精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二学年期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：王丽平 审题人：程鹏鹏 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则的离心率为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，，于是，则， 即 故选：C 2. “直线与直线平行”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线平行求出参数a，再由充要条件定义即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 则， 当时，两直线方程分别为和，互相平行， 所以“直线与直线平行”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知抛物线C：恰好经过圆M：的圆心，则抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程及抛物线的准线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，即， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 4. 已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理、面积公式即可求解. 【详解】由题可得，所以， 设，由椭圆的定义得， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 故选：B. 5. 如图，是椭圆与双曲线：的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的长轴长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆：，由椭圆的定义和双曲线定义求出焦半径，再由勾股定理求出a即可得解. 【详解】设椭圆：，且，， 所以，解得， 若四边形为矩形，则， 所以，则. 故选：D 6. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【详解】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】 如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再在中利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质结合题设条件得到的取值范围，再利用和结合三角恒等变换公式弦切互化分析即可求解. 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，四边形是等腰梯形或矩形， 易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为R，在中， 由正弦定理， 记椭圆的上顶点为M，，则由焦点三角性质可知， 又，所以，，所以， 所以， 所以，即，即， 又，所以，即，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线C表示双曲线 B. 当时，曲线C表示椭圆 C 曲线C不可能表示两条直线 D. 曲线C可能表示抛物线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的定义列式求解m范围，可判断AB；根据方程特征可判断CD. 【详解】对于A，曲线，当时，表示双曲线， 即时，曲线C表示双曲线，A正确； 对于B，曲线，即曲线， 当，即时，曲线C表示椭圆，B错误； 对于C，由B的分析可知，时，曲线C表示圆， 当，此时m不存在， 结合以上分析可知无论m如何取值，方程都不能化为两个一次因式积等于0形式， 故曲线C不可能表示两条直线，C正确； 对于D，方程不含一次项，故曲线C不可能表示抛物线，D错误， 故选：AC 10. 过直线上任意一点作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 存在P使得 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 直线过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】由，可得，可判断；由结合图象可判断；由等面积法可得，结合图象可判断；设，为以为直径的圆上的点，求出两圆公共弦所在直线方程，再求出直线定点可判断D. 【详解】对于：，， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以不存在P使得，故错误； 对于：，所以的最小值为，故正确； 对于：由等面积法可得， 所以，故错误； 对于：设，因为，所以为以为直径的圆上的点， 以为直径的圆的方程为，即， 又A，B在圆O：上，两圆方程相减可得， 所以直线过定点，故正确. 故选：BD. 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）.若黄金双曲线C：（，）的左右两顶点分别为，，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 过右焦点且斜率为3的直线与双曲线右支有2个交点 D. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据黄金分割比计算可判断；利用点差法计算可判断；确定一条渐近线的斜率为可判断；由斜率之积可判断. 【详解】对于：由题意得，故正确； 对于：设，,其中， 所以， 两式相减得，即， 可得， 所以，故错误； 对于：由，可得， 所以一条渐近线的斜率为， 所以过右焦点且斜率为3的直线与双曲线右支有2个交点，故正确； 对于：， 则， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直,故正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分.14题第一空2分，第二空3分） 12. 双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线方程，抛物线准线方程，再求出准线与渐近线交点坐标，即可得解. 【详解】由双曲线可知，即， 所以两条渐近线方程为， 又抛物线的准线方程为， 所以准线与渐近线的交点为， 所以三角形面积为， 故答案为：2 13. 若点在圆外，则实数k的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由点与圆位置关系结合圆的定义即可列不等式组求解. 【详解】因为点在圆（即）外， 所以. 所以实数k的取值范围为. 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为__________；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直线的方程为，设，联立方程组利用弦长公式求得，结合弦长可得，进而可求离心率，结合，求得椭圆的方程，进而求得的坐标，进而利用外心与内心的性质求得的坐标，进而可求. 【详解】由题意可得直线的方程为，设， 联立，消去，得， 整理得， 所以， 所以 ， 又，所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去），所以，所以离心率； 当时，可得，所以椭圆的方程为， 所以，直线的方程为， 代入椭圆方程得，解得或， 可得，故在轴上， 设内切圆的半径为，所以， 所以，所以，即， 又的中点坐标为，的中点坐标为，， 所以的垂直平分线的方程为，即， 的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，所以， 所以. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：关键在于利用直线方程与椭圆方程联立方程组求得弦长，利用已知可得，进而可求离心率. 四、解答题：（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.共77分） 15. 已知圆：与圆：交于A，B. （1）求两个圆的公共弦长 （2）求过两圆交点A，B，且过的圆方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）两圆方程作差求公共弦所在直线方程，求出圆心到的距离，再由圆的几何法弦长公式即可求解； （2）先设圆的方程为，再代点求出即可得解. 【小问1详解】 将两圆方程相减可得， 化简得，故公共弦所在直线方程为， 由题可得的圆心为，半径， 到的距离，则； 【小问2详解】 设所求圆的方程为， 代入点得， ∴所求圆的方程为. 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程 （1）渐近线方程为，且经过点的双曲线方程 （2）已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，求椭圆的标准方程 （3）顶点在原点，关于x轴对称且过点的抛物线方程 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先设双曲线方程为（），代点求出参数即可； （2）由焦距和离心率定义求出即可求解； （3）设所求抛物线方程，代点求出m即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为（）. 因为在双曲线上，所以，即解得， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由题意，， 解得，，所以， 所以椭圆的标准方程为或； 【小问3详解】 由题可设所求抛物线方程，代入点得， 故抛物线方程为. 17. 过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点 （1）求线段的中点坐标； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题求出直线方程，再联立椭圆方程，利用韦达定理即可求解； （2）由弦长公式直接计算求解. 【小问1详解】 由题可知椭圆右焦点为，直线斜率为， 可设直线方程为， 联立，得，， 直线方程与椭圆有两个不同的交点，，设，，中点为， 所以，则，， ∴； 【小问2详解】 由（1）得. 18. 已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 （1）求P的轨迹方程； （2）过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在点. 【解析】 【分析】（1）结合斜率公式利用直接法求轨迹方程即可； （2）（ⅰ）设直线l：，设，，联立直线与轨迹的方程，利用韦达定理和三角形的面积公式即可求解； （ⅱ）设，利用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值思想，可得. 【小问1详解】 设，，， 由，化简得（）. 【小问2详解】 设直线l：，代入得：， 整理得： 设，， 因为，均在双曲线的右支上，所以，且， 所以，. （ⅰ）所以， ，可得， ∴直线的方程为：. （ⅱ）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以， 此时. 所以存在点，使得为定值. 19. 已知抛物线：（）的焦点为F，是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. （1）求标准方程； （2）求证：； （3）记关于轴的对称点为，直线关于轴的对称直线为，为上第四象限的点（与不重合），过作的切线，分别交，于P，Q两点，且，求证：M，F，Q三点共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义得到准线方程，进而求出p即可求解； （2）先依次设和直线的方程为，与抛物线联立求出点，再由即可求证； （3）先由对称得方程，与求法同理求出方程，联立与和求出，设直线与轴交于，由对称得，并由求出，进而计算得垂直于，从而得，再求出即可得证. 【小问1详解】 由题意,抛物线的准线方程为，故， 所以抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，由于在第一象限，故可设直线的方程为， 联立，消去,可得， 依题意，， 将代入 解得，所以切线的方程为. 令得，由题意知， 故，又， 所以，故. 【小问3详解】 如图， 设，， 由，关于轴对称，可得：， 与求法同理可得：， 联立与，，解得. 同理，故， 设直线与轴交于，则，关于点对称，即， 由：，令，得，所以， 故，则， 可得垂直于，故，可得， 所以， 所以， ∴， ∴M，F，Q三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二学年期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：王丽平 审题人：程鹏鹏 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则的离心率为（ ） A. B. 4 C. D. 2 2. “直线与直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知抛物线C：恰好经过圆M：的圆心，则抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是椭圆与双曲线：的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的长轴长是（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A 当时，曲线C表示双曲线 B. 当时，曲线C表示椭圆 C. 曲线C不可能表示两条直线 D. 曲线C可能表示抛物线 10. 过直线上任意一点作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 存在P使得 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 直线过定点 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）.若黄金双曲线C：（，）的左右两顶点分别为，，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 过右焦点且斜率为3的直线与双曲线右支有2个交点 D. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 三、填空题（每题5分，共15分.14题第一空2分，第二空3分） 12. 双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为______． 13. 若点在圆外，则实数k的取值范围为___________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为__________；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为__________． 四、解答题：（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.共77分） 15 已知圆：与圆：交于A，B. （1）求两个圆的公共弦长 （2）求过两圆交点A，B，且过的圆方程. 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程 （1）渐近线方程为，且经过点双曲线方程 （2）已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，求椭圆的标准方程 （3）顶点在原点，关于x轴对称且过点抛物线方程 17. 过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点 （1）求线段的中点坐标； （2）求. 18. 已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 （1）求P的轨迹方程； （2）过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知抛物线：（）的焦点为F，是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. （1）求的标准方程； （2）求证：； （3）记关于轴的对称点为，直线关于轴的对称直线为，为上第四象限的点（与不重合），过作的切线，分别交，于P，Q两点，且，求证：M，F，Q三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $