北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

北京师大附中2025一2026学年（上）高二期中考试 数学试卷 班级： 姓名： 学号： 考 1. 本试卷有三道大题，共6页。考试时长120分钟，满分150分。 生 须 2. 考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。 知 3. 考试结束后，考生应将答题纸交回。 第一部分（选择题 共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)直线y=5x-1的倾斜角为 )君 8) (c) (D) (2)已知数列a,}满足4=2，a=8二 ，则a2o5= (A) 1-2 (B)-1 (C)2 (D)1 (3)己知在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是棱BB,DC的中点，则异面直线AE 与DF的夹角是 (a)君 ®)月 c) D)5 (4)设x,y∈R,向量m=(x,l,),n=L,y,1),a=(2,4.2),且m⊥a,n∥a,则x+y= (A)-I (B)-2 (C)1 (D)3 (5)设等差数列{a,}的前n项和为Sn,若a,=7,S,=25,则a= (A)1 (B)2 (C)3 (D)5 北京师大附中2025-2026学年(.上.)高二期中考试数学试卷第1页（共6页） 送 (6)已知直线1：mx-y-m+1=0,则下列说法正确的是 (A)直线I不恒过定点 (B)当m=-2时，直线1不过第三象限 (C)直线I的斜率可能不存在 (D)若直线1在坐标轴上的截距相等，则m=-1 (7)已知无穷等比数列{a,}各项均为正整数，公比为9，前n项和为S,，若aa=32, 4+4=12则下列说法不正确的是 (A)g=2 (B)S,+2)是等比数列 (C){log2a,}是公差为2的等差数列(D)S,=510 (8)已知等比数列{a,}的公比g大于0，前n项和为S,则“数列{a,}为单调递增数列” 是“数列{S,}为单调递增数列”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)在-·个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形 也为正三角（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中， 以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美 图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代.在边长为243的正三角形 三边上，分别取一个王等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3 所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为 图1 图2 图3 (B) (C)1 (D)3@ 4 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期中考试数学试卷第2项（共6页） (1Q)在正方体ABCD-ABCD中，点P为CD,的中点，平面BCCB内动点Q满足 鞋 D PQ∥平面AB,D,若AB=4,则线段PQ的最小值为 (A)2 (B)22 (c)6 (D)4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)已知直线1：x+4y-2=0与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为1，则a=】 (12)如图，正方体ABCD-AB,CD.棱长为2，F,G分别是棱AB,CC的中点，则点D到 平面FBG的距离为一 (13)能说明“设数列{a,}的前n项和为S,,neN,若a1>a.,则S1>S,”为假 命题的一个等差数列是 (写出数列的通项公式) (14)已知两个等比数列{a}和{b}，满足a=a,（a>0),-a=1,4-a2=2, 4-a,=3.若数列{a,}唯一，则常数a=-一· 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期中考试数学试卷第3页（共6页） (15)如图，在长方体ABCD-AB,CD,中，AB=2,AA=AD=1,动点E,F分别在线 段AB和CC,上.给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号为一 1 Va-DEx=3 ②△D,EF有可能是等边三角形： ⑧当DE⊥DF时，DF=EF: ④至少存在两组E,F,使得三棱锥D一DEF的四个面均为直角三角形 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 在平面直角坐标系xO中，点A(1,2),B(-2,-),点C在x轴B,直线4C的斜率为-】 (I)求直线AC的方程： (Ⅱ)若线段AC的垂直平分线与直线AB相交于点D:求点D的坐标. (17)(本小题13分) 已知直线1过点M(1,2)· (【)若直线！与直线x+3y+1=0平行，求直线I的方程： (Ⅱ)若点P(2,0)到直线1的距离为1，求直线1的方程。 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期中考试数学试卷第4页（共6页】 (18)(本小题14分) 蒸 如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，点P为线段AC的中点. (I)证明：CP∥平面ABD: (Ⅱ)求直线BP与平面ABD所成角的正弦值. D D (19)(本小题15分) 已知S,为数列{a,}的前n项和，满足S。=2a。-1,neN.数列{b,}是等差数列，且 4=-a,b2+b=-10 (I)求数列{a}和{色}的通项公式： (Ⅱ)设c,=an+b,，求数列{c}的前n项和Tn: (Π)若寸n∈N°，不等式n2-1≤T恒成立，直接写出实数1的最大值， 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期中考试数学试卷第5页（共6页） (20)(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是等腰三角形， PA=PB,E是AB的中点. (I)求证：PE⊥CD: (Ⅱ)若底面ABCD是梯形，AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,PA=N5,求 二面角P-CD-A的余弦值： (Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，线段AP上是否存在点Q,使得B0∥平面PCD？若存在，求 出2的值：若不存在，请说明理由。 AP (21)(本小题15分) 已知无穷数列{a},给出以下定义： 对于任意的neN”,都有a,+a2≥2a1,则称数列{a,}为“T数列”；特别地，对 于任意的neN，都有a。+a2>2a1,则称数列{a,}为“严格T数列”. (1)已知数列{an},数列{b}的前n项和分别为An,B。,且a.=2n-1,bn=-2-, 试判断数列{A},数列{B,}是否为“T数列”，并说明理由： (Ⅱ)证明：若数列{a}为“T数列”，则对于任意的k,m,naN,当k<m<n时，有 a.-asa-a。; m一kn-m (Ⅲ)已知数列{也，}为“严格T数列”，且对任意的n∈N”，b,∈Z,b=hm=-9,求数 列{亿，}的最小项的最大值 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期中考试数学试卷第6页（共6页）