精品解析：广东省广州市培正中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025学年第一学期学业质量发展阶段性训练 八年级数学科问卷 本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2.用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列图形具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 在以下四个图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（ ） A B. C. D. 5. 如图，已知，添加以下条件中的一个条件后仍无法证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，则度数是（　　） A. B. C. D. 8. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A. 105° B. 75° C. 65° D. 55° 9. 如图，在中，，，，是平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 10. 根据下列条件，能画出唯一一个的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ___________． 12. 如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积的值是______． 13. 在中，，则___________． 14. 如图，在中，，是高，，若，则__________． 15. 如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为______． 16. 如图，，，连接．给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，平分； ③点P为直线上一点，当最小时，； ④若，的面积为18，则的面积为； 其中正确的是______．填写所有正确结论的序号 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）求的面积． 19. 如图，现需要测量该池塘两端A，B之间的距离，小明同学提出了一种测量方法：如图所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离．请判断小明的方法其是否可行，并说明理由． 20. 如图，在中，是的平分线，交于点．，，求的度数． 21. 如图，在△ABC中． （1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，交BC于点D，垂足为E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接AD，若△ABC的周长是19，，求△ABD的周长． 22. 如图，在中，是的高，是的角平分线，已知，． （1）的大小． （2）若是中线，且，面积为40，求的长度． 23. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF． （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由． 24. 已知在中，，点D是边AB上一点，． （1）如图1，设，请用含的式子表示和； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 25. 如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． （1）如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； （2）如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期学业质量发展阶段性训练 八年级数学科问卷 本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 2.用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列图形具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形的不稳定性．观察四个选项，图形全部都是三角形组成，则这个图形具有稳定性，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、是四边形，不是三角形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； B、含有四边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； C、含有四边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； D、都是有三角形组成的，具有稳定性，故该选项符合题意； 故选：D 2. 在以下四个图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 3. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．首先设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得，再解即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系可得： ， 即：， 只有选项B符合要求， 故选：B 4. 某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理证得，利用该全等三角形的对应边相等推知，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点， ∴，， 在与中 ， ， ∴ ∴， 故选：． 5. 如图，已知，添加以下条件中的一个条件后仍无法证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据选项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵在和中，， A．添加，可以根据证明，不符合题意； B．添加，可以根据证明，不符合题意； C．添加，可以根据证明，不符合题意； D．添加，根据不能证明，符合题意． 故选：D． 6. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理求解即可． 详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 8. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A. 105° B. 75° C. 65° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，由勾股定理求出，如图所示，在上截取，连接，证明得到，则可推出当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：，，， ． 如图所示，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ， 即的最小值为． 故选：A． 10. 根据下列条件，能画出唯一一个的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、，，，能画出唯一一个，故本选项符合题意； B、因为，所以不能画出；故本选项不符合题意； C、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意， D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意． 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求关于轴对称的点的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，得出答案即可，熟练掌握关于轴对称点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积的值是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的面积等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，易得阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半，据此即可解答． 【详解】解：∵关于直线成轴对称， ∴， ∵E，F是上的两点， ∴与关于直线成轴对称， ∴ ∵， ∴． 故答案为：12． 13. 在中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．利用等边对等角直接求解即可． 【详解】解：如图： ，， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，是高，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，据此可求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、平角的定义，由折叠的性质可知，，，，根据平角的定义可得：，因为可得：，根据三角形内角和定理可以求出，所以可得，再利用平角的定义可以求出． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， . 16. 如图，，，连接．给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，平分； ③点P为直线上一点，当最小时，； ④若，的面积为18，则的面积为； 其中正确的是______．填写所有正确结论的序号 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．①根据已知条件得到，根据平角定义得到，故①正确；②设交于O，过A作于H，得到，求得，由，得到，求得，求得，根据全等三角形的性质得到，求得平分；故②正确；③作点A关于的对称点F，连接交于P，此时的值最小，如图，假设，得到，故不一定，故③错误；④如图，过A作于H，根据三角形的面积公式得到，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为，故④正确． 详解】解：①当时，即， ∵， ， ∴，故①正确； ②设交于O，过A作于H， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分；故②正确； ③作点A关于的对称点F，连接交于P， 此时的值最小， 如图，假设， ∴，故不一定，故③错误； ④如图，过A作于H， ，的面积为18， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， 的面积为，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据即可证明结论成立． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中 ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质，分别找出点，再依次连接，得出，即可作答． （2）根据割补法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：依题意，的面积 19. 如图，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，小明同学提出了一种测量方法：如图所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离．请判断小明的方法其是否可行，并说明理由． 【答案】方案可行，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 详解】解：方案可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，即方案可行． 20. 如图，在中，是的平分线，交于点．，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理．根据角平分线的性质，可得与的关系，根据平行线的性质，可得与的关系，根据平行线的性质，可得的大小，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， 在中，. 21. 如图，在△ABC中． （1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，交BC于点D，垂足为E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接AD，若△ABC的周长是19，，求△ABD的周长． 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等线段代换和的周长为得到． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， 的周长为， ， 即， ， 即的周长为． 【点睛】本题考查了作图基本作图、垂直平分线的性质：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）． 22. 如图，在中，是的高，是的角平分线，已知，． （1）的大小． （2）若是的中线，且，面积为40，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高、角平分线及内角和， （1）先根据三角形内角和定理计算出，再利用角平分线的定义得到，由是的高得到，利用互余得，然后根据求解； （2）由题意易得，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 解：，， ， 是的角平分线， ， 是高， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵是的中线，且， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF． （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）BD=CF；详见解析． 【解析】 【分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题； （2）结论：BD=CF．过点D作DG∥AC交BC于G，证明∆DGE≌∆FCE ，则DG=CF，再证出DG=BD即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠EAF=90°，∠ADE+∠F=90°， ∵∠DAE=∠ADE， ∴∠EAF=∠F， ∴EA=EF， ∵∠DAE=∠ADE， ∴EA=ED， ∴DE=EF； （2）解：BD=CF．理由： 过点D作DG∥AC交BC于G， ∴∠EDG=∠F， ∵ED=EF，∠DEG=∠FEC， ∴∆DGE≌∆FCE， ∴DG=CF， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B， ∵DG∥AC ∴∠ACB=∠DGB， ∴∠B=∠DGB， ∴BD=DG ∴BD=CF． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24. 已知在中，，点D是边AB上一点，． （1）如图1，设，请用含的式子表示和； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， 设，则， 由（1）可得， ∴， ∴； ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 25. 如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上． （1）如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______； （2）如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）不会变化，． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过点作轴于，由可证，可得，可求解； （2）延长，交于点，由可证，可得，由可证，可得，可得结论； （3）作轴于，由可证，可得，，由可证，可得，可得，由三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作轴于， 点的横坐标为， 在和中， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 如图②，延长，交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问3详解】 与的面积比不会变化， 理由∶如图③，作轴于， ， 在和中， ， 在和中， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $