第1章 第3课时 一定是直角三角形吗(内文)-【教与学·学导练】2025-2026学年八年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“勾股定理逆定理”核心内容，涵盖勾股数定义及直角三角形判定方法。通过“温故知新”环节以直角三角形边长、角度比例问题复习旧知，搭建与勾股定理的联系，形成递进式学习支架。 其亮点在于“课本母题-母题变式-创新设计”三级训练体系，结合勾股数判断、网格三角形判定及机器人尺寸、绿化面积等实际问题，培养数学思维（推理意识、运算能力）与数学语言（模型意识、应用意识）。学生能提升知识应用能力，教师可借助系统资源优化教学效率。

数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 第一章 勾股定理 第3课时　一定是直角三角形吗 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 温故知新 1. 若一个直角三角形的三边长为连续的偶数，则其周长为 （　B　） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 B 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 2. 若三角形三个角的度数比为1∶3∶4，则这个三角形一定是 （　B　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 B 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 知识重点 A. 满足 的三个 ⁠，称为勾股数. a2＋b2=c2 正整数 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 对点范例 3. 下列各组数中，不是勾股数的为（　A　） A. 0.3，0.4，0.5　　　B. 9，40，41 C. 5，12，13　　　 D. 7，24，25 A 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 知识重点 B. 如果三角形三条边的长度a，b，c满足 ⁠，那 么这个三角形是直角三角形. a2＋b2=c2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 对点范例 4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（　B　） A. 4，5，6 B. 3，4，5 C. 6，8，11 D. 5，12，23 B 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 课本母题 【例1】下列四组数中，是勾股数的是（　C　） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. 32，42，52 思路点拨：根据勾股数的定义解答即可. C 知识点1：勾股数 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 5. 下列四组数：①6，8，10；②0.6，0.8，1；③，，1；④7， 24，25.其中是勾股数的有（　B　） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 B 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 课本母题 知识点2：用勾股定理的逆定理判断三角形的形状 【例2】（课本P11随堂练习改编）如图1－3－1，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1.图中的△BEF是什么特殊三角形？请说 明理由. 图1－3－1解：△BEF是直角三角形. 理由如下： 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°. 解：△BEF是直角三角形. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 在Rt△DEF中，DF=1，DE=4－AE=2，由勾股定理，得 EF2=5. 在Rt△CBF中，CF=4－DF=3，BC=4，由勾股定理，得 BF2=25. 所以BF2=EF2＋BE2.所以△BEF是直角三角形. 思路点拨：根据勾股定理分别求出BE2，EF2，BF2，再利用 勾股定理的逆定理进行判断即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 6. 如图1－3－2，已知正方形CDEF的边长为13，且AC⊥AF于点 A，AB=3，BC=4，AF=12，试判断△ABC的形状并说明理由. 图1－3－2 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：△ABC是直角三角形. 理由如下： 由题意，可得CF=13. 因为AC⊥AF， 所以∠CAF=90°. 在Rt△ACF中，由勾股定理， 得AC2=CF2－AF2=132－122=25. 因为AB2＋BC2=32＋42=25，AC2=25， 所以AB2＋BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 课本母题 知识点3：结合网格计算判定直角三角形 【例3】（课本P12习题改编）如图1－3－3，每个小方格都是边长 为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么 三角形吗？请说明理由. 　图1－3－3解：△ABC是直角三角形. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 理由如下： 解：△ABC是直角三角形. 由勾股定理，得AB2=12＋22=5， BC2=22＋42=20，AC2=32＋42=25， 因为AB2＋BC2=5＋20=25， 所以AC2=AB2＋BC2. 所以△ABC是直角三角形. 思路点拨：利用勾股定理求得△ABC的三边的平方，再由勾 股定理的逆定理即可作出判断. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 7. 如图1－3－4，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， △ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上.试判断△ABC的形 状，并说明理由. 　图1－3－4解：△ABC是等腰直角三角形. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 理由如下： 解：△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理，得AB2=22＋32=13，BC2=22＋32=13，AC2=12＋ 52=26. 因为AB2＋BC2=13＋13=26，AC2=26， 所以AB2＋BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形. 因为AB2=BC2=13，且AB，BC都是正数， 所以AB=BC. 所以△ABC是等腰直角三角形. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 知识点4：勾股定理逆定理的应用 【例4】某种智能机器人的形状如图1－3－5，按规定，这种机器 人的设计标准中∠A和∠DBC都应为直角，工程师抽检其中某个机 器人的尺寸如图1－3－5，这个机器人符合标准吗？请说明理由. 图1－3－5解：这个机器人符合设计标准. 课本母题 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 理由如下： 在△ABD中，AD=12，AB=9，BD=15， 解：这个机器人符合设计标准. 所以AB2＋AD2=92＋122=225，BD2=152=225. 所以AB2＋AD2=BD2. 所以△ABD是直角三角形，∠A=90°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 在△BDC中，DC=17，BC=8，BD=15， 所以BD2＋BC2=152＋82=289，DC2=172=289. 所以BD2＋BC2=DC2. 所以△BDC是直角三角形，∠DBC=90°. 答：这个机器人符合设计标准. 思路点拨：根据勾股定理的逆定理即可作出判断. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 8. 某新能源汽车充电站的施工设计图纸如图1－3－6，施工图纸上 显示AD=60，AB=80，BC=150，BD=100，AC=170，试判断 ∠DAB，∠ABC都是直角吗？说说你的理由. 　图1－3－6解：∠DAB，∠ABC都是直角. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 理由如下： 在△ABD中，AD=60，AB=80，BD=100， 所以AB2＋AD2=802＋602=10 000，BD2=1002=10 000. 解：∠DAB，∠ABC都是直角. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 所以AB2＋AD2=BD2. 所以△BAD是直角三角形，∠DAB=90°. 在△ABC中，AB=80，BC=150，AC=170， 所以AB2＋BC2=802＋1502=28 900，AC2=1702=28 900. 所以AB2＋BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形，∠ABC=90°. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 创新设计 9. （创新题）能构成为直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称 为勾股数，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作 《九章算术》，其勾股数的公式为：a=（m2－n2），b=mn，c= （m2＋n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数. （1）当m=5，n=3时，求这个三角形的面积； 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：（1）当m=5，n=3时， a=×（52－32）=8，b=5×3=15，c=×（52＋32）=17. 因为a＜b＜c， 所以长度为a，b的边是直角边. 这时三角形的面积为×8×15=60. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）当m=5＋t，n=5－t时，计算三角形的周长（用含t的代数式 表示），并写出符合条件的三角形的周长值. 解：（2）a＋b＋c=（m2－n2）＋mn＋（m2＋n2）=m2＋mn=m （m＋n）. 当m=5＋t，n=5－t时，m＋n=10. 所以a＋b＋c=10（5＋t）=10t＋50. 因为m＞n＞0，m，n是互质的奇数， 所以t=2或t=4. 当t=2时，m=7，n=3. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 所以a＋b＋c=10×2＋50=70； 当t=4时，m=9，n=1. 所以a＋b＋c=10×4＋50=90. 综上所述，符合条件的三角形的周长为70或90. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 10. （创新变式）某市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临 街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图1－3－7，经技术人 员的测量，已知AB=9 m，BC=12 m，CD=17 m，AD=8 m， ∠ABC=90°.若平均每平方米空地的绿化费用为150元，则绿化这 片空地共需花费多少元？ 图1－3－7 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= 9 m，BC=12 m， 根据勾股定理，得 AC2=AB2＋BC2=225. 所以AC=15（m）. 在△ACD中，CD=17 m，AD=8 m， 所以AD2＋AC2=289，CD2=289. 所以AD2＋AC2=CD2. 所以△ACD是直角三角形，∠DAC=90°. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 所以S△ACD=AD∙AC=×8×15= 60（m2）， S△ABC=AB∙BC=×9×12=54（m2）. 所以S四边形ABCD=S△ACD＋S△ABC=60＋54= 114（m2）. 所以150×114=17 100（元）. 答：绿化这片空地共需花费17 100元. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 $