第7章 证明(期末复习精练)-【教与学·学导练】2025-2026学年八年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦北师大版八年级上册第七章“证明”，核心涵盖定义与命题、平行线判定与性质及综合应用。通过直线位置关系实例导入，知识脉络从命题真假判断到平行线推理，再到综合实践，构建基础到应用的学习支架。 其亮点在于融入折纸、光的反射等实际情境，如“特色数”定义题培养抽象能力，综合探究题训练推理思维。助力学生提升逻辑推理与创新意识，为教师提供系统题型与实践案例，高效落实核心素养教学。

数学 八年级 上册 配北师大版 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 第七章　证　　明 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点一　定义与命题 【例1】已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；② a⊥c；③b⊥c；④a⊥b. 请你从①②③④中选择两个作为条件，一个作为结论，用 “如果……那么……”的形式，写出满足下列条件的命题. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； 解：（1）如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b. 证明如下：如答图Q7－1. ∵a⊥c，b⊥c， ∴∠1=90°，∠2=90°. ∴∠1=∠2. ∴a∥b. 答图Q7－1 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）写出一个假命题，并举出反例. 解：（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b. 反例：如答图Q7－1，满足a⊥c，b⊥c，但a与b不垂直. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 1. 能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是 （　A　） A 【巩固】 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 2. 下列命题中，是真命题的是（　D　） A. 若a=－1，b=1，则a，b互为倒数 B. 若∠1=90°，∠2=90°，则∠1与∠2是对顶角 C. 若=3，则a=3 D. 若∠α=40°，∠β=50°，则∠α，∠β互为余角 3. 要说明命题“带根号的数是无理数”是假命题，请举出一个反 例： 　 ⁠. D （答案不唯一） 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 4. 把下列各命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出它们的条件和结论. （1）互为余角的两个角之和等于90°； 解：（1）如果两个角互为余角，那么这两个角的和为90°.条 件：两个角互为余角；结论：这两个角的和为90°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 解：（2）如果一个点为线段垂直平分线上的点，那么这个点到 这条线段两个端点的距离相等.条件：一个点为线段垂直平分线上 的点；结论：这个点到这条线段两个端点的距离相等. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 5. 定义：如果一个正整数可以被4整除，且可以表示为两个正整数 的平方差，我们把这个数称为“特色数”.例如，16可以被4整 除，且16=52－32，所以16为“特色数”. （1）8是否为“特色数”？说明理由； 解：（1）8是特色数. 理由如下： ∵8可以被4整除，且8=32－12， ∴8是特色数. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）在数学上常用表示一个十位数字为m，个位数字为n的两 位数.若是一个“特色数”，且m＋n=4，求. 解：（2）依题意，得m，n为整数，且1≤m≤9，0≤n≤9. ∵m＋n=4， ∴m的值为1，2，3，4，n的相应值为3，2，1，0. ∴这个两位数是13或22或31或40. ∵13，22，31不能被4整除， ∴13，22，31不是特色数. ∵40能被4整除，且40=73－32， ∴40是一个特色数. ∴=40. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点二　平行线的判定 【例2】如图Q7－1，∠1=60°，∠B=60°，∠2=∠3. 求证：AB∥CD. 　　证明：∵∠1=∠B=60°， ∴EF∥AB. ∵∠2=∠3， ∴EF∥CD. ∴AB∥CD. 证明：∵∠1=∠B=60°， 　图Q7－1 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 6. 如图Q7－2，下列条件中能判断AB∥CD的是（　B　） 图Q7－2 A. ∠1=∠4 B. ∠2=∠3 C. ∠2=∠4 D. ∠ABC＋∠A=180° B 【巩固】 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 7. 如图Q7－3，数学课上，王老师将木条a，b与c钉在一起，木条 a与木条c交于点O，∠1=75°，∠2=40°，要使木条a与木条b平 行，木条a绕点O顺时针旋转的最少度数是 ⁠. 图Q7－3　　 35° 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 8. 少数民族传统艺术表演，是某欢乐世界的王牌演艺节目.在展演 中，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制.如图 Q7－4，光线AB与灯带AC的夹角∠A=42°，当光线CB′与灯带AC 的夹角∠ACB′= 时，CB′∥AB. 138°或42° 图Q7－4 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 图Q7－5 ∴∠EFC=∠DMC=90°. ∴EF∥DM. ∴∠2=∠CDM. ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠CDM. 证明：∵EF⊥BC，DM⊥BC， 9. 如图Q7－5，EF⊥BC于点F，DM⊥BC于点M，∠1=∠2，∠3=∠C. 求证：AB∥MN. ∴CD∥MN. ∵∠3=∠C， ∴AB∥CD. ∴AB∥MN. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点三　平行线的性质 【例3】如图Q7－6，FG∥AC，∠1＋∠2=180°，CE平分∠ACD. （1）求证：AB∥CE； 图Q7－6 ∴∠1＋∠A=180°. ∵∠1＋∠2=180°， ∴∠A=∠2. ∴AB∥CE. （1）证明：∵FG∥AC， 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）若∠B=70°，求∠1的度数. （2）解：∵AB∥CE，∠B=70°， ∴∠ECD=∠B=70°. ∵CE平分∠ACD， ∴∠2=∠ECD=70°. ∵∠1＋∠2=180°， ∴∠1=180°－∠2=110°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 10. 已知直线a∥b，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按 如图Q7－7所示的方式摆放.若∠1=44°20′，则∠2=（　D　） 图Q7－7 A. 44°20′ B. 46°40′ C. 45°20′ D. 45°40′ D 【巩固】 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 11. 如图Q7－8，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折 射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若 ∠1=155°，∠2=35°，则∠3的度数为（　D　） 图Q7－8 A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° D 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 12. 如图Q7－9，m∥n.若∠1=105°，则∠2= ⁠. 图Q7－9　　 图Q7－10 13. 把一张长方形的纸条按如图Q7－10所示折叠，若∠1=140°， 则∠2的度数为 ⁠. 75° 110° 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （1）如图Q7－11①，当点P，M在CD上时，写出∠APC与∠AMC 的数量关系，并说明理由； 解：（1）∠APC=2∠AMC. 理由如下：∵AM平分∠BAP， ∴∠BAM=∠PAM. ∵AB∥CD， ∴∠BAM=∠AMC，∠APC=∠BAP=2∠BAM. ∴∠APC=2∠AMC. 14. 已知AB∥CD，AM平分∠BAP. 图Q7－11 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）如图Q7－11②，当点P在AB，CD之间，且在AC连线右侧， 点M仍在CD上时，写出∠P，∠C，∠AMC间的数量关系，并说明 理由. 图Q7－11 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（2）∠APC=∠C＋2∠AMC. 理由如下：如答图Q7－2，过点P作 PK∥AB，则∠APK=∠BAP. ∵AB∥CD， ∴PK∥CD. ∴∠CPK=∠C. ∴∠APC=∠CPK＋∠APK=∠C＋∠BAP. ∵AM平分∠BAP， ∴∠BAP=2∠BAM. 答图Q7－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 ∵AB∥CD， ∴∠BAM=∠AMC. ∴∠BAP=2∠AMC. ∴∠APC=∠C＋2∠AMC. 答图Q7－2 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 考点四　本章考试热点题型（综合与实践、综合探究、综合运 用） 15. （综合与实践）折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多 美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.将长方形纸条 按下列要求折叠. 图Q7－12 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【动手操作】（1）如图Q7－12①，将长方形纸条ABCD沿直线EF 折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，C′F交AD于点G. 若 ∠1=35°，求∠AGC′的度数； 【解决问题】 （2）如图Q7－12②，在图Q7－12①的基础上，将 四边形ABFG沿某一直线折叠，使得线段AG落在直线GF上，折痕 为GH，则折痕GH与EF有怎样的位置关系？请说明理由. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC. ∴∠GFC＋∠FGE=180°. 由折叠的性质可知∠GFE=∠1=35°， ∴∠GFC=35°＋35°=70°. ∴∠FGE=180°－∠GFC=110°. ∴∠AGC′=∠FGE=110°. 图Q7－12 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）GH∥EF. 理由如下： 由折叠的性质可知∠1=∠GFE， ∠AGH=∠FGH， ∴∠GFC=2∠GFE，∠AGF=2∠FGH. ∵AD∥BC， ∴∠GFC=∠AGF，即2∠GFE=2∠FGH. ∴∠GFE=∠FGH. ∴GH∥EF. 图Q7－12 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 16. （综合探究）【问题情境】如图Q7－13①，AB∥CD， ∠A=130°，∠C=120°，求∠APC度数. 小明的思路是：如图Q7－13②，过P作PE∥AB，通过平行线性质 来求∠APC. （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 ⁠，请说 明理由； 110° 图Q7－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（1）∵AB∥CD，PE∥AB， ∴PE∥AB∥CD. ∴∠A＋∠APE=180°，∠C＋∠CPE=180°. ∵∠A=130°，∠C=120°， ∴∠APE=50°，∠CPE=60°. ∴∠APC=∠APE＋∠CPE=110°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）如图Q7－13③，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在 A，B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由； 解：（2）∠CPD=∠α＋∠β. 理由如下：如答图Q7－3，过点P作 PE∥AD交CD于点E. ∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC. ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE. ∴∠CPD=∠DPE＋∠CPE=∠α＋∠β. 　答图Q7－3 【问题迁移】 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （3）在（2）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与 点A，B，O三点不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数 量关系. 图Q7－13 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（3）如答图Q7－4，当点P在BA的延长线上时，∠CPD=∠β －∠α； 答图Q7－4　　 答图Q7－5 如答图Q7－5，当点P在AB的延长线上时，∠CPD=∠α－∠β. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 17. （综合运用）【学科融合】物理学光的反射现象中，反射光 线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分 别位于法线两侧；入射角等于反射角.这就是光的反射定律. 【问题解决】（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图Q7－14 ①是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜. 已知光线经过平面镜反射时，有∠1=∠2，∠3=∠4，请解释进入潜 望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？（请把 证明过程补充完整） 理由：∵AB∥CD（已知），∴ ⁠. ∠2=∠3 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 ∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）， ∴∠1=∠2=∠3=∠4. ∴180°－∠1－∠2=180°－∠3－∠4， 即 ⁠. ∴EF∥GH（ ⁠）. 【尝试探究】（2）如图Q7－14②，改变两平面镜AB，CD之间的 位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC=α，经过两次反射后， ∠1=∠2，∠3=∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反.求α的度数； ∠EFG=∠FGH 内错角相等，两直线平行 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 【拓展应用】（3）如图Q7－14③，两块平面镜AB，BC，且 ∠ABC=β，入射光线EF经过两次反射，得到反射光线GH，光线EF 与GH相交于点O，则∠FOG的度数为 .（用含β的式子 表示） 图Q7－14　　 180－2β 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（2）∵EF∥GH， ∴∠FEG＋∠EGH=180°. ∵∠1＋∠2＋∠FEG＋∠3＋∠4＋∠EGH=180°＋180°=360°. ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°. ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴2（∠2＋∠3）=180°.∴∠2＋∠3=90°. ∵∠ABC＋∠2＋∠3=180°， ∴∠ABC=180°－（∠2＋∠3）=180°－90°=90°，即α=90°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 $