湖北省武汉市武昌区粮道街中学2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟练习

九年级（上）期中数学模拟练习 （时间:120分钟 满分：120分） 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1．一元二次方程x2﹣2x＝3的二次项系数为1，则它的常数项为（　　） A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣3 2．下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．笛卡尔心形线 B．赵爽弦图 C．莱洛三角形 D．科克曲线 3．下列方程中可用直接开平方法求解的是（　　） A．x2＝16 B．4x2﹣4x+3＝0 C．x2﹣3x＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0 4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x+1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 5．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝35°，∠ABD＝30°，则∠APD的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 6．一辆新车购买价为20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．若第三年年末这辆车折旧后价格为11.56万元，则第二、三年的年折旧率为（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 7．已知二次函数y＝x2﹣2x+5m﹣1（m为常数）的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．与m的值有关 8．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若D是弦AB的中点，CD经过圆心O交优弧ACB于点C，且AB＝8m，CD＝8m，则⊙O的半径为（　　） A．5m B．6.5m C．7.5m D．8m 9．点A（﹣2，y1），B（4，y2），C（6，y3）均在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＝y2＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＝y2 10．如图，已知点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝30°，OD⊥AC，垂足为D，BC＝1，则△CBD面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则m+n的值为 　 　 ． 12．若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　 ． 13．已知线段AB＝6cm，将线段AB以点A为旋转中心，顺时针旋转60°得到线段AB'，连接点B、点B'，则△AB'B的面积 　 　 ． 14．在古城特产店购物的顾客，大部分人考虑到便捷性会选择线上下单．已知某店在线上销售的某款平遥牛肉的成本价为100元/包，在销售过程中发现，平遥牛肉的月销售量y（包）与销售单价x（元）之间满足y＝400﹣x．若想要月销售利润最大，则销售单价x应为　 　 元． 15．关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的四个结论： ①对任意实数m，取x1＝2+m及x2＝2﹣m，对应的函数值总相等； ②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足AB≤6，则； ④若M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2，x1+x2＞4，则y1＜y2． 其中正确的结论有　 　 ．（填序号） 16．在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解下列方程： （1）x2﹣5x+2＝0； （2）（7x+3）2＝2（7x+3）； （3）x2+6x＝﹣7； （4）（y+1）（y﹣1）＝2y﹣1． 18．（8分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且 AD＝CD．若∠E＝28°，求∠ADE 的度数． 19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）抛物线与x轴的另一个交点坐标：　 　 ； （2）不等式ax2+bx+c＜0的解是　 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是　 　 ； （4）求出抛物线的解析式及顶点坐标． 20．（8分）如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，点P是AC上一动点，连接PB分别交AD，AC于点E，F． （1）当PA＝AB时，AE与BE有何关系？证明你的结论． （2）当点P在什么位置时，AF＝AE？证明你的结论． 21．（8分）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，⊙P经过A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画⊙P的切线CD； （2）在图2中，画⊙P的弦BE，使点A为弧BE的中点． 22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点M，DQ与BC相交于点M．DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段DE长度的最大值； （3）连接AC，F是AB的中点，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 23．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在BC上任意一点，连接AD． （1）如图1，AC＝6，D为BC中点，，求AD的长； （2）如图2，若AC＝BD，E为AD的中点，猜想CE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，点P为AB边上一动点，连接DP，将线段DP绕点D按顺时针方向旋转90°至DQ，连接AQ、CQ，已知∠ABC＝45°，BC＝8，BD＝2，当△CAQ周长取得最小值时，请直接写出此时△CAQ的面积． 24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+c+2交于A，B两点（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴是直线x＝1． （1）若点（2，﹣1）在该抛物线上，求抛物线y＝x2+bx+c的解析式； （2）当﹣2≤x≤2，且c＝2时，求抛物线y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差； （3）已知M是直线AB上的动点，将点M向下平移2个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B B B C A D D 二．填空题 11．1． 12．且m≠0． 13．9cm2． 14．250． 15．①②③． 16．6或8或9． 三．解答题 17．解：（1）x2﹣5x+2＝0， ∵a＝1，b＝﹣5，c＝2， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0， ∴x， 解得x1，x2； （2）（7x+3）2＝2（7x+3）， （7x+3）2﹣2（7x+3）＝0， （7x+3）（7x+3﹣2）＝0， 7x+3＝0或7x+3﹣2＝0， 解得x1，x2； （3）x2+6x＝﹣7， x2+6x+9＝2， （x+3）2＝2， x+3＝±， 所以x1＝﹣3，x2＝﹣3； （4）（y+1）（y﹣1）＝2y﹣1， y2﹣1＝2y﹣1， y2﹣2y＝0， y（y﹣2）＝0， y＝0或y﹣2＝0， 所以y1＝0，y2＝2． 18．解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE， ∴∠E＝∠C＝28°，∠ADE＝∠B，AD＝AB， 由AD＝AB可得∠B＝∠ADB， ∴∠ADE＝∠ADB， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝28°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝56°， ∴∠ADE＝56°． 19．解：（1）依题意得抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线 与x轴的另一个交点坐标为（3，0）； （2）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（3，0）（﹣1，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解是﹣1＜x＜3； 故答案为：﹣1＜x＜3； （3）∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜1； 故答案为：x＜1； （4）依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为（3，0），（﹣1，0），（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 把三个点的坐标代入其中得， 解之得， ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）． 20．解：（1）AE＝BE； 证明：连接AB， ∵BC为⊙O的直径， ∴AB⊥AC． 又∵AD⊥BC， ∴∠BAD+∠DAC＝∠C+∠DAC＝90° ∴∠BAD＝∠C． ∵PA＝AB， ∴∠ABE＝∠C． ∴∠ABE＝∠BAD． ∴AE＝BE． （2）当弧PC＝弧PA时，AF＝AE． 证明：∵弧PC＝弧PA， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴90°﹣∠PBC＝90°﹣∠ABP． 即∠AEF＝∠DAC， ∴AF＝AE． 21．解：（1）在答图1中，直线CD即为所求． （2）在答图2中，线段BE即为所求． 22．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点， ∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将C（0，3）代入，得：a×（0+1）×（0﹣3）＝3， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设D（m，﹣m2+2m+3），且0＜m＜3，如图1， 在Rt△BOC中，BO＝3，OC＝3，BC3， 设直线BC的解析式为y＝kx+n，将B（3，0），C（0，3）代入， 得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∴G（m，﹣m+3）， ∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵DE⊥BC， ∴∠DEG＝∠BOC＝90°， ∵DG⊥x轴， ∴DG∥y轴， ∴∠DGE＝∠BCO， ∴△DGE∽△BCO， ∴，即， ∴DEm2m， ∴当m时，DE取得最大值，最大值是； （3）存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等． ∵点F是AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴F（1，0）， ∴OF＝1，OC＝3，BC＝4， ∴tan∠CFO3， 如图2，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于H， ①若∠DCE＝∠CFO， ∴tan∠DCE＝tan∠CFO＝3， ∵tan∠DCE， ∴3， ∴GB＝12， ∵BG⊥BC，GH⊥x轴， ∴∠CBG＝∠GHB＝∠BCO＝90°， ∴∠CBO+∠GBH＝∠BGH+∠GBH＝90°， ∴∠CBO＝∠BGH， ∴△CBO∽△BGH， ∴， ∴GH＝9，HB＝9， ∴OH＝OB+BH＝3+9＝12， ∴G（12，9）； 设直线CG的解析式为y＝k1x+b1， ∴， 解得：， ∴直线CG的解析式为yx+3， 联立方程组，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 当x时，y3， ∴D（，）； ②若∠CDE＝∠CFO， 则tan∠CDE＝tan∠CFO＝3， ∵BG⊥BC，DE⊥BC， ∴∠CBG＝∠CED＝90°， ∴GB∥DE， ∴∠CDE＝∠CGB， ∴tan∠CDE＝tan∠CGB3， ∴GBBC3， ∵△CBO∽△BGH， ∴， ∴GHBO＝1，HBOC＝1， ∴OH＝OB+BH＝3+1＝4， ∴G（4，1）； 利用待定系数法得：直线CG的解析式为yx+3， 联立方程组，得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D（，）； 存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的坐标为（，）或（，）． 23．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图1， 则：∠AEC＝∠AEB＝90°， ∵AC＝6，∠ACB＝60°， ∴， ∵， ∴BE＝6， ∴BC＝CE+BE＝9， ∵D为BC中点， ∴， ∴， ∴； （2）AB＝2CE；理由如下： 延长CE至点F，使CE＝EF，连接DF，BF，如图2，则：CF＝2CE， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEC＝∠DEF， ∴△ACE≌△DFE（SAS）， ∴∠CAD＝∠FDE，AC＝DF， ∴AC∥DF， ∴∠FDB＝∠ACD＝60°， ∵AC＝BD， ∴BD＝DF， ∴△BDF为等边三角形，BF＝BD＝AC， ∴∠DBF＝60°＝∠ACB，BF＝BD＝AC， 又∵BC＝BC， ∴△ACB≌△FBC（SAS）， ∴AB＝CF＝2CE； （3）过点D作GD⊥BD，交AB于点G，连接QG，如图3，则∠GDB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠DGB＝45°＝∠B， ∴DG＝DB， 由旋转的性质得：DP＝DQ，∠PDQ＝90°＝∠BDG， ∴∠BDP＝∠QDG， ∴△DGQ≌△DBP（SAS）， ∴BP＝QG，∠QGD＝∠B＝45°， ∴点Q在过G点垂直于AB的直线上运动， 作点A关于QG的对称点A′，则：CQ+AQ＝CQ+A′Q≥A′C， ∴△ACQ的周长＝AC+CQ+AQ≥AC+A′C ∴当A′，C，Q三点共线时，CQ+AQ的值最小，△ACQ的周长最小，如图3， 过点A作AE⊥BC交BC于点E，过点C作CF⊥AB交AB于点F，则：∠AEC＝∠AEB＝90°， 设， ∵∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝8，BD＝2， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称的性质可知：， ∴， ∵QG⊥AB，CF⊥AB， ∴QG∥CF， ∴△A′GQ∽△A′FC， ∴， ∴， ∴， ∴S△ACQ＝S△ACA′﹣S△AQA′ ＝AG•（CF﹣QG） ． 24．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点（2，﹣1），对称轴为直线x＝1， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）当c＝2，b＝﹣2时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1． ∵1＞0， ∴当x＝1时，y有最小值1． 当﹣2≤x≤2时，结合函数图象，当x＝﹣2时，y有最大值10， ∴抛物线y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为10﹣1＝9； （3）﹣1≤m≤0或1≤m≤2；理由如下： 设点N在抛物线上，N（m，m2﹣2m+c），M（m，﹣m+c+2）， 则yM﹣yN＝2，即﹣m+c+2﹣（m2﹣2m+c）＝2， 解得m1＝0，m2＝1． 当x2﹣2x+c＝﹣x+c+2， 整理得x2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2． ∵点A在点B的左侧， ∴点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为2． 结合图象，当线段MN与抛物线有公共点时，点M的横坐标m的取值范围为﹣1≤m≤0或1≤m≤2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/11 21:08:26；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $