第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件聚焦第13章“三角形中的边角关系、命题与证明”，系统梳理了三角形内角和、外角性质、三边关系、命题与证明等核心知识，通过典型例题将概念、性质与应用串联，构建从基础概念到综合推理的知识网络。 其亮点在于融入数学核心素养设计，如第21题命题组合与证明培养推理意识，第22题动点问题发展几何直观，第23题“友爱三角形”新定义题激发创新意识。练习分层设计，基础题巩固概念，综合题提升能力，助力学生夯实知识，教师精准把握学情，提升复习针对性。

第13章　三角形中的边角关系、命题与证明 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列命题为真命题的是（　C　） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 三角形的内角和等于180° D. 三角形的一个外角等于它两个内角的和 2. 下列每组中的三条线段能组成三角形的是（　A　） A. 5，5，5 B. 5，5，10 C. 5，6，12 D. 3，4，7 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3. 如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4，6，8，且相邻两根木条的夹角均可以调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　B　） A. 7 B. 10 C. 11 D. 14 第3题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4. 若△ABC的三个内角的度数比为2∶5∶3，则△ABC的形状是（　C　） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5. 如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的长度差为（　C　） A. 2cm B. 3cm C. 6cm D. 12cm 第5题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6. 一天，小明和爸爸看见了一个如图所示的人字架.爸爸说：“我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮小明计算一下，正确的答案是（　C　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第6题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠FBC＝∠D＝90°，∠F＝30°，∠E＝45°，则∠CBE的度数为（　C　） A. 90° B. 100° C. 105° D. 110° 第7题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（　A　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 第8题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9. 如图，△ABC的三条角平分线交于点F，D，E分别为AB，AC上的点，DE⊥AF，垂足为F，下列结论一定正确的是（　B　） A. ∠DFB＝∠DAF B. ∠DFB＝∠BCF C. ∠DFB＝∠DBF D. ∠DFB＝∠CFE 第9题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿DE所在直线折叠，使点A落在点F处.若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（　C　） A. α＋β B. α＋2β C. 2α＋β D. 90°＋ 第10题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. “三角形的外角大于该三角形的任一内角”是 　假　（填“真”或“假”）命题. 12. 如图，在△ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝ 　45　°. 假　 45　 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上.已知DE∥BC， ∠A＝50°，∠ADE＝55°，∠EBC＝25°，则∠BEC的度数是 　80°　. 第13题 80°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14. 如图，在△ABC中，∠B＜∠C，E为AD上一点（不与点A，D重合），EF⊥BC于点F. 若∠B＝46°，∠DEF＝14°. 第14题 （1） ∠BAD的度数为 　30°　； （2） 若AD平分∠BAC，则∠C的度数为 　74°　. 30°　 74°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图所示为7×9的网格，每一个小网格均为正方形，已知△ABC. （1） 画出△ABC中边BC上的中线AD； （2） 画出△ABC中边AB上的高CE. 解：如图，AD，CE即为所求 第15题答案 第15题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16. 已知命题“如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜”. （1） 写出此命题的条件和结论； 解：（1） 此命题的条件为a＝b，结论为｜a｜＝｜b｜ （2） 写出此命题的逆命题； 解：（2） 此命题的逆命题为如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b （3） 判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明. 解：（3） 此命题的逆命题是假命题，反例不唯一，如当a＝2，b＝ －2时，｜a｜＝｜b｜，而a≠b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 四、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，点E在AC上，点F在AB上，BE与CF交于点O，且∠C＝2∠B，∠BFC比∠BEC大20°. （1） 求∠C的度数； 解：（1） ∵ ∠BFC＝∠A＋∠C，∠BEC＝∠A＋∠B，∠BFC－∠BEC＝20°，∴ ∠A＋∠C－（∠A＋∠B）＝20°.∴ ∠C－∠B＝20°.∵ ∠C＝2∠B，∴ 2∠B－∠B＝20°. ∴ ∠B＝20°.∴ ∠C＝40° 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 若∠A＝70°，求∠BEC的度数. 解：（2） ∵ ∠A＝70°，∴ ∠BEC＝∠A＋∠B＝70°＋20°＝90° 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E. 若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数. 第18题 解：∵ AE⊥CD，垂足为F，∴ ∠AFC＝∠EFC＝90°.∵ CD平分∠ACB，∴ ∠ACF＝∠ECF. ∵ ∠AFC＋∠EAC＋∠ACF＝180°，∠EFC＋∠CEA＋∠ECF＝180°，∴ ∠EAC＝∠CEA. ∵ ∠CEA＝∠B＋∠BAE＝37°＋33°＝70°，∴ ∠EAC＝70° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 五、 （本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°. （1） 求∠AFB的度数； 解：（1） ∵ ∠AEB＝∠C＋∠CAE，∠C＝42°，∠CAE＝18°，∴ ∠AEB＝60°. ∵ ∠CBD＝27°，∴ ∠AFB＝∠CBD＋∠AEB＝87° 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数. 解：（2） ∵ ∠AFB＝87°，∴ ∠BFE＝180°－87°＝93°.∵ ∠BAF＝2∠ABF，∠BFE＝∠BAF＋∠ABF＝93°，∴ 3∠ABF＝93°. ∴ ∠ABF＝31°.∴ ∠BAF＝62° 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20. 已知a，b，c是△ABC的三边长. （1） 化简｜a－b＋c｜＋｜a－b－c｜； 解：（1） ∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ a＋c＞b，b＋c＞a. ∴ a－b＋c＞0，a－b－c＜0.∴ ｜a－b＋c｜＋｜a－b－c｜＝（a－b＋c）－（a－b－c）＝a－b＋c－a＋b＋c＝2c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 若a和b满足方程组 且c为偶数，求这个三角形的周长. 解：（2） 解方程组 得 根据三角形的三边关系得5－2＜c＜2＋5，即3＜c＜7.∵ c为偶数，∴ c＝4或6.∴ 这个三角形的周长为2＋5＋4＝11或2＋5＋6＝13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 六、 （本题满分12分） 21. 如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点.有下列三个条件：① DE∥BC；② DF∥AC；③ ∠1＝∠C. （1） 若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论组成命题，请写出所有可以组成的命题； 解：（1） 可以组成三个命题：① 如果DE∥BC，DF∥AC，那么∠1＝∠C；② 如果DE∥BC，∠1＝∠C，那么DF∥AC；③ 如果DF∥AC，∠1＝∠C，那么DE∥BC 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 判断所写命题是否是真命题，并选择其中的一个真命题进行证明. 解：（2） 所写命题都是真命题　选择不唯一，如选命题①　∵ DE∥BC，∴ ∠C＋∠DEC＝180°. 又∵ DF∥AC，∴ ∠1＋∠DEC＝180°.∴ ∠1＝∠C 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 七、 （本题满分12分） 22. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是边AC，BC上的点，P是直线AB上一动点，令∠AEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝α. 第22题 （1） ① 若α＝60°，则∠1＋∠2＝ 　150°　； 150°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ② 若点P在线段AB上运动，猜想图①中∠1，∠2与α之间的关系，并说明理由. 解：（1） ② ∠1＋∠2＝90°＋α　理由：在图①中连接CP. ∵ ∠1＝∠ECP＋∠EPC，∠2＝∠FCP＋∠FPC，∴ ∠1＋∠2＝∠ECP＋∠EPC＋∠FCP＋∠FPC＝（∠ECP＋∠FCP）＋（∠EPC＋∠FPC）＝∠ECF＋∠EPF＝90°＋α. 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 若点P在线段AB的延长线上运动（CE＜CF），有如图②③④所示的三种情况，猜想∠1，∠2与α之间的关系（任选两种，直接给出结论）. 解：（2） 答案不唯一，如图②：∠1－∠2＝90°＋α；图③：当α＝0°时，∠1－∠2＝90° 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 八、 （本题满分14分） 23. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 ，那么我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”. （1） 如图①，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°. ① 求∠A，∠B的度数. 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解：（1） ① ∵ △ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∴ ∠A＝2∠B. ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠A＋∠B＝180°－90°＝90°，即2∠B＋∠B＝90°，解得∠B＝30°.∴ ∠A＝60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ② 若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ 解：② △ACD，△BCD都是“友爱三角形”　∵ CD是△ABC中AB边上的高，∴ ∠ADC＝∠BDC＝90°.∵ ∠A＝60°，∠B＝30°， ∴ 易得∠ACD＝30°，∠BCD＝60°.在△ACD中，∠A＝60°，∠ACD＝30°，∴ ∠ACD＝ ∠A. ∴ △ACD是“友爱三角形”.在△BCD中，∠BCD＝60°，∠B＝30°， ∴ ∠B＝ ∠BCD. ∴ △BCD是“友爱三角形” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （2） 如图②，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是AB边上的一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数. 解：（2） 33°或38° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解析：∵ ∠ACB＝70°，∠A＝66°，∴ ∠B＝180°－∠ACB－∠A＝44°.∴ ∠ADC＞44°.∵ D是AB边上的一点（不与点A，B重合），∴ ∠ACD＜70°.∵ △ACD是“友爱三角形”，∴ ∠ACD＝ ∠A或∠ACD＝ ∠ADC. 当∠ACD＝ ∠A时，∠ACD＝ ∠A＝33°；当∠ACD＝ ∠ADC，即∠ADC＝2∠ACD时，∠A＋∠ACD＋∠ADC＝∠A＋3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝114°.∴ ∠ACD＝38°.综上所述，∠ACD的度数为33°或38°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $