精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一期中考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 3. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 4. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 或 5. “量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数与表示的不是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. “”是“”的充要条件 C. 若不等式的解集为，则集合的子集个数为4 D. 不等式对一切实数恒成立，则 11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则或 D. 当时，，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则___________． 13. 在中，，点为边上一动点，且点到边的距离分别是，则___________，的最小值为___________ 14. 已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 16. 函数是上的奇函数，且当时，函数满足． （1）求的值； （2）求函数的解析式． 17. 某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值： （2）判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； （3）若函数满足不等式，求出的范围． 19. 已知幂函数在上单调递增． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期中考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据真子集的定义可得. 【详解】在数轴上标记两个集合， 知 ． 故选：C． 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式得出等价条件或，再应用充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】不等式，即， 等价于，解得或， 所以或是“”的充要条件，A选项错误； 是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误； 是“”的一个充分不必要条件，C选项正确； 是“”的既不充分也不必要条件，D选项错误； 故选：C． 3. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式直接求解即可. 【详解】因为函数， 所以． 故选：A 4. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B 5. “量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 6. 函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再应用换元法结合二次函数的值域计算求解. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以其定义域为， 令，则， 则， 所以的值域为． 故选:B． 7. 若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】基本不等式求出的最小值，转化为，解不等式即可， 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为4． 因为不等式有解，则，即， 即，解得或． 故选：D 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数为增函数，列出不等式组求解即可. 【详解】 即且函数在上单调递增， ，解得， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数与表示的不是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义域及对应法则分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以表示的不是同一函数； 对于B，函数和的定义域为，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以表示同一函数； 对于C，要使有意义，则解得，要使函数有意义，则，解得或，两个函数的定义域不相同，所以表示的不是同一函数； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以表示的不是同一函数； 故选:ACD． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. “”是“”的充要条件 C. 若不等式的解集为，则集合的子集个数为4 D. 不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】通过作差法可判断A；解其中不等式，再结合充要条件定义即可判断B，由根与系数的关系求得可判断C，由时，恒成立；可判断D. 【详解】对于A，因为，又，且，则， 所以，即，所以A正确； 对于B，解，解得或， 所以“”不是“”的充要条件，所以B错误； 对于C，因为不等式的解集为， 所以的解为， 由一元二次方程根与系数的关系得，解得， 则， 因此该集合子集个数为，所以C正确； 对于D，当时，恒成立； 当时，则解得． 综上，，所以D错误． 故选：AC． 11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则或 D. 当时，，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系，结合集合中元素的互异性可求得a的值. 【详解】因为集合，且，所以，或. 若，则，即，解得，或. 当时，，所以，违反了集合中元素的互异性； 当时，，所以. 若，则，此时，所以，违反了集合中元素的互异性. 综上所述，. 故答案为：1 13. 在中，，点为边上一动点，且点到边的距离分别是，则___________，的最小值为___________ 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由三角形相似整理得①；由“1”的代换化简利用基本不等式求最值得②. 【详解】过点作于，作于，则， 因为，所以∽， 所以，即，整理得； ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：2；. 14. 已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】∵的定义域为， 对于函数，令，即，即，解得或. 所以函数的定义域为. 令，则. 当时，单调递增，则单调递增； 当时，单调递减，则单调递减. 故的单调递减区间为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，讨论、列不等式求参数范围； （2）法一：根据已知有，讨论集合中不等式的两个端点值与集合的关系列不等式求参数范围；法二：假设，讨论集合是否为空，求出对应的参数范围，再由及集合的补运算，求最终参数范围. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解． 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为命题“”是真命题，所以，则， 法一：所以，或，或， 解得，或，或， 所以实数的取值范围为． 法二：假设， 当，则，满足， 当，则，此时或，解得或， 所以时，或， 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 16. 函数是上的奇函数，且当时，函数满足． （1）求的值； （2）求函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，用替换，得到关于的方程组，由此可求，则可知； （2）根据时有，结合奇偶性可求时的解析式，结合可求的解析式． 【小问1详解】 由时，，用替换可得， 从而得方程组，解得， 所以． 【小问2详解】 当时，，所以，且为奇函数， 所以， 又为定义在上的奇函数，所以， 所以. 17. 某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 （2）当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元， 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值： （2）判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值； （3）若函数满足不等式，求出的范围． 【答案】（1）； （2） 是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为在上是奇函数，则， 即，可得，解得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 19. 已知幂函数在上单调递增． （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数为幂函数求参数值，结合区间单调性确定最终参数值； （2）根据已知有，应用分类讨论求对应解集； （3）由已知在上的值域包含于在上的值域，再结合一次、二次函数的性质求区间值域，再由包含关系列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以； 【小问2详解】 由（1）知，得，即， 当，即时，不等式无解； 当，即时，解不等式，得； 当，即时，解不等式，得． 综上， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 对任意，存在，使得， 即在上的值域包含于在上的值域， 当时，， 又， 当，即时，对任意，， 所以，此时不等式组无解； 当，即时，对任意，， 所以，解得 当，即时，对任意，， 所以，此时不等式组无解； 当，即时，对任意， 所以，此时不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $