浙江省杭州第四中学2026-2027学年高三上学期开学阶段性测试数学试题

**基本信息** 高三开学阶段性测试，融合文化传承与创新应用，以《九章算术》扇形田问题考查几何直观，新定义数列性质题发展抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、扇形面积、双曲线、概率等|第3题结合《九章算术》情境，体现数学眼光| |多选|3/18|导数运算、三角函数、数表等|第11题数表问题考查逻辑推理，发展数学思维| |填空|3/15|圆、二项式定理、函数交点|第14题函数交点问题，培养数学语言表达| |解答|5/77|解三角形、立体几何夹角、圆锥曲线、导数、数列新定义|第19题新定义数列性质证明，考查创新意识与推理能力|

杭州第四中学2026学年第一学期高三年级阶段性测试 数学试题卷 命题、审题：2026届高三数学备课组 2026年9月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号。 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。 4．考试结束，只上交答题卷。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D．且 2．若，其中，为虚数单位，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）为（ ） A．60 B．120 C．240 D．480 4．双曲线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 5．已知随机变量，且，，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 6．已知某正三棱台的上下底边长分别为3和6，若其存在内切球，则正三棱台的高为（ ） A． B．2 C． D．3 7．设是两个随机事件，若，，，记，则（ ） A． B． C． D． 8．设向量，，则当取得最小值时，（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的不得分． 9．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 10．在中，已知，则（ ） A． B． C． D． 11．在右图的数表中，每行从左到右的四个数成等比数列，每列从上到下的四个数成等比数列，且所有公比均不为1或．若数表中有四个数为1，有四个数为2，则（ ） A．数表中每行恰有一个数为1 B．数表中共有6个不同的数 C．数表中所有数的乘积为256 D．符合条件的数表共有4个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，圆的半径为2，则 ▲ ． 13．设，则 ▲ ． 14．设，函数，若过轴上一定点的任意直线与的交点个数不可能为3个，则 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 记的内角，，的对边为，，，已知，． （1）求； （2）若，求的周长． 16．（本小题15分） 如图，长方体中，，，为棱的中点． （1）作出直线与平面的交点（保留作图痕迹，无需证明）； （2）作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，无需证明）； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 17．（本小题15分） 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足，其中且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线． （1）求的方程与离心率； （2）设不经过第二象限的直线与轴与轴分别相交于两点，与曲线相交于两点，若点三等分线段，求的方程． 18．（本小题17分） 设，函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，求曲线过点的切线方程； （3）证明：． 参考数据：，，，． 19．（本小题17分） 对于数列，若存在函数，使得恒成立，则称数列具有“性质”；若存在正整数，，使得当时，恒成立，则称数列具有“性质T”． （1）若各项均为正整数的数列具有“性质F”，证明以下命题： （i）若存在相异正整数，，使得，则数列具有“性质T”； （ii）若存在无穷项递增正整数列：，，，，使得，则数列具有“性质T”； （2）对于正整数，记为的最大素因子（即能整除的最大的素数），例如：，则．已知数列满足以下条件： ①且； ②若为素数的幂（即存在素数和正整数使得），则； ③若有至少两个不同的素因子，则． 证明：数列具有“性质T”． 学科网（北京）股份有限公司 $