北京市通州区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025北京通州高一（上)期中 数 学 2025年11月 本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)已知命题P:3x∈R,x2+1<0,则一p为 (A)xeR,x2+l≥0 (B)xeR,x2+1>0 (C)3xeR,x2+1≥0 (D)3xeR,x2+1≥0 (2)已知集合A={x1≤x≤2}，B={x∈Z0≤x<3},则A∩B= (A)[0,2] (B)[-1,3)(C){0,1,2}(D){-1,0,1,2} (3)已知1，则x+有() (A)最大值1(B)最小值1(C)最大值3(D)最小值3 (4)若a>b,c>d>0,则下列结论一定成立的是 (A)a-d>b-e (B)la+d>b+d (C)ae>bd (D)aB e d (5)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递减，则下列各式成立的是() (A)f0)<fI)<f(-2) (B)f(-2)<f(0)<f1) (C)f(-2)<f)<f0) (D)f)<f(-2)<f(0) (6)己知aeR,则1<1是“a>1的() (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 4 (7)已知2”=3,4=行则下列式子不成立的是 (A)a+2b=2 （B)4b=12 (C)b< (D)G+8>月 (8)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=(0≤≤2)左侧的图形的面积为f(t),则函 数y=f(t)的图象可能为() 第1页/共8页 A (B (C) (D) (9)已知2-6-，则a,:c的大小关系不可能为 (A)a<b<c (B)c<a<b (C)a<c<b (D)c<b<a (10)在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例C()会 随时间t的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型C()=A+Be近 t(分钟) 0 5 10 似描述.其中A表示稳态未被读取比例，B表示初始时未被读取的 “额外”比例，x为衰减时间常数某工程师对某服务器缓存进行性 C()(%) 75 45 30 能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： 用该模型推算当1=15时，缓存中未被读取的信息比例约为 (A)20% (B)22.5% (C)25.5% (D)28% 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)函数f(x)=x+1的定义域是 (12)已知幂函数)的图像过点3，)》， 则f(6)=一 (13)已知函数y=fx),y=gx)的对应关系如下表： 3 4 f(x) 2 4 3 第2页/共8页 g(x) 2 4 3 则f(g(3)=;不等式f(gx)>x的解集为· (14)函数f(x)= -2,≤a若a=0时，则f()的值为一：若满足3∈R且x<, -x+2,x>a, f(x)<f(x2),则实数a的取值范围是 (15)已知函数f(x)=xx-2d+2x,aeR, ①存在实数a,使得函数f(x)为奇函数： ②任意实数a,当x∈(2，+)时，都有f(x)≥4a: ③任意实数a∈(0，+o),存在实数k,使得方程f(x)=k有三个不相等的实数根： ④若存在实数a∈[-2,2]，使得关于x的方程f(x)-f(2a)=0有三个不相等的实数根，则t的取值范围 是40 其中所有正确结论的序号是。 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 已知函数f(x)=x2+ax+b的图象过点A1,0和B(-2,0). (I)求函数f(x)的解析式： (Ⅱ)直接写出不等式f(x)≥0的解集： (Ⅲ)求不等式bx2+ax+1>0的解集. (17)(本小题13分) 设集合U=R,集合A-{a-3≤x≤a+3,a∈R},B={xl≤2≤8}. (I)当a=1时，求A∩(CB): (Ⅱ)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数α的取值范围. 条件①：[-2,3]=(AUB): 条件②：若“xeB”是“x∈A”的充分条件， 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 (18)(本小题15分) 己知函数f(x)=x2+a,a∈R. (I)若f(x)为偶函数，求a的值： (Ⅱ)若a∈(-o,2],判断函数f(x)在[1，+o)上的单调性，并用定义证明： (II)当a∈(-o,2]时，试比较f(2a2-2a+3与f(a2+1的大小，并说明理由. (19)(本小题15分) 某AI训练平台为优化算力资源分配，需分析模型训练的能源消耗成本.己知该平台的AI模型训练任 第3页/共8页 务分为“轻量训练”（数据量不高于10千GB)和“深度训练”（数据量高于10千GB)两类，其能源消耗 费用E(x)(单位：千元)与训练数据量x(单位：千GB)的关系为： x2+x+4,0<x≤10， E(x)= 24r+900-20,x>10, 平台通过训练任务可获得收入，轻量训练每千GB数据收入为11千元，深度训练每千GB数据收入为20 千元 (I)求该平台训练的毛利润P(x)(单位：千元)关于训练数据量x(单位：千GB)的函数关系式（毛 利润=总收入-能源消耗费用)： (Ⅱ)当训练数据量为多少时，平台毛利润最大？最大毛利润是多少？ (20)(本小题15分) 已知=次函数()=2+2ms-2,g创-（付 (I)若f(x)图象恒在x轴的下方，求实数m的取值范围： (IⅡ)若f(x)在区间L,2]上是单调函数，求实数m的取值范围： ()若对任意x∈[1,2]，总存在x,[-2,+o),使f(x)=g(x,),求实数m的取值范围. (21)(本小题14分) 对于正整数n,集合4n={1,2,?,n},若存在非空子集S,S2,满足： ①S1∩S2=0; ②S,US2=An: ③S,中元素之和等于S2元素之积. 则称集合A为“可拆数集” (I)判断A4,A是否为“可拆数集”，并说明理由： (Ⅱ)证明：对于任意整数n≥5，An是“可拆数集”. 第4页/共8页 参考答案 一、 选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) D B B D D B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)[-1,+0) (12)6 (13)1:{1} (14)-7；(1,2)U(2,+∞) (15)①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共13分) 1+a+b=0, (I)由题意可得： 4-2a+b=0,解得： a=1, b=-2, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2+x-2.…4分 (Ⅱ)不等式f()≥0的解集为(-o,-2]U[儿，+o)…7分 ()由(I)知-2x2+x+1>0, 2x2-x-1<0, 所以<x<1, 故不等式的解集为（…13分 (17)(共13分) 解：(I)B={x0≤x≤3}， 当a=1时，A={x-2≤x≤4}， 所以CuB={xx<0或x>3}, 故A∩(CuB)={x-2≤x<0或3<x≤4}.…7分 (IⅡ)选条件①，因为[-2,3](AUB), 故-2∈A,0∈A, a-3≤-2， 所以a+3z0, 故求实数a的取值范围是[-3,1].…13分 选条件②，因为“xeB”是“x∈A”的充分条件， 故BSA, a-3≤0， 所以a+323, 第5页/共8页 故实数a的取值范围是[0,3]..13分 (18)(共15分) 解：(I)f(x)定义域为{xx≠0}， 因为f(x)为偶函数， 所以f(-x)=f(x), 即(+是=+号 故a=0.…4分 (Ⅱ)任取1≤x<x, ()-f,)=G-xx+)+a-x) 则 =(G-5):+5)-a 因为1≤x<x2,a∈(-0,2]， 所以x-x<0,x+2>2,xx>1, 所以xx2(x+x2)-a>0, 所以f(x)-f(x2)<0,即f(x)<f(x), 故函数f(x)在[1，+o)上单调递增.…12分 (II)记g(a)=2a2-2a+3-(a2+)=a2-2a+2>0恒成立， 故1≤a2+1<2a2-2a+3, 由（IⅡ)知当a∈(-o,2]时，函数f(x)在[1，+oo)上单调递增， 故f(2a2-2a+3>f(a2+1. …15分 (19)(共15分) 11x-(x2+x+4),0<x≤10， 解：(I)由题知P(x)= 20x-(24x+90-20x>10, -x2+10x-4,0<x≤10， 故P(x) 900 …4分 4x+ +200,x>10, x (IⅡ)当0<x≤10时， 对称轴为x=5.最大值P(⑤)=21， 当x>10时， 4x+900 900 2,4x. =120, x 900 则-4x+ +200≤80，当且仅当x=15时，等号成立. 第6页/共8页 综上，当训练数据量为15千GB时，平台毛利润最大为80千元.…15分 (20)(共15分) 解：(I)因为f(x)图象恒在x轴的下方， 则△<0，即4m2-8<0, 所以m∈-V2,2).…3分 (Ⅱ)f(x)开口向下，对称轴为x=m, 因为f(x)在区间[1,2]上是单调函数， 故m≤1或m≥2.…6分 (Ⅲ)g(x)在[-2，+∞)上值域为(04]， 因为对任意x∈[1,2]，总存在x,[-2,+0),使f(x)=g(x,), 故f(x)的值域是g(x)值域的子集， 当m≤1时，f(x)在[1,2]上单调递减，值域为[4m-6,2m-3], 则2细e2解集为8： 当m≥2时，f(x)在[1,2]上单调递增，值域为[2m-3,4m-6], 则1都铁为 当1<m<2时，f(x)在[1，m]上单调递增，在[m,2]上单调递减， 最大值为f(m)=m2-2,最小值为min{f(),f(2}, m2-2≤4， 则令2m-30解集为[2小 4m-6>0 综上，实数m的取值范围是 35 22 …15分 (21)(共14分) 解：(I)4={1,2,3,4,5},此时可取S={3,5},S2={1,2,4},满足条件， 故A是“可拆数集”. A={1,2,3,4},元素和为10，假设A4是“可拆数集”， 单元素子集S2与其所对应的S,:积+和分别为2,4,6,8，均不是10： 双元素子集S2与其所对应的S:积+和分别为5,7,9,11,14,19，均不是10： 三元素子集S2与其所对应的S,:积+和分别为12,15,20,33，均不是10： 不存在满足条件的S,S2,故A不是“可拆数集”， …6分 (Ⅱ)证明：当n≥5时，均可将An={1,2,?,n}表示为两个符合要求的集合的并， n为偶数时，设n=2k(k≥3) 第7页/共8页 不妨取S2={1,k-1,2k},记积P(S2)=2k(k-1),和S(S2)=3k, 全集和S4,)=1+2++n=1+m=k2k+), 2 故S(S)=k(2k+1)-3k=2k(k-1)=P(S2),满足条件 n为奇数时，设n=2k+1(k≥2)， 不妨取S2={1,k,2k},记积P(S2)=2k2,和S(S2)=3k+1, 全集和S4)=1+2+2+n=n1+m-(k+12k+10, 2 故S(S)=(k+1D(2k+1)-(3k+)=2k2-P(S2),满足条件. 综上，对任意整数≥5，均可构造满足条件的非空子集S,,S2,故An是“可拆数集”. …14分 第8页/共8页