精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2025-2026学年高三上学期11月质量检测数学试卷

2025—2026学年度第一学期1106质量检测试题 高三年级数学 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题. 2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂. 3、答题时字迹要清楚、工整. 4、本卷共19小题，总分为150分. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算. 【详解】由，即，解得，所以. 由，移项得，即，等价于，解得，所以. 则. 故选：A 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的四则运算求出复数，再求模即可. 【详解】由，得， 所以 故选：C. 3. 设且，“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解不等式，根据不等式的解集，即可求得必要条件. 【详解】不等式，可整理得， 解得且. 故是的必要不充分条件； 而CD不满足必要性，B为充要条件. 故选：A. 4. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 5. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 6. 已知函数的定义域为为奇函数，，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为4 D. 的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用拉格朗日中值定理应用导函数得出方程解的个数即可判断求解． 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得， 则由拉格朗日中值定理得，，即， 而，则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此， 设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得， 由拉格朗日中值定理得，，即， 令函数，，在上单调递增， ，， 则在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解， 因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，所以． 故选:B． 8. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有三个零点，可转化为与图象有三个不同的交点，作出图象，可得a的范围，根据韦达定理可得，，根据对数的性质，可得，即可得的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案. 【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示 所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，结合，求得的值，可判定A正确；根据向量模的计算公式，可得判定B错误；由，结合共线向量的坐标表示，列出方程，求得的值，可判定C正确；根据在方向上的投影向量的计算方法，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确； 对于B中，当时，，可得，所以B错误； 对于C中，由，因为，可得，解得，所以C正确； 对于D中，当时，， 此时在方向上的投影向量的坐标为，所以D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于点中心对称 C. 函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D. 函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简函数.求出函数的周期判断A选项；求出函数对称中心判断B选项；由函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C选项；求出其导函在对应区间上的值域，由题意建立不等式组，解得的取值范围判断D选项. 【详解】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知正实数、满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合等式求最值可判断A，B；令，换元后再利用均值不等式求最小值，即可判断C，D. 【详解】对于A，，∴， 则，当且仅当，时取等，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B正确； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C,得 ，当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三、空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒成立，再通过对称轴和函数的最值的限定，列出不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 故答案为：. 13. 已知，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由两角差的正弦结合同角的三角函数关系得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】由可得， 化简可得， 又，所以， 所以. 故答案为：##. 14. 已知，则和的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助向量数量积公式与夹角公式计算即可得. 【详解】，则， 则，故和的夹角为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. （1）求角； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换构造正弦函数求角； （2）结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长. 【小问1详解】 对变形，得，即. 因，故，所以，解得. 【小问2详解】 由，，得. 由余弦定理，代入，， 得，即. 则，故. 因此，△ABC的周长为. 16. 已知，，. （1）求函数单调递增区间； （2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可. 利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值. 【小问1详解】 首先，根据题意，可得到： ， ， ， 令，， 得：， 即：， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由 ，得， ，解得：，， 可得，由于，所以； 利用余弦定理可得，， ， 由不等式 ，得： ， ，当且仅当“”时取“=”， 所以. 的面积， 当  取最大值 3 时，面积最大，. 17. 已知与都是等边三角形，平面平面，平面，，. （1）证明：平面. （2）证明：平面. （3）求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 由（1）得， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据等边三角形性质及面面垂直的性质定理，可证平面，结合条件，可得，求得长度，可得四边形是平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）根据面面垂直的性质定理，可证平面，结合，即可得证. （3）方法一：如图建系，求得各点坐标，分别求得平面的法向量和平面的一个法向量，根据夹角公式，即可得答案；方法二：连接，分析可得即为平面与平面的夹角，求得各个长度，根据三角函数的定义，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （方法一）：由（1）、（2）可得两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令 则， 易得为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，由图可得为锐角， 则， 所以，即平面与平面的夹角为. （方法二）：连接. 因为，，， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以即为平面与平面的夹角， 易得，， 所以， 得，即平面与平面的夹角为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 19. 已知函数（）. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，解不等式，即可； （2）令，根据即可得出，再检验的合理性即可. 【小问1详解】 当时，，则且， 由，得或；，得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题知，令，则， 因当时，恒成立，且， 则必有，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期1106质量检测试题 高三年级数学 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题. 2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂. 3、答题时字迹要清楚、工整. 4、本卷共19小题，总分为150分. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 设且，“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为为奇函数，，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为4 D. 的图象关于点对称 7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 8. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数最小正周期为 B. 函数关于点中心对称 C. 函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D. 函数在上不单调，则的取值范围为 11. 已知正实数、满足，则下列说法正确的有（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上单调递减，则实数取值范围为___________． 13. 已知，则_________. 14. 已知，则和的夹角为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. （1）求角； （2）求的周长. 16. 已知，，. （1）求函数单调递增区间； （2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 17. 已知与都是等边三角形，平面平面，平面，，. （1）证明：平面. （2）证明：平面. （3）求平面与平面夹角的大小. 18 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 19. 已知函数（）. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $