广东梅州市兴宁市第一中学2026-2027学年高三上学期11月期中质检数学试题

高三学校质检数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，，则 （     ） A. B. C. D. 2. 复数 满足 ，则复数 的共轭复数的虚部为（     ） A. .2 C. D. 3. 已知点 是角 的终边上一点，则 （     ） A. B. C. D. 4. 若 ，则 的最大值为（     ） A. . .2 D.3 5. 参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则这10人成绩的第60百分位数和第75百分位数分别是（     ） A.85，88 B.84，88 C.80，86 D.85，86 6. 已知在矩形 中，，，、 分别为 ， 的中点，则 （     ） A.6 B. C.0 D. 7. 已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（     ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形 中， 是边长为 的等边三角形， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线 折成四面体 ，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（     ） A. 4. .12 D.16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分。 9.若向量满足||=||，|+|=，则（      ） A.与的夹角为 B.) C.= D.在上的投影向量为- 10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（      ） A.若cosA>cosB，则sinA<sinB B.若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，则C= C.已知a=7，b=4c=，则最小内角的大小为 D.若，则B= 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O−ABC.设，，，则下列结论正确的是（      ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面O−ABC的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 的展开式中的系数是                        .（用数字作答） 13. 已知随机变量，随机变量，若，则                        . 14. 一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中 个红球，其余为白球。从中一次性任取10个小球，将“恰好含有2个红球”的概率记为 ，则当                    时， 取得最大值。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，已知输入的问题表达不清晰的概率为。 （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 16.（15分）已知函数（，）的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称轴方程与函数的单调递增区间； （3）当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 17.（15分）如图，多面体 中，四边形 为矩形，二面角 为 ， ， ， ， ， ， . （1）求证：平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求点 到平面 的距离. 18. （17分）已知函数 . （1）当时，求的单调区间，以及在处的切线方程； （2）若有唯一零点，求的取值范围； 19. （17分）将1，2，…，（）这个正整数随机分为和两组，每组各个数，所有分法等可能．记组中最小数为，组中最小数为，. （1）当时，求，； （2）当时，求关于的表达式； （3）求的数学期望关于的表达式，并证明. 参考公式： 高三学校质检数学试题参考答案 一、单选题：： CBAB ADCD 二、多选题： 9． ACD 10． AC 11． BC 三、填空题： 12． 15 13． 0.1 14． 20 四、解答题： 15. 解：(1)设 “智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”，分 依题意，，，，，分 因此 ，分 所以智能客服的回答被采纳的概率为.分 (2)依题意， 的所有可能取值为0，1，2，3，，分 ，， ，， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 分 数学期望 ；分 方差 .分 16. 解：（1）， ，分 因为函数 （，）的最小正周期为 ， 所以 ，解得：，所以 分 （2）由于 ，令 ，解得：， 所以函数 的对称轴方程为 分 令 ，解得：， 所以函数 的单调递增区间为 分 (3)由于 ，当 ，则 ，分 所以当 ，即 时， 取最小值，分 即 分 17. （1）证明：∵ 四边形 是矩形，∴ ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，分 ∵ ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，分 ，， 平面 ，∴平面 //平面 ，分 ∵ 平面 ，∴ //平面 ；分 （2）解：∵ ，，∴ 即为二面角 的平面角，∴ ， 又 ，、 平面 ， 所以 平面 ，作 于 ，因为 平面 ， 所以 ，又 ，、 平面 ， 所以 平面 ，分 连结 ，所以直线 与平面 所成角为 ，分 ，，所以 . 直线 与平面 所成角的正弦值为 ；分 (3)解：由(2)得 平面 ，又 ，分 所以距离 ，分 又由已知可得 ，，，所以 ．分 方法二、建立空间直角坐标系，用向量法 18. 解：(1)当 ，，求导：．分 令 ，即>0，得0<x<e，令 ，即<0，得x>e，分 所以 的单调递增区间为(0，e)， 的单调递减区间为(e，+∞)分 ，．分 所以切线方程为：，即 ．分 (2)由 得出 ，分 函数 和 同过点 （1，0），即 和 恒交于 （1，0）. 有一个零点 即 有一个解，即 和 除 (1，0) 外无交点，分 画出函数图象.结合图象可知若保证直线 和 只有一个交点， 直线 可从 （不包括 ）处旋转到 ，此时斜率 的范 围是 ；分 另外 和 相切时符合题意，（1）已算出 处的斜率为1， 分 所以 的范围是 ．分 19. 解：(1) 当 时，将1，2，3，4随机分为两组各2个数，总分法为 种，分 表示1在A组，A组剩余1个数从2，3，4三个数中选取，有 种， 则 分 等价于一组最小数为1，另一组最小数为2. 若1在A组、2在B组：A组从3，4两个数中选一个，有 种分 若1在B组、2在A组：同理有2种分 则 分 (2) X等价于：1组最小数为1，另一组最小数为4，同时2，3必须与1在同一组，4在另一组.含1的组已有1，2，3共3个数，还需从剩余 个数中选 个， 选法为 分 1在A组或者B组，即一共有 种，分 总分法有 ，因此 分 且 ， 分 (3) X 的取值范围为 ，，，，对任意的 ，，，，与(2)同理 分 由组合数的性质得 因此 分 由参考公式代入可得 分 又因为 ，代入化简 分 ，由于 ，故 则 ，分 所以 即 (当且仅当 时取等号)分 学科网（北京）股份有限公司 $