精品解析：青海省西宁市第十二中学教育集团2025-2026学年九年级上学期期中阶段性诊断数学试卷

西宁市第十二中学教育集团2025-2026学年度第一学期 九年级数学学科期中阶段性诊断 做题时间：120分钟 本题组满分：120分 命题人：九年级数学备课组 审题人：九年级数学备课组 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”是解题的关键．判断方程是否为一元二次方程，需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程．逐一分析各选项即可． 【详解】A项，∵ 中， 可能为0，当 时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程． B项，∵ 中含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程． C项，∵ 中含有两个未知数 和 ，∴ 不是关于 的一元方程． D项，∵ 化简得 ，整理得 ，是关于 的一元二次方程． 故选：D． 2. 关于x的方程有两个根为、，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键 根据一元二次方程根与系数关系，即“”直接计算两根之和即可 【详解】解：由根与系数的关系，两根之和为：． 故选：D ． 3. 将一元二次方程化为一般形式后，的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握“通过移项、合并同类项将方程化为的形式”是解题的关键．将方程通过移项、合并同类项化为一般形式，再确定、、的值． 【详解】解：∵ 原方程为， ∴ 移项得， 合并同类项得， ∴与一般形式对比，得，，， 故选：A． 4. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法准确判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 5. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 6. 已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系． 【详解】二次函数， 对称轴为， ， 时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ，，在二次函数的图象上，且，， ． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由旋转的性质可得，，，求出是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选C． 8. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分当时，点在上和当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，当时，点在上， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，点在上，过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 二、填空题（共10题，每小题2分，共20分） 9. 当________时，函数是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的定义求字母的值，二次函数中未知数的最高次数是2，二次项的系数不能为0，由此列式求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 又， ， ， 故答案为：． 10. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 11. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 12. 若将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到，则此抛物线的表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移法则是解题的关键．根据抛物线平移的逆过程，将平移后的抛物线反向平移得到原抛物线解析式． 【详解】解：∵ 抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到 ∴ 反向平移时，先将向下平移2个单位，得；再向左平移1个单位，将替换为，得 故答案为： 13. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出_______个小分支． 【答案】7． 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是57，列出方程，即可求解. 【详解】设每个支干长出x个小分支， 根据题意得：， 解得：,(不符题意，舍去). 答：每个支干长出7个小分支． 答案是：7. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找到题目中的等量关系，是解题的关键. 14. 已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式______________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 二次函数图象开口向下，则二次项系数为负；经过点，则常数项为1． 【详解】解：设二次函数表达式为． ∵图象经过点， ∴当时， ，即，解得． ∵图象开口向下， ∴． 取，则． 故答案为∶ (答案不唯一)． 15. 如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为__________________． 【答案】（16－2x)(9－x)＝112 【解析】 【详解】设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m， 根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112， 故答案为（16-2x）（9-x）=112. 16. 已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于___． 【答案】##4米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意把直接代入解析式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得点的横坐标为， 把代入得， ∴， ∴水面与桥拱顶的高度等于， 故答案为：． 17. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 18. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的序号是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．由抛物线的对称性可知，当时，，可判断①结论；根据抛物线的顶点坐标得出对称轴，可判断②结论；利用抛物线的最值可判断③④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， 抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， ，①结论正确； 抛物线的顶点坐标为， ， ， ，②结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， 当时，抛物线有最大值为， ，即（的任意实数），③结论正确； 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， 一元二次方程有两个不相等的实数根，④结论错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（共8题，共76分） 19. 用合适的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）； 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和公式法是解题的关键． （1）观察方程特点，可通过移项后因式分解求解； （2）先将方程化为一般形式，再用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴，，， ∴， ∴， 解得，． 20. 根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象过点，顶点坐标为． （2）已知图象经过点，，且对称轴为直线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是根据已知信息建立合适的函数解析式． （1）根据顶点坐标为，设函数解析式为，再将点代入函数解析式求解a的值即可； （2）设函数解析式为，再根据经过A点与B点代入和对称轴公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标为， ∴设函数解析式为， ∵函数经过点， ∴， 解得， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：设函数解析式为， ∵经过点，， ∴， 解得， ∵对称轴为直线， ∴，整理可得， 联立， 解得， ∴函数解析式为． 21. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）当直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图象，利用图象解不等式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想． （1）按照列表、描点、连线的顺序作图即可； （2）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：列表 1 8 3 0 0 3 8 描点，连线作图如下： 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据题意可得，再解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【小问1详解】 解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为且． 【小问2详解】 解：设方程两根为，则：， 代入得， 解得：或， 经检验，或是方程的解， 当时，判别式，不符合实数根条件． 当时，判别式，符合条件． 综上，． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将绕点顺时针旋转后得到，画出； （2）若点为轴上一动点，则的最小值等于___________． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转、轴对称-最短路径问题以及两点间距离公式，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质和两点间距离公式是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到三角形三个顶点绕原点顺时针旋转后的对应点，再连接这些点得到旋转后的三角形． （2）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接该对称点与，其长度即为的最小值，再通过两点间距离公式计算． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点．连接，，交轴于点，则此时最小， ． 24. 每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传．今年夏天雪豹玩偶深受欢迎．某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个． （1）求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率． （2）为刺激消费，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1） （2）2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为，得到，再解方程即可； （2）设每个玩偶降价为y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率， 则，即， 解得，（舍去）， 答：7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元时，当日总利润可达到5940元， 则此时售价为每个（元），可销售个， 则利润为， ， 化简得， ，解得或（舍去）， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 25. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线的函数解析式； （3）若点是抛物线上的一动点且在直线下方，连接，设的面积为，求的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为4， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，与面积的综合问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线与轴的另一个交点B，再由待定系数法求解； （3）过点作轴交于点，设，则，则，由建立起二次函数关系式，再由二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ∴，解得， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：对于，当时，则， 解得或 ∴, 设直线， 则，解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点， 设，则， ∴ ∵ ∴ ， ∵， ∵， ∴当时，取得最大值为4， 此时． 26. 综合与实践：综合与实践数学活动课上，老师给出了这样一个问题：已知二次函数，当时，则的取值范围是多少？ 问题初探】 经探究发现：对于求二次函数区间范围内的最值时，需要对二次函数图象的对称轴与自变量的取值范围的位置关系（区间在对称轴左侧、对称轴右侧以及对称轴在区间内）进行讨论；再通过“数形结合”思想找出在区间取值范围内的最大值与最小值． 【问题解决】 （1）首先确定的对称轴为___________；并通过，2和对称轴的大小关系，分别确定了最大值和最小值，则的取值范围为___________． 【类比探究】 （2）二次函数，当时，的取值范围为___________； （3）二次函数，当时，函数的最小值为，的取值范围为___________． 【拓展应用】 （4）已知二次函数，当时，其对应的函数值的最小值为3，求常数的值． 【答案】（1）对称轴为，的取值范围为 （2）取值范围为 （3）的取值范围为 （4）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，包括对称轴公式、二次函数在区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论是解题的关键． （1）先根据二次函数对称轴公式求出对称轴，再判断对称轴与给定区间的位置关系，分别计算区间端点和对称轴处的函数值，从而确定的取值范围． （2）先求对称轴，判断其与区间的位置关系，再计算区间端点和对称轴处的函数值，确定的取值范围． （3）先求对称轴，找到函数最小值为时的值，再根据区间确定的取值范围． （4）根据二次函数顶点式性质，分对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况讨论，求出的值． 【详解】解：（1）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为， 故答案为：直线，； （2）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为． （3）， ∴对称轴为直线， 当时，． ∵当时，函数最小值为， ∴． （4）二次函数的顶点为，且，抛物线开口向上． 当时，在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 当时，的最小值为，不符合题意． 当时，在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第十二中学教育集团2025-2026学年度第一学期 九年级数学学科期中阶段性诊断 做题时间：120分钟 本题组满分：120分 命题人：九年级数学备课组 审题人：九年级数学备课组 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程有两个根为、，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 将一元二次方程化为一般形式后，的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法准确判断 5. 对于二次函数，下列结论正确是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 6. 已知，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是　　 A. B. C. D. 7. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10题，每小题2分，共20分） 9. 当________时，函数是二次函数． 10. 方程的根为__________ 11. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 12. 若将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到，则此抛物线表达式为___________． 13. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出_______个小分支． 14. 已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式______________． 15. 如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为__________________． 16. 已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于___． 17. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 18. 如图是抛物线部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的序号是___________． 三、解答题（共8题，共76分） 19. 用合适的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）； 20. 根据下列条件，分别求出二次函数的解析式． （1）已知图象过点，顶点坐标为． （2）已知图象经过点，，且对称轴为直线． 21. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）当直接写出的取值范围． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将绕点顺时针旋转后得到，画出； （2）若点为轴上一动点，则的最小值等于___________． 24. 每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传．今年夏天雪豹玩偶深受欢迎．某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个． （1）求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率． （2）为刺激消费，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 25. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线的函数解析式； （3）若点是抛物线上的一动点且在直线下方，连接，设的面积为，求的最大值，并求出此时点的坐标． 26. 综合与实践：综合与实践数学活动课上，老师给出了这样一个问题：已知二次函数，当时，则的取值范围是多少？ 【问题初探】 经探究发现：对于求二次函数区间范围内的最值时，需要对二次函数图象的对称轴与自变量的取值范围的位置关系（区间在对称轴左侧、对称轴右侧以及对称轴在区间内）进行讨论；再通过“数形结合”思想找出在区间取值范围内的最大值与最小值． 【问题解决】 （1）首先确定的对称轴为___________；并通过，2和对称轴的大小关系，分别确定了最大值和最小值，则的取值范围为___________． 【类比探究】 （2）二次函数，当时，的取值范围为___________； （3）二次函数，当时，函数的最小值为，的取值范围为___________． 【拓展应用】 （4）已知二次函数，当时，其对应的函数值的最小值为3，求常数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $