精品解析：北师大版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考试题

九年级上学期第一学月数学学科练习试卷 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列方程即可求解； 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解题的关键． 2. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解． 【详解】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 3. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据斜中半定理可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴ ∵点M，N分别是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D 【点睛】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、斜中半定理、勾股定理等．熟记相关结论是解题关键． 4. 如图，在矩形中，O是对角线的交点，于点E，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，求得，再由勾股定理即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 5. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据二次函数的图象与x轴有交点时，方程有解，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的图象与x轴有一个交点， 即方程的一个解x的范围是， 故选C． 6. 下列四个命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②有一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；④一组对角互补的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和矩形的判定方法．熟练掌握平行四边形的判定和矩形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定进行判断即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故原命题是假命题； ②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题是假命题； ③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题是真命题； ④一组对角互补的平行四边形是矩形，故原命题是真命题； ∴真命题有2个， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个 【答案】D 【解析】 【分析】由直线不经过第一象限可得，分时和时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：直线不经过第一象限， ， 当时， ， 关于的方程的实数根的个数为2个， 当时，方程为，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个， 综上所述，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为1或2个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一元二次方程根的个数与判别式的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 8. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，垂直于的延长线于，连接，则的长为（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用利用正方形的性质得到一对角为直角，，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用得到,利用全等三角形的对应边相等得到，，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 根据勾股定理得：， 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9. 顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，设点，，，分别是四边形各边的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴ ∴原四边形一定是对角线互相垂直的四边形． 故选：D． 10. 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点M，N分别是的中点， ，，，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点C关于直线的对称点M，连接，， 则， 当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先把移项再进行因式分解，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， ， 或， ， 故答案为：． 12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝16cm．BD＝12cm，则菱形边AB上的高，DH的长是 _____cm． 【答案】9.6## 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出AB的长，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16cm，BD=12cm， ∴AC⊥BD，， 在Rt△AOB中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故答案为：9.6． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 14. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________． 【答案】36 【解析】 【分析】分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑．①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；②当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△＝144﹣4k＝0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解． 【详解】①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，解得：x1＝3，x2＝9． ∵3+3＝6＜9，∴3不能为等腰三角形的腰； ②当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝36，此时x1＝x26． ∵3、6、6可以围成等腰三角形，∴k＝36． 故答案为36． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，E为中点，连接，过点D作交的延长线于点F，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可得，可证，从而可得，再根据勾股定理可得的长． 【详解】解：正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 是中点， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，证明是本题的关键． 三、解答题（共75分） 16 解方程： （1）（配方法解）． （2）（公式法解）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是熟练掌握因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程的步骤． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问3详解】 解： 或 ； 【小问4详解】 解： 或 ． 17. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，根据，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得； 【小问2详解】 ，， ， ， 而， ，， ，即， 解得，， 而， ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了判别式的值． 18. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 【答案】（1）见解析 （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案． 【小问1详解】 证明： 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根. 【小问2详解】 解：设方程的另外一个根为，则 解得：， 故的值为，方程的另一个根为． 19. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【答案】（1）证明过程见详解 （2）这个等腰三角形的周长是 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质， （1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）根据一元二次方程根的情况，分类讨论，当为腰时，，解得，根据解一元二次方程的方法得到两根，再结合等腰三角形的性质进行分析；当为腰时，，同理解得，解一元二次方程得两根，再结合等腰三角形的性质进行分析即可求解． 【小问1详解】 证明：关于的方程中，， ∴ ∵， ∴无论取何值，此方程总有实数根； 【小问2详解】 解：是关于的方程的两根， 当是等腰的底边，是腰时，， ∴， 解得，， ∴关于的方程为，即， 解得，， 此时，，不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去； 当是等腰的腰，是腰，是底边时，， ∴是关于的方程的一个根， ∴， 解得，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴等腰的边长分别为，能构成等腰三角形； ∴这个等腰三角形的周长是． 20. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． （1）与有什么数量关系，并说明理由； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说出理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）当时，四边形是菱形， 理由见解析 【解析】 【分析】（1）由得出，再根据已知条件即可证明． （2）当时，四边形是菱形．先证明四边形是平行四边形，再证明即可． 【小问1详解】 解： ，理由如下： 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：当时，四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）分别用含t的代数式表示与； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或2秒 （3）存在，秒，使得五边形的面积等于 【解析】 【分析】（1）依据点和点运动的速度和时间可求得、的长，然后依据可求得的长； （2）中，依据勾股定理可得到关于的方程，从而可求得的值； （3）先求得矩形的面积，然后由五边形的面积可求得的面积，然后依据的面积列出关于的方程，从而可求得的值． 本题主要考查的是一元二次方程的应用，四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程是解题的关键． 【小问1详解】 解： 从点开始沿边向终点以的速度移动， ． ， ． 点从点开始沿边向终点以的速度移动， ． 【小问2详解】 解：在中，依据勾股定理可知：， 即：， 解得：，， 当或2秒时，的长度等于． 【小问3详解】 解：存在秒，使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于， 则的面积为， ． 解得：（不合题意舍去），， 即当秒时，使得五边形的面积等于． 22. 如图，在中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，则在点E的运动过程中：①当当　　时，四边形是矩形；②当　　时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证，得，再由，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得，再求出，则；②由菱形的性质得，再证是等边三角形，即可得出． 【小问1详解】 证明：， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，即当时，四边形是矩形； ②． 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ，即当时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． 23. 如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）． （1）如图①，当时，，，之间满足的数量关系是______________； （2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形， 其他条件不变， 当时，（1）中的结论变为_____________________，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与直线交于点，与直线相交与点，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）当点落在线段，点落在线段上时，； 当点落在线段，点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段的延长线上时，． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，从而得到，即可得到； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质，即可得是等边三角形，利用可证，再由全等三角形的对应边相等可得，由，即可得出； （3）①当点落在线段，点落在线段上时，同理可证，那么有，从而得到； ②当点落在线段，点落在线段的延长线上时，，同理可证，那么有，从而得到； ③当点落在线段的延长线上，点落在线段的延长线上时，，同理可证，那么有，从而得到； ④当点落在线段延长线时，点落在线段上时，同理可证，那么有，从而得到； ⑤当点落在线段的延长线，点落在线段的延长线上时，，同理可证，那么有，从而得到． 【小问1详解】 解：正方形的对角线，交于点， ， 在和中 故答案为：． 【小问2详解】 解：结论为，证明如下： 如图：取的中点，连接 四边形为菱形， ，， 是等边三角形 ， 在和中 故答案为：． 【小问3详解】 解：①当点落在线段，点落在线段上时，如图所示 由（2）可知， ②当点落在线段，点落在线段的延长线上时，如图所示 取线段中点，同理可证，那么有， 为线段的中点 ③当点落在线段的延长线上，点落在线段的延长线上时，如图所示 取线段的中点，同理可证，那么有， 为线段的中点 ④当点落在线段延长线时，点落在线段上时，如图所示 取线段的中点，同理可证，那么有， 为线段的中点 ⑤当点落在线段的延长线，点落在线段的延长线上时，如图所示 取线段的中点，同理可证，那么有， 为线段的中点 综上，当点落在线段，点落在线段上时，； 当点落在线段，点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段的延长线上时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期第一学月数学学科练习试卷 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 如图，在矩形中，O是对角线的交点，于点E，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A. B. C. D. 6. 下列四个命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②有一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；④一组对角互补的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个 8. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，垂直于的延长线于，连接，则的长为（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 20 9. 顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 10. 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是_________________． 12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝16cm．BD＝12cm，则菱形边AB上的高，DH的长是 _____cm． 13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 14. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________． 15. 如图，在正方形中，E为中点，连接，过点D作交的延长线于点F，连接．若，则的长为______． 三、解答题（共75分） 16 解方程： （1）（配方法解）． （2）（公式法解）． （3）． （4）． 17. 关于一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求的值． 18. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 19. 已知关于方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 20. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． （1）与有什么数量关系，并说明理由； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说出理由． 21. 在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）分别用含t的代数式表示与； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在中，点是中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，则在点E的运动过程中：①当当　　时，四边形是矩形；②当　　时，四边形是菱形． 23. 如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）． （1）如图①，当时，，，之间满足的数量关系是______________； （2）如图②，将图①中正方形改为的菱形， 其他条件不变， 当时，（1）中的结论变为_____________________，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与直线交于点，与直线相交与点，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$