函数时，， 且在上单调递增， ，即，B合题意． 函数③在上单调递减，在上单调递增，C不符合题意． 函数④为增函数，且时，， ，又， 所以，则，即，D符合题意． 故选：BD 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】(1)解析式为，该企业从第2年开始盈利；理由见解析 (2)方案二更合理；理由见解析 【分析】（1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2年开始盈利； （2）方案一：配方得到时y取到最大值12800，进而得到总利润为万元；方案二：年平均盈利额为，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为万元，得到结论. 【详解】（1）由题意可得， 由得且， 该企业从第2年开始盈利； （2）方案二更合理，理由如下： 方案一：， 当时y取到最大值12800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 方案二：年平均盈利额万元， 当且仅当时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理. 4．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示： 5 10 15 20 25 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式； (3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？ 【答案】(1)选择模型②， (2)， (3)该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元 【分析】（1）根据题意易知选择函数模型②，从而再根据题意建立方程，即可求解； （2），从而可求的解析式； （3）利用基本不等式及函数单调性，即可求解． 【详解】（1）由表格中的数据知，随着x的增大，先增后减， ①③函数模型描述的都是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择函数模型②：， 由，可得，解得， 因为，解得， 则日销售量与时间x的关系式为. （2）因为第5天的日销售收入为459元， 则，解得，所以， 由（1）知， 则. （3）当，时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当，时，单调递减， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值元. 所以该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元. 5．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示： 5 15 18 22 26 30 35 45 48 48 44 40 给出下列三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的函数关系，说明选择的理由，并求出该函数的解析式及定义域； (2)若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，根据（1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数. 【答案】(1)选择模型②，理由见解析，， (2)11天 【分析】（1）选出正确的函数模型后求参数即可； （2）因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售，则，结合一元二次不等式与绝对值不等式解不等式，即可得结论. 【详解】（1）由表格中的数据知，当时间x增加时，先增后减， 而①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择模型②：. 由，可得，解得， 所以. 由， 解得，. 所以， 定义域为. （2）因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售， 所以， 所以， 所以，所以，即， 解得， 因为， 所以这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数为11天. 6．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. (2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 【答案】(1)选择函数模型①， (2)不能，理由见解析，. 【分析】（1）根据与的数据关系，选择函数关系式，再代入数据，即可求解； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，求耗电量的函数解析式；（ⅱ）根据的单调性求整个路程耗电量的最小值，即可判断是否需要充电，根据公式初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，列式求解. 【详解】（1）与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型① 由题意，有解得 所以. （2）（i）由题意，， 所以函数在上单调递增. （ii）因为，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车要在服务区充电，否则不能到达B地. 设行驶时间与充电时间分别为（单位：），总和为. 若能到达地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，则， 所以总时间 当且仅当，即时，等号成立， 所以电动该汽车从A地到达B地的最少用时为. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $