精品解析：福建省漳州市漳浦县2025-2026学年上学期期中质量检测九年级数学试卷参考样卷

漳浦县2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷参考样卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列各式是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. （ D. 5. 用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 等边三角形 B. 矩形 C. 正五边形 D. 等腰梯形 7. 如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 8. 如图，边长为2正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图，矩形中，，是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作于点，连接，取的中点，连接．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________． 12. 若是方程的一个根，设，则M与N的大小关系为M_____N．（填“”“”或“”） 13. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______． 14. 中国古建筑中常见的“天地之和比”是古人从圆和方的关系中得出的．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，点F是以点A为圆心、 AC 为半径的弧与AD延长线的交点，称 的值为“天地之和比”，则“天地之和比”的值为___． 15. 如图，矩形的对角线与相交于点，，、分别为、的中点，则的长度为___________． 16. 如图， 中，点D 为边的中点，连接，将 沿直线 翻折至 所在平面内，得，连接，分别与边交于点E ，与 交于点O ．若，则的长为 ___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．请在答题纸相应位置解答． 17. 解方程：． 18. 如图，已知，．求的长． 19. 随着山西经济的转型，文旅与特色农业成为新的增长引擎，隰县便在这股浪潮中绽放独特魅力．这里的小西天，殿宇精巧、彩塑绚丽，千年禅意浸润着每一寸山水；这里更是明清皇家贡梨之源，如今的玉露香梨更是声明远扬——皮薄肉厚、脆甜多汁，甜度达，口感绝佳．现某水果商贩购进一批玉露香梨进行销售．进价为每千克元，若按每千克元出售，平均每天可售出千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低元，则平均每天的销售量可增加千克．若该销售商销售这种玉露香梨想要平均每天获利元，为了尽快减少库存，每千克玉露香梨售价应定为多少元？ 20. 已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0，当m取何值时， (1)方程有两个不相等的实数根. (2)方程有一个根为零，求另一个根. 21. 如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 22. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断一元二次方程（填“是”或“否”）为“友好方程” （2）若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值 23. 已知是等边三角形 （1）正方形内接于（正方形四个顶点都在三角形的边上，其中在上），请在图中作出点、，尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作图步骤； （2）写出（1）中的的边长与正方形的边长比值为______． 24 阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程与一元二次方程根与系数关系 提出问题 小明是一位爱思考的学生．一次，在完成一元二次方程的解法时，他猜想：若关于x的方程一定有=， 分析探究 问题1：小明的猜想是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举出反例． 推广延伸 小明的猜想激发了小华探究热情．为了使问题的研究推广到二元一次方程的解法，进而迁移到对二元数组的研究．小华将“一元二次方程”的概念进行推广． 设二次方程有两个根和，则依据（Ⅰ）可得 又得 = （Ⅱ）…③ 联立①与③，则可以求出两个根的值，这就把一元二次方程转化为二元一次方程 拓展迁移 问题2：设为常数，方程的两根为和，且，问有序的二元数组共有多少组． （1）解决问题1； （2）请将提示中所述缺的内容补全完整； （3）解决问题2． 25. 如图，正方形中，点是平面内一点，以为直角边构建等腰直角三角形，且， ， 连接，交于点， 连接． （1）请证明：； （2）已知， 将绕点旋转一周， ①当 ，求的长 ②在旋转过程中， 当时， 且，请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳浦县2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷参考样卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列各式是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，据此对选项进行判断即可. 【详解】解：A、展开化简为，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意； D、展开化简为，是一元二次方程，故D符合题意. 故选：D. 2. 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，灵活运用连续整数的表示方法与方程求解思路是解题的关键．通过设第一个连续整数为，表示出其余四个数，再根据 “前三个数的平方和等于后两个数的平方和” 这一条件列出方程，结合表格分析方程的解，进而求出这五个连续整数的第一个数． 【详解】设五个连续整数为，，，，， 前三个数的平方和等于后两个数的平方和， ， 展开得： 左边：， 右边：， ， 移项得：， 与小星方程对比，得， ， ， ，， 由表格数据，当或时，，且验证两组数均满足题意， 第一个数为或． 故选：． 3. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. （ D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确配方是解题的关键． 使用配方法，将方程化为完全平方形式． 【详解】解：， ， ， 即． 故选：A． 5. 用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，能根据作图痕迹判断条件是解题的关键． 分别根据作图痕迹，依据相似三角形判定定理，即可判断． 【详解】解： A、由作图可知，E、F分别为、中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图可知，平分，点E在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图可知，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，、是的角平分线，不能说明，故本选项符合题意．   故选：D． 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 正五边形 D. 等腰梯形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形是一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，据此解答即可. 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意. 故选：B． 7. 如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 8. 如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形全等的证明，勾股定理，作出辅助线求证是解题的关键． 此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积． 【详解】解：设与相交于点O，连接． 根据旋转的性质，得，则． 在和中， ，， ∴． ∴． 设，则， 又∵， ， 即， 解得：（不符合题意，舍）， ∴． ∴公共部分的面积． 故选：C． 9. 如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则，证明，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，，可得到是等腰直角三角形，进而得到当最小时，最小，此时取得最小值，为，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小，此时取得最小值，为， ∵， ∴当点B，E，C三点共线时，取得最小值，为3， 此时， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，根据题意证明是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作于点，连接，取的中点，连接．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，从而判断①；当点H和点G互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得，从而得到，故可判断②；是等腰直角三角形，是的中点，得到，再分别证，，从而判断③；分别求出的最大值以及最小值，从而判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 当点H和点G互相重合时，如图：    ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图：设与相交于点，    ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴，， ， 又（对顶角相等）， ，即， ， ， 又， ，故③正确； 当点和重合时，最短，如图：    此时与都在上， ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 当点和点重合时，最大，过点作交于点，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，故④正确． 综上分析可知：正确的有①②③④． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，设，则M与N的大小关系为M_____N．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．利用作差法进行计算比较． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． ， ． 故答案为：． 13. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 直接利用黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：为的黄金分割点，， ． 故答案为：． 14. 中国古建筑中常见的“天地之和比”是古人从圆和方的关系中得出的．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，点F是以点A为圆心、 AC 为半径的弧与AD延长线的交点，称 的值为“天地之和比”，则“天地之和比”的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，以及圆的知识，运用勾股定理求值是解题的关键． 根据以及勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴．   故答案 ． 15. 如图，矩形的对角线与相交于点，，、分别为、的中点，则的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得． 【详解】解：矩形的对角线与相交于点，， ， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 16. 如图， 中，点D 为边的中点，连接，将 沿直线 翻折至 所在平面内，得，连接，分别与边交于点E ，与 交于点O ．若，则的长为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出的长度，即可求出的长度． 【详解】由翻折可知 ∴O是的中点， ∵点D为边的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用公式法求解即可． 【详解】解：， ， 解得． 18. 如图，已知，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理计算，根据，得到，根据，得 ，求得的长，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 解得， ∴． 19. 随着山西经济的转型，文旅与特色农业成为新的增长引擎，隰县便在这股浪潮中绽放独特魅力．这里的小西天，殿宇精巧、彩塑绚丽，千年禅意浸润着每一寸山水；这里更是明清皇家贡梨之源，如今的玉露香梨更是声明远扬——皮薄肉厚、脆甜多汁，甜度达，口感绝佳．现某水果商贩购进一批玉露香梨进行销售．进价为每千克元，若按每千克元出售，平均每天可售出千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低元，则平均每天的销售量可增加千克．若该销售商销售这种玉露香梨想要平均每天获利元，为了尽快减少库存，每千克玉露香梨售价应定为多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定利润的计算方法是解题的关键．设当每千克玉露香梨的售价为元时，每天可盈利元，根据销售数量乘以每千克的利润，列出一元二次方程，再解方程即可． 【详解】解：设每千克玉露香梨售价应定为元， 由题意得，， ， ，． 要尽快减少库存， 取． 答：每千克玉露香梨售价应定为11元． 20. 已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0，当m取何值时， (1)方程有两个不相等的实数根. (2)方程有一个根为零，求另一个根. 【答案】(1)m>-且m≠-1；(2)x2=-. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，即可求得m的取值范围； （2）设方程的两个根为，利用根与系数的关系即可求m的值，进而求出方程的另一个根. 【详解】（1）由题意得： 解得： ∵m+1≠0 ∴m≠﹣1 ∴且m≠﹣1 （2）设方程的两个根为 ∵ ∴ ∴原方程为 ∵ ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 21. 如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵平分 ∴矩形的面积是： 22. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断一元二次方程（填“是”或“否”）为“友好方程” （2）若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值 【答案】（1）否 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 解：， ， 41不是整数的平方， ∴此方程不是“友好方程”； 故答案：否． 【小问2详解】 ①证明：， ， 此方程一定是“友好方程”； ②，， ，， 始终在函数的图象上， ， 即， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 23. 已知是等边三角形 （1）正方形内接于（正方形四个顶点都在三角形的边上，其中在上），请在图中作出点、，尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作图步骤； （2）写出（1）中的的边长与正方形的边长比值为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点，再作的平分线交于点，然后以点为圆心，以为半径作交于点，则点，为所求作的点； （2）在中，设，根据得，则，进而得，由此即可得出的边长与正方形的边长比值． 【小问1详解】 ①作的平分线交于点， ②作平分线交于点， ③以点为圆心，以为半径作交于点， 则点，为所求作的点，如图1所示： 理由如下： 过点，作的垂线交于点，交于点，连接，如图2所示： ，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ，，， 由作图可知：， ， ， 在△和△中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形是矩形，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ， 在中，， ， ， ， ， 矩形是正方形， 点，为所求作的点； 【小问2详解】 在中，设， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 的边长与正方形的边长比值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，正方形的判定和性质，尺规作图，理解等边三角形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 24. 阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程与一元二次方程根与系数的关系 提出问题 小明是一位爱思考的学生．一次，在完成一元二次方程的解法时，他猜想：若关于x的方程一定有=， 分析探究 问题1：小明的猜想是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举出反例． 推广延伸 小明的猜想激发了小华探究热情．为了使问题的研究推广到二元一次方程的解法，进而迁移到对二元数组的研究．小华将“一元二次方程”的概念进行推广． 设二次方程有两个根和，则依据（Ⅰ）可得 又得 = （Ⅱ）…③ 联立①与③，则可以求出两个根的值，这就把一元二次方程转化为二元一次方程 拓展迁移 问题2：设为常数，方程的两根为和，且，问有序的二元数组共有多少组． （1）解决问题1； （2）请将提示中所述缺的内容补全完整； （3）解决问题2． 【答案】（1）小明的猜想不正确，证明见解析 （2）一元二次方程根与系数的关系， （3）3组 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及方程的综合应用，解题的关䋖是熟练掌握韦达定理，并能结合因式分解、方程变形进行求解． （1）根据一元二次方程的求根公式，推导两根之和，验证小明的猜想； （2）根据根与系数的关系和完全平方差公式的变形，确定所缺内容； （3）利用根与系数的关系表示出和，再结合已知条件列出方程，分情况求解有序二元数组（）． 【小问1详解】 解：小明的猜想不正确． 对于一元二次方程， 当时，由求根公式可得 则， 此时正确， 但时，例如，当时，方程无解，此时不正确， 小明的猜想不正确； 【小问2详解】 解：（I）：依据一元二次方程根与系数的关系可得， （II）：由，可得， 故答案为：一元二次方程根与系数的关系，； 【小问3详解】 解：对于方程，由一元二次方程根与系数关系得， ， 可得， 即，整理得①， 由立方和公式，又因为， ， 即②， 当，即时，代入①得，解得， 当时，②式可化为，即， 将代入①得：，即， 解得或， 当时，， -当时，． 综上，有序二元数组为，共3组． 25. 如图，正方形中，点是平面内一点，以为直角边构建等腰直角三角形，且， ， 连接，交于点， 连接． （1）请证明：； （2）已知， 将绕点旋转一周， ①当 ，求的长 ②在旋转过程中， 当时， 且，请求出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． （）证明，可得，，进而由三角形内角和定理得到，即可求证； （）①在上取，过点作于，可证，得到，，进而得到是等腰直角三角形，即得，设，则，在中，利用勾股定理可得，得到，再根据勾股定理即可求解；②分当三点共线时，和当重合时，两种情况，分别画出图形，利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，设相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 ①如图，在上取，过点作于，则， 由（）知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； ②如图，当时，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴三点共线， 又∵点在上， ∴点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 如图，当重合时，，连接， ∴， ∴， ∴当重合时， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 综上，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $