精品解析：浙江省嘉兴市第五高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中测试数学试题

嘉兴市第五高级中学2025学年第一学期期中测试 高一年级 数学 试题卷 2025年11月 考生须知： 1.本试卷为试题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 3.考试结束，上交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求集合，利用交集定义即可得解. 【详解】因为，， 由交集定义可得，. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定可得. 【详解】由存在量词命题的否定可知，原命题的否定为，. 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式和分式的性质即可求解. 【详解】定义域需满足： 所以定义域为 . 故选：C 5. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 7. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C 8. 定义集合运算：.若集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出后可求得，故可得正确的选项 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 二、选择题：本题共3题，每题6分，共18分. 在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 如果，则下列选项不正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确. B选项，若，所以，则，所以B选项正确. C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确. D选项，若，如，此时，所以D选项不正确. 故选：AD 10. 设集合，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，即可得到三个集合的关系，然后逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意可得， ， ， 因此，故A错误，B正确，D正确， 且，故C正确. 故选：BCD 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再根据函数的性质逐一分析选项. 【详解】，画出的图像如图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， ，所以总成立，故C正确； 对于D，当时，，，此时，关于直线对称， 所以，成立，当时，，成立， 当时，，，，成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故答案为：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知点在幂函数的图象上，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求的值，在根据点在幂函数的图象上求的值. 【详解】由于为幂函数，所以，则，所以． 又点在函数的图象上，所以，故. 故答案为： 13. 函数单调递减区间是_________；值域为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求解即可，令，求得的范围，结合指数函数的性质可求得值域. 【详解】令， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：；. 14. 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为__________cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件将矩形面积用一元函数进行表示，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 当直角梯形的高为时，用纸量最少． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 计算下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂运算法则分别化简求值即可. （2）根据对数运算法则分别化简求值即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 原式. 16. 已知集合，． （1）若，求；； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求集合，再求集合的运算； （2）根据集合的运算结果，分和两种情况，列不等式求的取值范围. 【小问1详解】 依题意，当时，，， 故．或 故； 【小问2详解】 因，即， 当时，，解得； 当时，，此时或， 解得或． 综上，实数的取值范围为 17. （1）已知，求的最大值． （2）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式可得；（2）由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】（1）因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. （2）解：∵，∴， ∴． 当且仅当即，时取等号，∴的最小值为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【小问1详解】 因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 【答案】（1）证明：由为上的增函数，则有， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”； （3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值． 【详解】（1）略 （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴市第五高级中学2025学年第一学期期中测试 高一年级 数学 试题卷 2025年11月 考生须知： 1.本试卷为试题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 3.考试结束，上交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. “，使”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 8. 定义集合运算：.若集合， ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3题，每题6分，共18分. 在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 如果，则下列选项不正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设集合，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知点在幂函数的图象上，则_____ 13. 函数单调递减区间是_________；值域为_______． 14. 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为__________cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 计算下列各式： （1）； （2）. 16. 已知集合，． （1）若，求；； （2）若，求实数m的取值范围． 17. （1）已知，求的最大值． （2）已知，，且，求的最小值． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $