精品解析：上海市桃浦中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市桃浦中学2025学年第一学期高三年级 数学学科期中试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义计算. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 2. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由对数有意义的条件即真数大于0解不等式即可得解. 【详解】要使函数有意义，则，即， 所以，函数的定义域为， 故答案为：. 3. 已知向量，且，则_______. 【答案】2 【解析】 【详解】由题意可得解得. 【名师点睛】（1）向量平行：，,. （2）向量垂直：. （3）向量的运算：. 4. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 5. 设，若为偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义代值进行判断即可求出答案． 【详解】解：由题可知，当时，，满足， ∴是偶函数； 当时，不满足， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题． 6. 竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由瞬时变化速度计算公式计算即可得. 【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. 7. 已知点是角终边上的点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义式直接可得解. 【详解】由已知角终边过点， 则， 故答案为：. 8. 已知为等差数列，为其前项和，若，，则_____. 【答案】121 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列方程解出，再代入到等差数列前项和公式计算即可. 【详解】依题意得： ， 解得：， 由等差数列的前项和公式得： . 故答案为： 9. 已知平面向量，，则在方向上的数量投影为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量的运算求出，再有向量的数量投影的定义即可得出答案. 【详解】设，由，可得： ， 则，可得：，所以， 在方向上的数量投影为：. 故答案为： 10. 设，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，则可得，由此即可解出答案. 【详解】由题意知， 所以， 所以. 故答案为：. 11. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 12. 设，若对任意，都有，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知不等式构造函数，，分析得出，再利用二次函数性质得出在和上的符号，结合已知条件得出在相应区间上的符号，最后利用一次函数的性质列不等式组得出的关系，结合求出，从而求解． 【详解】设，， 当时，，但不可能在时恒成立（如）， 不满足对任意，都有，， 时，；时，； 若对任意，都有，则 在时，；在时，， 为一次函数，则， 解得， ，则， ． 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】解出分式不等式后结合充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】由，则，即，解得或， 所以“”不能推出“”；“”能推出“” 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，利用余弦定理，求得，结合角为锐角，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 15. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17~19题每题14分，20~21题每题18分） 17. 求下列不等式的解集： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将看成一个整体，由即可解出答案； （2）将看成一个整体，利用十字相乘因式分解可得，再利用的单调性解出答案. 【小问1详解】 由得，解得. 所以原不等式的解集是. 【小问2详解】 原不等式可化为， 因为，所以，解得. 所以原不等式的解集是. 18. 已知函数. （1）求函数在区间上的值域； （2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用及二倍角公式和辅助角公式将函数化简整理为，再根据正弦函数的图像与性质求出函数的值域； （2）由已知得由，得，且或，结合方程在区间上至少有两个不同的解，可得，解不等式可得解. 【详解】（1）， 令，， 由的图像知，，即，， 所以函数的值域为. （2） ，，即 ，，且或 由于方程在区间上至少有两个不同的解， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法： （1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值. 19. 某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； （2）年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【答案】（1），其中 （2）100件 【解析】 【分析】（1）根据题意分别写出当与时的函数解析式即可； （2）利用二次函数求最值与基本不等式求最值分析即可得出. 【小问1详解】 当时， ； 当时， ， 所以，其中. 【小问2详解】 当时， 当时，取得最大值900万元； 当时， ， 当且仅当，即时， 取得最大值950万元， 所以当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950万元 20. 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调增区间为，单调减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，分别令和，进而求得函数的单调区间； （3）根据题意，转化为的最大值，由（2）中在得到单调性，求得的最大值为，得到对任意的恒成立，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为， 且，所以，， 即切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知：且定义域为， 令，可得，函数在区间单调递增； 令，可得，函数在区间上单调递减， 所以，函数的单调增区间为，单调减区间为. 【小问3详解】 因为对任意的，总存在，使得不等式成立， 即， 由（2）知，函数在上是增函数，可得的最大值为， 所以对任意的恒成立， 又因为函数为一次函数，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 21. 已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质. （1）当，判断、是否具有性质，不需要说明理由； （2）当，，，若具有性质，求实数的取值范围； （3）当，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值. 【答案】（1）具有性质，不具有性质 （2） （3）为正奇数 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性结合函数具有性质的新定义逐一判断即可求解； （2）由题意可知：，为增函数，利用函数单调性得到在上单调递增，可得，进而可得的取值范围； （3）分、两种情况，由题意，，又因为函数为常值函数，故，再令、由此即可求解. 【小问1详解】 为减函数，具有性质 为增函数，，不具有性质 【小问2详解】 依题意，对任意，恒成立， 在上是增函数， 因为的增区间为，，所以， 所以，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 若，满足恒成立， 但不是常值函数，所以 为整数集，具有性质的函数均为常值函数， 当，恒成立，的周期为2， 设，， 由题意，，则， 当时，，， 当时，，， 所以为正奇数时符合题意； 当为正偶数时，不合题意，例如函数，不符合题意； 综上，m为正奇数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市桃浦中学2025学年第一学期高三年级 数学学科期中试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____. 2. 函数的定义域为_____. 3. 已知向量，且，则_______. 4. 若，则_____. 5. 设，若为偶函数，则______． 6. 竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为_____. 7. 已知点是角终边上的点，则_____. 8. 已知为等差数列，为其前项和，若，，则_____. 9. 已知平面向量，，则在方向上的数量投影为_____. 10. 设，若，则_____. 11. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 12. 设，若对任意，都有，则_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17~19题每题14分，20~21题每题18分） 17. 求下列不等式的解集： （1）； （2）. 18. 已知函数. （1）求函数在区间上的值域； （2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围. 19. 某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； （2）年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 20. 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 21. 已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质. （1）当，判断、是否具有性质，不需要说明理由； （2）当，，，若具有性质，求实数的取值范围； （3）当，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $