精品解析：北京市昌平区第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期高一年级期中考试 数学试卷 试卷命题人：王莎莎 试卷审核人：刘晶 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，那么命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则（　　） A. B. C. D. 4. 下列函数既是偶函数，又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数．下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ） A. (－1，5) B. (－1，4) C. (0，4) D. (4，0) 8. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 10. 设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论： ①； ②； ③函数的图象关于原点对称； ④函数的图象关于点对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11. 函数的定义域是__________. 12. 求值：______． 13. 已知函数的两个零点分别为和，则的值为______． 14. 若，则函数的最小值为______，此时______. 15. 已知函数 （Ⅰ）若，则函数的零点是________； （Ⅱ）如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数.在给出的① ；② ；③ 三个数中，为函数的包容数是________．（填出所有正确答案的序号） 三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当时，判断并证明函数的单调性； （3）对任意都有成立，求实数的取值范围. 18. 设函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间； （3）直接写出不等式的解集. 19. 某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：（，k为常数）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用）. （1）求y2的表达式； （2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值. 20. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 21. 设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合. （1）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明） （2）若函数，证明：; （3）记二次函数的全体为集合，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一年级期中考试 数学试卷 试卷命题人：王莎莎 试卷审核人：刘晶 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦恩图和集合间的运算，判断集合中的元素，求出结果. 【详解】根据韦恩图可知，图中阴影部分表示的元素满足且， 所以图中阴影部分表示的集合为； 故选：D. 2. 已知命题：，，那么命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】因为命题为：，， 所以为：，， 故选：C 3. 设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明判断ABD；作差与0比较大小判断C. 【详解】对于ABD，取，则，， ，ABD错误； 对于C，，而，则， ，，因此，C正确. 故选：C 4. 下列函数既是偶函数，又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断AB；根据偶函数的定义及函数的单调性可判断C；根据偶函数定义及二次函数的单调性可判断D. 【详解】对于A. 的定义域为R，但是，则函数为非奇非偶函数，不符合题意. 对于B. 令的定义域为，且， 即为奇函数，不符合题意. 对于C.令的定义域为R，且，函数为偶函数， 当时，，则函数区间上为减函数，不符合题意. 对于D. 令的定义域为R，且， 函数为偶函数，又为开口向下的抛物线且对称轴为， 则函数区间上为增函数，符合题意. 故选：D 5. 已知函数．下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数， 当时，，则，， ，因此在区间内有函数的零点， 当时，，， 当时，，， 所以数的零点在区间内. 故选：B 6. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先利用分式不等式的解法和绝对值的解法解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，则不一定成立，所以“”是“”的不必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ） A. (－1，5) B. (－1，4) C. (0，4) D. (4，0) 【答案】A 【解析】 【分析】令，即可求出定点坐标； 【详解】当，即时，，为常数， 此时，即点P的坐标为(－1，5). 故选：A. 【点睛】本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题. 8. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数的对称轴，列式求实数的取值范围. 【详解】由题意，得函数的图象的对称轴为直线．∵函数在区间上是增函数，∴，解得，∴实数a的取值范围是． 故选:D． 9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 10. 设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论： ①； ②； ③函数的图象关于原点对称； ④函数的图象关于点对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 令，①：根据求解出的值并判断；②：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】令， ①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确； ②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确； 因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的， 又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误④正确， 所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况： （1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称； （2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称. 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义，得到不等式组，求解并正确表示即得. 【详解】函数有意义，等价于， 解得且， 故该函数的定义域为：. 故答案为：. 12. 求值：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幕的运算性质直接求即可． 【详解】 故答案为： 13. 已知函数的两个零点分别为和，则的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果. 【详解】因为函数的两个零点分别为和， 所以和是的两个实根， 所以，， 所以. 故答案为：18. 14. 若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 15. 已知函数 （Ⅰ）若，则函数的零点是________； （Ⅱ）如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数.在给出的① ；② ；③ 三个数中，为函数的包容数是________．（填出所有正确答案的序号） 【答案】 ①. ②. ②③ 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据函数解析式，令，再分类讨论，分别计算可得； （Ⅱ）由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性，求得值域，即可判断． 【详解】解：（Ⅰ）当，，令，即或解得，故函数的零点为 （Ⅱ）由题意可得的值域为的值域的子集， 当时，由时，； 由时，， ，不满足题意； 当时，由时，； 由时，，，，，满足题意； 当时，由时，，； 由时，， ，满足题意． 综上可得函数的包容数是②③． 故答案为：；②③ 【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力． 三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，或，. （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，根据集合的运算，即可求得答案. （2）由可得，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知：或， 当时，， 或， 或， . 【小问2详解】 若，则 当，即时，符合题意； 当时，只需满足，或， 解得：. 综上所述，的取值范围为. 17. 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当时，判断并证明函数的单调性； （3）对任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数是奇函数； 证明：函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数. （2） 函数在上是单调递增函数 证明：任取，且， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上是单调递增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可得结论并进行证明； （2）根据函数单调性的定义即可进行判断和证明； （3）根据函数的奇偶性以及单调性可求出在上的最大值，结合不等式恒成立，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数，且在上单调递增，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值， 又因为对任意都有成立， 所以，即的取值范围为. 18. 设函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间； （3）直接写出不等式的解集. 【答案】（1） （2） 图象如下： WSD    函数的值域为，单调递增区间是，单调递减区间是、. （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象，结合图象可得出函数的值域、增区间和减区间； （3）分、两种情况讨论，结合图象可得出不等式的解集. 【小问1详解】 因为，且，. 即，解得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由可得，由图可得或， 当时，由可得，由图可得. 综上所述，不等式的解集为. 19. 某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：（，k为常数）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用）. （1）求y2的表达式； （2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值. 【答案】（1） （2）隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接运算求解即可； （2）根据题意结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：当x＝0时，则，解得k＝30， 所以，. 【小问2详解】 因为， 当且仅当，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60， 所以隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元. 20. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2） （3） 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意0和是方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）由题意不等式对于任意实数恒成立，然后按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可； （3）不等式化为，按照、、、和分类讨论，解不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，0和是方程的根，且， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由题意知，不等式对于任意实数恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，要使不等式恒成立，则需， 即，解得； 综上，的取值范围为 【小问3详解】 由，则，即. 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式化为，所以， 则不等式的解集为； 当时， ①当时，，不等式化为，所以，其解集为； ②当时，，不等式的解为或， 其解集为或； ③当时，，不等式的解为或， 其解集为或. 综上所述，当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为. 21. 设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合. （1）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明） （2）若函数，证明：; （3）记二次函数的全体为集合，证明：. 【答案】（I）不属于集合，属于集合； （II）证明如下： 因为，不妨令，所以， 所以，显然关于的方程有解：，所以具有性质， 所以； （III）根据题意可知：二次函数不具备性质， 假设存在二次函数具备性质， 所以存在常数对于任意都有成立， 所以存在常数 使成立， 所以存在常数 使成立， 所以，解得，这与假设中矛盾， 所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质， 所以. 【解析】 【分析】（I）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数和是否属于集合； （II）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证明； （III）将问题转化为证明二次函数不具备性质，先假设二次函数具备性质，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明. 【详解】（I）不属于集合，属于集合； （理由如下：设，若，则有，解得，不符题意，所以不具有性质，所以不属于集合； 设，若，则有，所以，所以具有性质，所以属于集合） （II）略 （III）略 【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质，再通过“反证”的思想完成证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $