精品解析：陕西省 西安市西光中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

西安市西光中学教育集团2025-2026学年第一学期 期中考试数学试题 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A、若，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、方程化简得，未知数最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简得，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图即可，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 故选：． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段成比例，符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 5. 如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：（长方形的长）（长方形的宽），即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，解决本题的关键是根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断． 详解】解：如下图所示， A选项：在中，当时，与一定不垂直， 平行四边形一定不是菱形， 故A选项错误，符合题意； B选项：当时，平行四边形是矩形， 故B选项正确，不符合题意； C选项：当时，平行四边形是菱形， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当且时，平行四边形是正方形， 故D选项正确，不符合题意． 故选：A． 7. 如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：，， A、当时，，能证明相似，故选项A不符合题目要求， B、当时，，能证明相似，故选项B不符合题目要求， C、当时，不能判定与相似，故选项C符合题目要求， D、当时，，能证明相似，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小直接判断即可得到答案，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：反比例函数，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ，， ， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一元二次方程的根为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 直接根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 所以或， 因此，． 故答案为：，． 10. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例性质，利用设参法，设，，进而代值化简可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 11. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 12. 如图，点、分别在函数、的图象上，点、在轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为9，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，设，则，然后根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵矩形为的面积为9， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】要求PM＋PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，连接BD与AC交于点O，则EN就是PM+PN的最小值， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC＝12， ∴AO＝＝6，∠BAC＝∠BAD＝30°， ∴OB＝， 由勾股定理得，AB2﹣OB2＝OA2， ∴， ∴AB＝4， ∵M、N分别是AB、BC的中点， ∴BN＝BM＝AM， ∵ME⊥AC交AD于E， ∴AE＝AM， ∴AE＝BN，AE∥BN， ∴四边形ABNE是平行四边形， ∴ENAB， ∴PM+PN的最小值为4， 故答案为4． 【点睛】本题考了查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键． 三、解答题（共13小题，共81分） 14. 计算． 【答案】3 【解析】 【分析】根据化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂是解题的关键． 15. 解不等式组：． 【答案】x≤1． 【解析】 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可． 【详解】解：． 由①得x≤1； 由②得x＜4； 所以原不等式组的解集为：x≤1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将代入求得b的值，然后解方程组即可． 【详解】∵是方程有一个根， ∴， ∴ 当时，原方程为， 解得，． ∴，方程的另一个根为． 18. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 作平分线，交于D即可． 【详解】解：如图所示，点D即为所作求． 由作图可知：是平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为； （2）点的坐标是 ，的面积是 ． 【答案】（1）见解析 （2）；4 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用关于原点为位似中心的点的坐标特征，给点的横纵坐标都乘以，得到点的坐标，然后描点顺次连接即可； （2）根据网格特点和三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：点的坐标是； 的面积． 故答案为：；4． 21. 四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． （1）第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求随机事件发生的概率， （1）直接列举出第一次摸出所有可能的结果利用概率公式即可求解； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：第一次摸到的球可能的结果有1、2、3、4共四种结果， ∴第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 故答案为：． 【小问2详解】 依题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种， ∴两次摸到球上数字之和为偶数的概率为． 22. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 23. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出____________盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 【答案】（1） （2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式． （1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒， ∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒； 【小问2详解】 解：降价前，单件利润为：元， 降价后，单件利润为元，每天能售出盒， 则：， 整理得：， 解得：，， ∴每盒月饼的售价为：元或元； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 25. 为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米；然后，小小在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为米，DF为米，已知，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，设，则，再证明得到，解方程即可得到答案． 详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即 ， 解得， ∴米， 答：的高度为米． 26. 【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得； 变式探究：过点F作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解； 拓展应用：过点F作交的延长线于点M，交于点K．则，再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明，再证，推出，再证，，代入可得的值． 【详解】解：问题情境： 三角板中，， ． 四边形是矩形， ， ， 由题意知， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 变式探究： 如图，过点F作，垂足为H， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 拓展应用： 如图，过点F作交的延长线于点M，交于点K． ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学教育集团2025-2026学年第一学期 期中考试数学试题 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C D. 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 7. 如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一元二次方程的根为_____． 10. 已知，则的值为______． 11. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 12. 如图，点、分别在函数、图象上，点、在轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为9，则的值为_______． 13. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为_____． 三、解答题（共13小题，共81分） 14 计算． 15. 解不等式组：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 18. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．求证：四边形是矩形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为； （2）点的坐标是 ，的面积是 ． 21. 四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． （1）第一次摸到球上数字为奇数的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 22. 如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 23. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出____________盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 25. 为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米；然后，小小在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为米，DF为米，已知，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 26. 【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $