专题10 三角形有关角的九大模型归类（专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题10 三角形有关角的九大模型归类 目录 A题型建模・专项突破 题型一、双垂直模型 1 题型二、A字模型 4 题型三、双内角平分线模型 6 题型四、内外角平分线模型 13 题型五、双外角平分线模型 18 题型六、8字模型 22 题型七、燕尾模型 31 题型八、折角模型 35 题型九、“高分”模型（角平分线和高相结合模型） 41 B综合攻坚・能力跃升 45 题型一、双垂直模型 1．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 2．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 3．（24-25八年级上·广东肇庆）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 题型二、A字模型 4．如图，中，，直线交于点D，交 于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 5．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．    (1) ______， ______． (2)当t为何值时，的面积为． (3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；6 (2)当t为1或2时，的面积为 (3)存在；当，使是以为底边的等腰三角形 【分析】（1）根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可； （2）过点Q作于点H，，，，根据直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； （3）根据是以为底边的等腰三角形，得，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴，， ∵， 即， 解得：，负值舍去， ∴， 故答案为：3；6． （2）解：过点Q作于点H，如图所示：   ，，则， 在中，， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：，，均符合题意， 答：当t为1或2时，的面积为． （3）解：存在，理由如下： ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， 解得：，符合题意， 答：当，使是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型三、双内角平分线模型 7．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（    ） A．118° B．119° C．120° D．121° 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理得∠ABC＋∠ACB＝120°，由角平分线的性质得∠CBE＋∠BCD＝60°，再利用三角形的内角和定理得结果． 【详解】解：∵∠A＝60°， ∴∠ABC＋∠ACB＝120°， ∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F， ∴∠CBE＝∠ABC，∠BCD＝∠BCA， ∴∠CBE＋∠BCD＝（∠ABC＋∠BCA）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案． 8．（20-21八年级上·河北邢台·）在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的度数可以求出与的和，由角平分线的性质可以得出，，即可得出与的和，即可得出的度数． 【详解】 ∵， ∴+=110°， ∵为与的平分线， ∴，， ∴+=110÷2=55°， ∴=180°－55°=125°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键． 9．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 10．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【答案】A 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC， ∴∠ECD=（∠A+∠ABC）． 又∵∠ECD=∠E+∠EBC， ∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠ABC， ∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC）， ∴∠E=∠A=18°， ∴∠A=36°． 故选A． 11．在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，∠BOC=115°，则∠A的度数是 ． 【答案】50°/50度 【分析】根据三角形内角和定理易得∠OBC+∠OCB=65°，利用角平分线定义可得∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=130°，进而利用三角形内角和定理可得∠A度数． 【详解】解：∵∠BOC=115°， ∴∠OBC+∠OCB=65°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=130°， ∴∠BAC=50°． 12．（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 【答案】(1)13cm (2)a、112.5°；b、90°＋x° 【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm． （2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC． 【详解】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm ∴1＜BC＜7 ∴BC=6 cm ∴三角形的周长为： C△ABC=AB+AC+BC =4+3+6 =13cm （2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×135° =67.5° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−67.5° =112.5° b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×(180°− x°) =90°−x° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−(90°−x°) =90°＋x° 【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． 13．如图，四边形中，和的平分线交于点． （1）如果，，求的度数； （2）请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）120°；（2） 【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可； （2）方法同（1） 【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°， ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ， ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°； （2） 证明：在四边形ABCD中， ∴ ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ∴ 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角． 14．（20-21八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知、的平分线相交于点，过点且．    （1）若，，求的度数； （2）若，，求、的度数． 【答案】（1）125°  （2）60°；40° 【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可； （2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解； 【详解】解：（1）∵和的平分线与相交于点， ∴，， 又，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵和的平分线与相交于点， ∴，． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用． 题型四、内外角平分线模型 15．（20-21八年级上·河南商丘·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝ 【答案】40° 【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠ACO=∠ACB， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=∠ACE， ∵∠ACB+∠ACE=180°， ∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°， ∵∠BOC＝130°， ∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键． 16．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则的度数是 ． 【答案】80° 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，再代入数据计算即可得解． 【详解】在中，， 在中，， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定，三角形外角的定义与性质以及角平分线的定义的知识，掌握三角形内角和定理是解答本题的关键． 17．∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ． 【答案】 【分析】据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1， ∴∠A1=∠A， ∵∠A=， ∴∠A1=， 同理可得：∠An=， ∴∠A2021=， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 18．如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 19．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数； （2）若∠A=a，求∠E； （3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论； （2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α； （3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC， ∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC， ∵∠ACG=∠A+∠ABC， ∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC， ∵∠DCG=∠D+∠DBC， ∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC， ∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC， ∴∠D=∠A=35°； （2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF， ∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF， ∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°， ∴∠DBE=90°， ∵∠D=∠A，∠A=α， ∴∠D=α， ∵∠DBE=90°， ∴∠E=90°-α； （3）如图， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG， ∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC， ∴∠DAM=∠MAC， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β， ∴∠ADB=∠ACB=β． 故答案为：β． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 题型五、双外角平分线模型 20．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案． 【详解】解：如图： ， 由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m， 由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m， 由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得 ∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m， 由三角形的内角和，得 ∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键． 21．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）设． 由的内角和为，得．① 由的内角和为，得．② 由②得．③ 把③代入①，得， 即， 即 （2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴ 由三角形内角和定理得，， =180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]， =180°-（∠A+180°）， =90°-∠A； （3）如图： ∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4， 在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3 ∴∠1+∠3=180°-∠A① 在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1）， 即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②， 把①代入②得∠D=∠A． 【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题． 22．如图，中，分别延长的边到D、E，与的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： (1)若，则 °； (2)若，则 °； (3)若，则 °； (4)请你用数学表达式归纳与的关系 ． 【答案】(1)60； (2)70； (3)40； (4) 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）根据三角形内角和定理可得，从而得到，再由角平分线的定义，可得，即可求解； （2）方法同上； （3）方法同上； （4）方法同上． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵分别平分与， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：∵， ∴， ∴， ∵分别平分与， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：∵， ∴， ∴， ∵分别平分与， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （4）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵分别平分与， ∴， ∴， ∴． 题型六、8字模型 23．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 24．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 25．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可． 【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∴∠2+∠3=120°， 即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ∵∠B+∠C=120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起． 26．（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 27．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 【答案】900° 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 28．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 29．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2），过程见解析；；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 题型七、燕尾模型 30．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 31．如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 【答案】D 【详解】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°， ∴∠ABE=90°-50°=40°， ∵CF为△ABC的高， ∴∠BFC=90°， ∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°． 故选D． 32．如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理的应用，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 当时，，分两种情况考虑，根据翻折可得或，再根据三角形内角和定理，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知，， 当点在上方时，如图所示，    ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴． 当点在下方时，如图所示， ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴．   故答案为：；或． 33．如图所示，已知四边形，求证． 【答案】见解析 【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理． 题型八、折角模型 34．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 35．（24-25八年级上·广东江门）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 36．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 37．如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【详解】解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 38．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 39．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ∵，， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ③设，， 则，， 则，， 解得， 所以， 即的度数为． 【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 题型九、“高分”模型（角平分线和高相结合模型） 40.如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，根据高线的定义得出，，根据角平分线的定义得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高，且，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 41．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ． 故答案为： 42．如图，是的高，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算. 由高的定义及直角三角形两锐角互余求出，再由角平分线定义，结合三角形内角和求解即可得到答案． 【详解】解：是的高， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 43．（24-25八年级上·福建莆田）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 44．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，用到的知识点是三角形的中线、角平分线、高的定义和面积公式， （1）根据三角形中线的性质即可得出答案； （2）根据三角形角平分线的性质即可得出答案； （3）根据三角形高的定义与性质即可得出答案； （4）根据三角形的面积公式及三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 故答案为：，； （2）解：是中的角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：是中边的高， ， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是的中线， ， 故答案为：，． 43．（1）如图①在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，AE与BC交于点F．已知∠B＝50°，∠BAD＝15°，求∠AFC的度数． （2）如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由． （3）如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由． 【答案】（1）80°；（2）∠1+∠2＝2∠A，见解析；（3）∠1﹣∠2＝2∠A 【分析】（1）根据折叠的性质可知∠EAD＝∠BAD＝15°，再根据三角形的外角的性质即可求出∠AFC的度数． （2）连接AA′，根据折叠的性质到底∠DA′E＝∠DAE，再根据三角形的外角的性质即可证明∠1、∠2与∠A之间的数量关系； （3）根据折叠的性质到底∠A′＝∠A，再根据三角形的外角的性质即可证明∠1、∠2与∠A之间的数量关系． 【详解】（1）由折叠的性质可知，∠EAD＝∠BAD＝15°， ∴∠BAF＝30°， ∴∠AFC＝∠BAF+∠B＝80°； （2）∠1+∠2＝2∠A； 理由如下：连接AA′， 由折叠的性质可知，∠DA′E＝∠DAE， 由三角形的外角的性质可知，∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A， ∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A＝2∠DAE； （3）∠1﹣∠2＝2∠A． 理由如下：由折叠的性质可知，∠A′＝∠A， ∠1＝∠3+∠A，∠3＝∠2+∠A′， ∴∠1＝∠2+∠A+∠A′， ∴∠1﹣∠2＝2∠A． ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，找出折叠后相等的边和相等的角，三角形外角的性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角之和． 1．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 3．如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，先证明，，，进一步利用三角形的内角和定理即可求解. 【详解】解：∵的三条角平分线的交点为点D， ∴，，， ∵， ∴； 故选：B 19．如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形的高等，弄清楚各角之间的数量关系是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形内角和得出，即可得出答案． 【详解】解：在中，． ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，在中，，点O是、角平分线的交点，点P是、角平分线的交点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，设，，得到，即可求出，可得的度数，然后根据三角形的内角和解决问题． 【详解】解：∵点P是、角平分线的交点， 设， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 故答案为：. 5．如图，在中，是高，是角平分线，，． （）求、和的度数． （）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________． 当，时，则__________． 当，时，则__________． 当，时，则__________． （）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论． 【答案】（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数； （2）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，则前三问利用即可得出答案，第4问利用即可得出答案； （3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴ ． ∵平分， ∴． ∵是高， ， ， ， ． （2）当，时， ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是高， ， ， ； 当，时， ∵，， ∴ ． ∵平分， ∴． ∵是高， ， ， ； 当，时， ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是高， ， ， ； 当，时， ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是高， ， ， ． （3）当 时，即时， ∵，， ∴ ． ∵平分， ∴． ∵是高， ， ， ； 当 时，即时， ∵，， ∴ ． ∵平分， ∴． ∵是高， ， ， ； 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键． 6．如图，，将纸片的一角折叠，使点落在外， 若，求的度数． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，再根据折叠的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在中， 由折叠可知，   所以 所以 【点睛】本题考查了折叠三角形的问题，掌握三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角的性质是解题的关键． 7．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)1，0 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，熟练掌握三角形的三线的定义和性质，是解题的关键： （1）根据中线的定义，以及三角形的中线平分面积，进行求解即可； （2）根据角平分线平分角，高线的定义，以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴，， ∴与的周长差为； 与的面积差为0； （2）∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，为线段的中点． (1)求证：（表示三角形的面积，下同）； (2)点从原点出发以每秒2个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，若，求的取值范围； (3)平移线段到线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解（，分别为点的横坐标与纵坐标），求． 【答案】(1)详见解析 (2)或 (3)3 【分析】本题考查了三角形面积公式、平移的性质、一元一次不等式的应用、二元一次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，设点到直线的距离为，分别表示出，，判断即可得解； （2）设，由（1）得，求出，由题意得，再表示出，结合题意建立不等式求解即可； （3）设，，由平移的性质求出，，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵为线段的中点， ∴， 设点到直线的距离为，则， ∴； （2）解：由点，得，， ∴ 设，由（1）得， ∴， 解得，， ∴ 由题意得， ∴或， ∴或， 解得或， ∴的取值范围为或；（写也可以） （3）解：点，的坐标分别是方程，的一组解， ∴可设，， ∵线段由线段平移得到， ∴， 解得 ∴，， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角形有关角的九大模型归类 目录 A题型建模・专项突破 题型一、双垂直模型 1 题型二、A字模型 3 题型三、双内角平分线模型 4 题型四、内外角平分线模型 6 题型五、双外角平分线模型 8 题型六、8字模型 10 题型七、燕尾模型 13 题型八、折角模型 14 题型九、“高分”模型（角平分线和高相结合模型） 16 B综合攻坚・能力跃升 18 题型一、双垂直模型 1．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 2．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 3．（24-25八年级上·广东肇庆）如图，，分别是的高，，，，求的长． 题型二、A字模型 4．如图，中，，直线交于点D，交 于点E，则（    ）． A． B． C． D． 5．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 6．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．    (1) ______， ______． (2)当t为何值时，的面积为． (3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由． 题型三、双内角平分线模型 7．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（    ） A．118° B．119° C．120° D．121° 8．（20-21八年级上·河北邢台·）在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（  ） A． B． C． D． 9．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 10．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 11． 在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，∠BOC=115°，则∠A的度数是 ． 12．（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 13．如图，四边形中，和的平分线交于点． （1）如果，，求的度数； （2）请直接写出与的数量关系． 14．（20-21八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知、的平分线相交于点，过点且．    （1）若，，求的度数； （2）若，，求、的度数． 题型四、内外角平分线模型 15．（20-21八年级上·河南商丘·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝ 16．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则的度数是 ． 17．∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ． 18． 如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 19．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数； （2）若∠A=a，求∠E； （3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 题型五、双外角平分线模型 20．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A． B． C． D． 21．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 22．如图，中，分别延长的边到D、E，与的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： (1)若，则 °； (2)若，则 °； (3)若，则 °； (4)请你用数学表达式归纳与的关系 ． 题型六、8字模型 23．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 24．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 25．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 26．（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 27．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 28．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 29．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 题型七、燕尾模型 30．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 31．如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 32．如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 33．如图所示，已知四边形，求证． 题型八、折角模型 34．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·广东江门）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 36．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 37．如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 38．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 39．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 题型九、“高分”模型（角平分线和高相结合模型） 40.如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 41．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 42．如图，是的高，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 43．（24-25八年级上·福建莆田）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 44．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 45．（1）如图①在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，AE与BC交于点F．已知∠B＝50°，∠BAD＝15°，求∠AFC的度数． （2）如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由． （3）如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由． 1．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 19．如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点O是、角平分线的交点，点P是、角平分线的交点，若，则的度数是 ． 5．如图，在中，是高，是角平分线，，． （）求、和的度数． （）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________． 当，时，则__________． 当，时，则__________． 当，时，则__________． （）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论． 6．如图，，将纸片的一角折叠，使点落在外， 若，求的度数． 7．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，为线段的中点． (1)求证：（表示三角形的面积，下同）； (2)点从原点出发以每秒2个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，若，求的取值范围； (3)平移线段到线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解（，分别为点的横坐标与纵坐标），求． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$