精品解析：广东省广州市第十三中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

广州市第十三中学2025学年第一学期期中质量监测 初三级数学科试题 本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 不能使用计算器，所有答案都要写在答卷上，写在问卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，每小题只有一个选项符合题目要求，共30分．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 135° 6. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x增大而减小 7. 一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（ ） A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 8米 8. 若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（　　） A B. C. D. 9. 如图，是的直径，是的切线，切点为与的延长线交于点C，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线交x轴于点和（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点；②当时，是等腰直角三角形；③；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 12. 抛物线的顶点坐标是_____________． 13. 如图，是的外接圆，，则的大小为________． 14. 已知一元二次方程两根为，，则_______． 15. 已知，则 _________． 16. 如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于_______． 三、解答题（本大题共9题；共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为、． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形； （2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 19. 已知关于x的方程x2+2x+a+2＝0． （1）若该方程有两个不相等实数根，求实数a的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根． 20. 如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，与交于点E，且． （1）证明：； （2）若，求的度数． 21. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）连接、，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 23. 如图，在中，，点O在上，以为半径的交于点D． （1）尺规作图，补全图形：作的垂直平分线交于点E，交于点F，连接； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若，求线段的长． 24. 如图，在和中，，，．点、、分别为、、的中点，绕点在平面内自由旋转． （1）求证：； （2）求证：； （3）求面积的最大值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； （3）将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第十三中学2025学年第一学期期中质量监测 初三级数学科试题 本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 不能使用计算器，所有答案都要写在答卷上，写在问卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，每小题只有一个选项符合题目要求，共30分．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形即可得出正确答案． 【详解】A、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； B、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，最高次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出△=16＞0，由此即可得出结论． 【详解】∵△=22-4×1×（-3）=16＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：设小方格的边长为1，得， OC=，AO=，AC=4， ∵OC2+AO2==16，AC2=42=16， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法是解题的关键． 6. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可． 【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2， a=3>0，抛物线开口向上，A正确， x=1是对称轴，B正确， 抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确， 由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题． 7. 一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（ ） A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 8米 【答案】B 【解析】 详解】解：∵OC⊥AB，AB=8米， ∴AD=BD=4米， 设输水管的半径是r，则OD=r﹣2， 在Rt△AOD中， ∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42， 解得r=5． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用；勾股定理． 8. 若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数的图象经过，求出对称轴，再根据函数图象判断即可． 【详解】解：二次函数的图象经过，， 二次函数对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ， ，，的大小关系为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，能够找出对称轴是解题的关键． 9. 如图，是的直径，是的切线，切点为与的延长线交于点C，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含角直角三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，先根据圆周角定理得到，再利用含角的直角三角形的三边关系得出，，再证明，再根据切线的性质得出，再求出的长，最后计算． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： D． 10. 抛物线交x轴于点和（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点；②当时，是等腰直角三角形；③；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识． ①把代入解析式，求得函数值即可判断； ②当时，根据抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断； ③根据根与系数的关系即可判断； ④根据二次函数图象的对称性，即可判断． 【详解】解：①∵把代入得，， ∴抛物线过点，故①正确； ②当时，， 令，则，， 抛物线与x轴的两个交点坐标分别为、，顶点坐标为， 对称轴为， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ③∵抛物线交x轴于点和， ∴a、b是方程的两个根， ∴，故③错误； ④抛物线开口向下，对称轴 ， ∵，， ∴ ，即 ， ∴  离对称轴更远，故 ，即 ，结论正确． 综上，①②④正确，共3个正确结论． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是_____________． 【答案】（0，1） 【解析】 【详解】试题解析：∵a=1，b=0，c=1. 将x=0代入得到y=1. ∴抛物线的顶点坐标为：(0,1). 故答案为(0,1). 13. 如图，是的外接圆，，则的大小为________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆和圆周角定理，解题关键是掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．由圆周角定理可知，，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的两根为，，则_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，然后代入表达式求值． 【详解】对于一元二次方程， 其中，，， 由根与系数的关系，得，， 所以． 故答案为：12． 15. 已知，则 _________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：5． 16. 如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：由旋转得， 连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题；共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．使用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ∴ ， ∴  或 ， ∴，． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为、． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形； （2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键. （1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 如图，即为所求． 19. 已知关于x的方程x2+2x+a+2＝0． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根． 【答案】（1）a的取值范围是a＜﹣1；（2）a的值是﹣5，该方程的另一根为﹣3 【解析】 【分析】（1）关于x的方程x2+2x+a+2＝0有两个不相等的实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围； （2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根． 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根 b2﹣4ac＝22﹣4×1×（a+2）＝﹣4﹣4a＞0， 解得：a＜﹣1． ∴a的取值范围是a＜﹣1； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：， 解得：， 则a的值是﹣5，该方程的另一根为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=． 20. 如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，与交于点E，且． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，同弧所对的圆心角相等，平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． （）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得，即可证得结论； （）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴为弧的中点， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 【答案】（1）5m；（2）m2 【解析】 【分析】（1）根据AB为xm，则BC=（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，解方程可求出x即可； （2）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃，然后运用二次函数求最值即可． 【详解】解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m， （1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45， 整理，得x2﹣8x+15＝0， 解得x＝3或5， 当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立， 当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立， ∴AB长为5m； （2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10， ∴≤x＜8， ∵对称轴x＝4，开口向下， ∴当x＝m，有最大面积的花圃， 即：x＝m， 最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出一元二次方程和函数解析式是解答本题的关键． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）连接、，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）点，，的坐标分别为，， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程. （1）令，则，解一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点坐标；令，求函数值，即可求出抛物线与轴的交点坐标； （2）设点的坐标为，则根据可得，于是分两种情况讨论：当时；当时；分别解一元二次方程，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 解得：，， 点在点左侧， ，， 令，则， ， 点，，的坐标分别为，，； 小问2详解】 解：设点的坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 整理，得：， 当时， 整理，得：， ， 该方程无实数根； 当时， 整理，得：， ∴， 解得：，， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或． 23. 如图，在中，，点O在上，以为半径的交于点D． （1）尺规作图，补全图形：作的垂直平分线交于点E，交于点F，连接； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析见解析 （2）直线与相切，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的证明，勾股定理．根据题意作出图形与辅助线，综合运用相关知识，运用方程思想是解题的关键． 1）根据题意作图即可； 2）连接，由等边对等角得到，由垂直平分线的性质得到，从而，证得直线与相切； 3）连接，设，根据勾股定理有即可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 所求图形，如图所示． 【小问2详解】 直线与相切，理由如下： 连接， ， ， ∵EF是BD的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ∵是半径 ∴直线与相切； 小问3详解】 连接， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴，即， 解得， 即． 24. 如图，在和中，，，．点、、分别为、、的中点，绕点在平面内自由旋转． （1）求证：； （2）求证：； （3）求面积的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交延长线于，由已知条件证明，得出，，再由三角形的中位线得到， （2）由得到，从而得出三角形是等腰直角三角形； （3）绕点在平面内自由旋转时，边最小为和的直角边之差，最大为两直角边之和；进而可求得面积的最大值． 【小问1详解】 解：连接并延长交延长线于， 在和中，，，， 和都是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，， 点、、分别为、、的中点， ，， ， 【小问2详解】 ，， ， ， ∵，， ，即 【小问3详解】 由（1）可得，又，即三角形是等腰直角三角形， 当绕点在平面内自由旋转时，， ， 的面积最大值为：． 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定，三角形的中位线定理，解题的关键是通过添加辅助线得出三角形是等腰直角三角形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； （3）将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）m的范围是或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，进而求解； （3）当顶点为时，图象恰好过点、，当抛物线与直线相切时，联立抛物线与直线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：点为第二象限抛物线上一点，设交轴于，如图： 在中，令 得， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 又， ，即， ， ， ， ， 由，设直线解析式为：， 则， ∴， ∴直线解析式为； 联立， 解得：或舍去， ； 【小问3详解】 解：抛物线的函数解析式为：，顶点为， 将图象沿直线平移，由，同上可得直线解析式； 将抛物线沿轴翻折后顶点为， 顶点运动的轨迹为， 图象的顶点坐标为， 则图象对应的函数解析式为：， 当图象过点时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； 当顶点为时，图象恰好过点、； 当抛物线与线段相切时， 联立和抛物线的表达式得：， 即； 令得：，此时， 范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，全等三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $