精品解析：广东省佛山市南海区石实实验学校2025-2026学年九年级上学期第一次检测数学试卷

2025-2026学年九年级第一学期第一次教学质量检测 数学试卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应位置上； 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答在试卷上的答案无效； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不得使用铅笔或涂改液，否则答案无效； 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.00000823米，将0.00000823用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 4. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 6. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（ ） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 5.5 10. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. 分解因式：＝__________. 12. 一组数据1，2，，5，8的平均数是5，则该组数据的中位数是____________ 13. 响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______ ． 14. 如图，在中，是斜边上的中线，，则___________． 15. 如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：； 17. 如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 18. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 20. 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． （1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； （2）医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 21. 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 23. 综合探究： 【知识链接】“化归思想”是数学学习中一种常用的探究新知、解决问题的基本思想方法，通过“转化、化归”可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，某学习小组利用这种思想方法，发现并证明了一个有趣结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． （1）【问题发现】该学习小组首先通过对一类特殊平行四边形矩形的研究发现：如图①，在矩形中，设，则对角线的长和边长之间的数量关系为________（用含的式子表示）； （2）【问题探究】该学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究．如图②，在中，设，分别过点作边的垂线，垂足分别为．请你按照这种思路猜想对角线的长和边长之间的数量关系，并进行证明； （3）【问题拓展】 如图③，在中，是边上的中线，已知，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一学期第一次教学质量检测 数学试卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应位置上； 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答在试卷上的答案无效； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不得使用铅笔或涂改液，否则答案无效； 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.00000823米，将0.00000823用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．对于小于1的数，n为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数． 【详解】解：∵0.00000823的小数点向右移动6位得到8.23， ∴0.00000823， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂运算．根据指数运算规则，同底数幂相乘时指数相加，相除时指数相减，幂的乘方时指数相乘，根据这些规则逐项计算即可作出判断． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D． 3. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 4. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】原式， ． 故选A． 【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题的关键． 6. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，再进一步判断图象经过的象限即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限． ∴B符合题意． 7. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排28场比赛即可列出方程. 【详解】设有x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x-1=28， 即 故选：B. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键. 8. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到∠ABD=66°，再根据折叠的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴∠ABD=90°-=66° ∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处 ∴ ∴ 故选C． 【点睛】此题主要考查矩形内的角度求解，解题的关键是熟知矩形及折叠的性质． 9. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（ ） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】如图，设AC与BD的交点为O， ∵点P是BC边上的一动点， ∴AP⊥BC时，AP有最小值， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4， ∴BC＝， ∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP， ∴AP＝＝4.8， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键． 10. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点， ∴A、C坐标关于原点对称， ∴C的坐标为， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. 分解因式：＝__________. 【答案】x(x-1) 【解析】 【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可． 【详解】解：=x（x-1）． 故答案为：x(x-1). 12. 一组数据1，2，，5，8的平均数是5，则该组数据的中位数是____________ 【答案】5 【解析】 【分析】首先根据平均数为5，求出x的值，然后根据中位数的概念求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得：x＝9， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，5，8，9， 则中位数为：5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 13. 响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关于 x 的一元二次方程； 【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 14. 如图，在中，是斜边上的中线，，则___________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：70． 15. 如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形各边中点分别是、、、， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长为：， 故答案为：42． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出方程的解，再检验即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 17. 如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）45° 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可； 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，，∠A＝∠C， ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°． ∵EF垂直平分线段AB， ∴AF＝FB， ∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 【答案】 （1）证明：如图，∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； ∴AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝DC＝BC， ∴四边形ADCF是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形； （2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接DF， ∵AF∥BC，AF＝BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S＝AC•DF＝10． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）时,四边形EGCF是矩形，理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 20. 为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等． （1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元； （2）医院准备购买A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？ 【答案】（1）购买一台A器材需要15万元，购买一台B器材需要5万元 （2）最多购买A器材65台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元，再结合花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等，进行列方程，解得，最后验根，即可作答． （2）先设购买A器材y台，则购买B器材台，结合购买A、B器材的总费用不高于1050万元，进行列不等式，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要万元， 依题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元． 【小问2详解】 解：设购买A器材y台，则购买B器材台， 依题意，得：． 解得． ∴y的最大值为65． 答：最多购买A器材65台． 21. 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． 【小问2详解】 第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， 【小问3详解】 解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形， 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 23. 综合探究： 【知识链接】“化归思想”是数学学习中一种常用的探究新知、解决问题的基本思想方法，通过“转化、化归”可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，某学习小组利用这种思想方法，发现并证明了一个有趣结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． （1）【问题发现】该学习小组首先通过对一类特殊平行四边形矩形的研究发现：如图①，在矩形中，设，则对角线的长和边长之间的数量关系为________（用含的式子表示）； （2）【问题探究】该学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究．如图②，在中，设，分别过点作边的垂线，垂足分别为．请你按照这种思路猜想对角线的长和边长之间的数量关系，并进行证明； （3）【问题拓展】 如图③，在中，是边上的中线，已知，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值． 【答案】（1） （2）， 证明如下： 由题意可知，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是平行四边形， ∵， ∴是矩形． 设，，则，， 在Rt中，， 在中，， ∴， 在中，，即， ∴； （3） 如图，延长至点，使，连接，， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）证明，证明是矩形，设，，则，，利用勾股定理即可得到（1）中结论； （3）延长至点，使，连接，，构造平行四边形，使用（2）中结论即可得到答案． 本题考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质． 【小问1详解】 解：∵是矩形， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 由（2），得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $