精品解析：贵州省铜仁市碧江区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

碧江区2025-2026学年度第一学期期中质量监测卷 八年级数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，选择题必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效. 3.本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟. 4.考试结束后，只上交答题卡，试卷自留. 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解定义，并确保变形正确是解题的关键，根据因式分解的定义判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A．右边为和的形式，不是积，此项错误； B．右边为和的形式，不是积，此项错误；； C．左边为多项式，右边为整式的积，且等式成立，此项错误； D．，此项错误； 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 6 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键，利用平方根的性质 计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ， 故选：D． 3. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方和分式的乘方、负指数幂的运算法则逐项判断即可解题． 【详解】解：A： ，原计算错误； B：，计算正确； C：，原计算错误； D：，原计算错误； 故选：B． 5. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）． 【详解】解：． 故选：C． 6. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，通过提取分母中的负号，将分式简化即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ 变形后为：， 故选：C． 7. 如果，，，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的比较，熟练掌握零指数幂，负指数幂是解题的关键，其中利用零指数法则，利用负指数法则，利用负指数和平方运算，计算每个表达式的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：由题可得：，，， ∵， ∴， 故选：B． 8. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式化简求值，熟练掌握提公因式法则是解题的关键，通过提取公因式，将所求表达式转化为已知条件的形式，直接代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故选：A． 9. 若分式的值是零，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且分母，再求出答案即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ 分子且分母， 由得， ∴ 或， 当时，分母，不符合条件， ∴ ， 故选：D． 10. 若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 缩小到原数的 D. 变为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键，将和都扩大 2 倍后，代入分式并化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：∵和都扩大到原来的 2 倍， ∴ 新分式为 ， ∵ 原分式为 ， ∴ 新分式 ，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 11. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍， 可列出相应的方程：， 故选：A． 12. 设，，满足，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减法，利用已知条件和，将表达式的分子用平方和表示，再通过因式分解简化每个分式，最后求和． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 同理，，， 又 ∵ ， ∴ （注：由条件知 ，同理其他分母也不为零）， 同理，，， ∴ 原式． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 14. 若，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分是解题的关键，将所求代数式通分后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：， ∵，： ∴原式， 故答案为：． 15. 实数在数轴上如图所示，化简：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查代数式化简，熟练掌握绝对值和二次根式的化简是解题的关键，根据数轴得到的取值范围，从而得到，，再进行化简即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，， ∴， 故答案为：1． 16. 观察下列单项式：，，，，请你写出第个单项式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数字变化规律，解答的关键是分析清楚所给的单项式之间的关系．通过观察单项式的分子、分母、符号和指数的变化规律，得出第个单项式． 【详解】解：观察给定的单项式序列： 第1项：，分子为1，分母为3，符号为正，指数为1； 第2项：，分子为2，分母为5，符号为负，指数为2； 第3项：，分子为3，分母为7，符号为正，指数为3； 从以上规律可知，分子，分母为，符号为（因为第一项为正），指数为． 因此，第个单项式为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17-22小题每小题10分，第23、24小题每小题12分，第25小题14分，共98分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键， （1）根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂和开平方的运算法则计算即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简分式：，再选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，先根据分式的混合运算法则把原式进行化简，再代入进行计算即可． 详解】解：原式 ， ∵，，即，. ∴当时， 原式． 19. 设，． （1）求，的值； （2）请运用（1）的结论求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算及乘法公式，熟练掌握实数的运算及乘法公式是解题的关键； （1）根据，可代入进行求解即可； （2）根据（1）及完全平方式可进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，； 小问2详解】 解：∵，， ∴． 20. 已知关于x的分式方程． （1）已知，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求的值． 【答案】（1） （2）、1或3 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． 【小问1详解】 解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ①当时，； ②当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 21. 计算下面各题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则是解题的关键， （1）根据同底数幂的除法和幂的乘方法则，将变形为与已知条件相关的形式，再代入求值即可； （2）先将等式的两边的幂都化为以3为底的形式，根据同底数幂的乘法和乘方法则，求出的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 22. 若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”. （1）若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． （2）若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键， （1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得： ∴． 【小问2详解】 解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： （1）当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． （2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为 （2）当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【小问1详解】 解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． 【小问2详解】 解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 24. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】（1）型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 （2）方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． 【小问2详解】 设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 25. 材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： （1）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； （2）在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； （3）若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． 【小问1详解】 解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； 【小问3详解】 解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 碧江区2025-2026学年度第一学期期中质量监测卷 八年级数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，选择题必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效. 3.本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟. 4.考试结束后，只上交答题卡，试卷自留. 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. 6 C. 8 D. 4 3. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A B. C. D. 5. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 如果，，，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 9. 若分式的值是零，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 缩小到原数的 D. 变为原来的 11. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 设，，满足，，则值为（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 二、填空题（每小题4分，共16分） 13 分解因式：=______． 14. 若，，则的值是_____． 15. 实数在数轴上如图所示，化简：_____． 16. 观察下列单项式：，，，，请你写出第个单项式_____． 三、解答题（本大题共9小题，第17-22小题每小题10分，第23、24小题每小题12分，第25小题14分，共98分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 先化简分式：，再选取一个使原式有意义的数代入求值． 19. 设，． （1）求，的值； （2）请运用（1）的结论求的值． 20. 已知关于x的分式方程． （1）已知，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求的值． 21. 计算下面各题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 22. 若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”. （1）若与是关于10“和谐二次根式”，求的值． （2）若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 23. 形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： （1）当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． （2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 24. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 25. 材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： （1）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； （2）在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； （3）若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $