湖南省长沙市一中教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年湖南省长沙一中教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）长沙作为网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，5月1日长沙地铁客运量首次突破4000000人次，创历史新高，将数据4000000用科学记数法表示为（　　） A．4×107 B．4×106 C．0.4×107 D．40×105 3．（3分）二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（1，﹣3） 4．（3分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣1）2＝﹣2 B．（）（）＝1 C．a6÷a3＝a2 D．（）0＝0 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（3分）在下列结论中，不属于矩形性质的是（　　） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 8．（3分）受国际油价影响，2025年我国汽油价格总体呈先涨后跌再震荡的趋势．部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到7.80元/升，三季度跌至7.10元/升．设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．7.80（1﹣x）2＝7.10 B．7.10（1﹣x）2＝7.80 C．7.80（1﹣x2）＝7.10 D．7.80（1﹣x）+7.80（1﹣x）2＝7.10 9．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．（4）米 C．2米 D．（4）米 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+bc的图象大致是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分。） 11．（3分）分解因式：2a2﹣18＝　 　 ． 12．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　 　 ． 13．（3分）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2025上，则m2+m﹣n的值为 　 　 ． 14．（3分）某班42名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 时间/h 6 7 8 9 人数 2 18 14 8 那么该班42名同学一周参加体育锻炼时间的众数是 　 　 ． 15．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　 ． 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接DE，AE，BE且满足BE⊥AE，线段DE的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中x． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（1，2）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）将△A1B1C1绕A1逆时针旋转90度得到△A1B2C2，画出△A1B2C2． 20．（8分）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如表所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： （1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值； （2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； （3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF． 求证：（1）△ABE≌△DCF； （2）四边形AEFD是平行四边形． 22．（9分）民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的2.5倍，若用1000元收购A原料会比用1000元收购B原料少200kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料3kg，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求A，B两种原料的单价； （2）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）； （3）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 23．（9分）如图所示，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，过点B作BE⊥DE，垂足为点E，BE交⊙O于点C． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AB＝5，DE＝2，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，求BE的长． 24．（10分）“两重”“两新”领域是国家为推动经济高质量发展、促进产业升级和消费升级而提出的重要政策方向，在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”，这个函数为“两重两新函数”． （1）下列函数是“两重两新函数”的有 　 　 ； ①y＝3x﹣4；②y＝x2﹣x+2；③y＝x2+x﹣2． （2）直线y＝3mx+4n﹣5上只存在两个不同的“两重两新点”，请求出m，n满足的条件； （3）抛物线y＝﹣x2+bx+c（x＞0）上是否存在四个不同的“两重两新点”A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中y1＞y2＞0＞y3＞y4，且使得CD＝2AB？若存在，请求出b的范围；若不存在，请说明理由． 25．（10分）如图，AB，CD为圆O的直径，且AB⊥CD，点E是弧AD上的一个动点（不与点A，D重合），OF⊥AE于点F，OG⊥DE于点G，连接AD分别交OF，OG于点M，N． （1）如图1，若OA＝4，则FG＝ 　 　 ，∠FOG＝ 　 　 °； （2）如图2，连接OE交AD于点H，当四边形AODE的面积最大时，试判断线段AE和OM的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，设AM＝x，记△OMN的面积为S1，以线段AM，MN，DN为边构成的三角形的外接圆的面积为S2，，试求y与x的函数关系，并求出y的最小值． 2025-2026学年湖南省长沙一中教育集团九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B． B C B A C A B C 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 2．（3分）长沙作为网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，5月1日长沙地铁客运量首次突破4000000人次，创历史新高，将数据4000000用科学记数法表示为（　　） A．4×107 B．4×106 C．0.4×107 D．40×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4000000＝4×106． 故选：B． 3．（3分）二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（1，﹣3） 【分析】根据顶点式函数解析式写出顶点坐标即可． 【解答】解：二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）． 故选：B． 4．（3分）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°， ∴∠3＝35°． ∵∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝55°． 故选：C． 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣1）2＝﹣2 B．（）（）＝1 C．a6÷a3＝a2 D．（）0＝0 【分析】根据二次根式的乘运算法则、乘方运算、整式的除法运算以及零指数幂的意义即可求出答案． 【解答】解：A、原式＝1，故A不符合题意． B、原式＝3﹣2＝1，故B符合题意． C、原式＝a3，故C不符合题意． D、原式＝1，故D不符合题意． 故选：B． 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半得BC的长，在根据题意得CE＝BE＝BC，再根据等边三角形的判断求出DE的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8， ∴BCAB＝4， ∵E是AB的中点， ∴CE＝BEAB＝4， ∴BC＝BE＝CE， ∴△BCE是等边三角形， ∵CD⊥AB于点D， ∴DE＝BDBE＝2， 故选：A． 7．（3分）在下列结论中，不属于矩形性质的是（　　） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【分析】根据矩形的两组邻边分别相等即可对选项A进行判断；根据矩形的两条对角线相等即可对选项B进行判断；根据矩形的两条对角线不一定互相垂直即可对选项C进行判断；根据矩形的四个角都是直角即可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵矩形的两组对边分别相等， ∴选项A属于矩形性质，不符合题意； ∵矩形的两条对角线相等， ∴选项B属于矩形性质，不符合题意； ∵矩形的两条对角线不一定互相垂直， ∴选项C不属于矩形性质，符合题意； ∵矩形的四个角都是直角， ∴矩形的邻边互相垂直， ∴选项D属于矩形性质，不符合题意． 故选：C． 8．（3分）受国际油价影响，2025年我国汽油价格总体呈先涨后跌再震荡的趋势．部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到7.80元/升，三季度跌至7.10元/升．设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．7.80（1﹣x）2＝7.10 B．7.10（1﹣x）2＝7.80 C．7.80（1﹣x2）＝7.10 D．7.80（1﹣x）+7.80（1﹣x）2＝7.10 【分析】根据一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到7.80元/升，三季度跌至7.10元/升，可得到等量关系列出方程． 【解答】解：根据题意可得，7.80（1﹣x）2＝7.10， 故选：A． 9．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．（4）米 C．2米 D．（4）米 【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到ADAB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA， ∵点C为运行轨道的最低点， ∴OC⊥AB， ∴ADAB＝3（米）， 在Rt△OAD中，OD（米）， ∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4）米， 故选：B． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+bc的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给二次函数的图象，得出a，b，c的正负，再据此得出一次函数的图象即可． 【解答】解：由所给二次函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 则bc＜0． 因为一次函数解析式为y＝ax+bc， 所以直线与y轴交于负半轴，且y随x的增大而减小， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分。） 11．（3分）分解因式：2a2﹣18＝　2（a+3）（a﹣3）　 ． 【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9） ＝2（a+3）（a﹣3）． 故答案为：2（a+3）（a﹣3）． 12．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　1　 ． 【分析】先根据根的判别式△的值为0，进而得出等式求出即可． 【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝0， 解得：k＝1， 故答案为：1． 13．（3分）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+x﹣2025上，则m2+m﹣n的值为 　2025　 ． 【分析】将点P坐标代入抛物线的解析式进行计算即可． 【解答】解：将点P（m，n）代入y＝x2+x﹣2025得， m2+m﹣2025＝n， 整理得，m2+m﹣n＝2025． 故答案为：2025． 14．（3分）某班42名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 时间/h 6 7 8 9 人数 2 18 14 8 那么该班42名同学一周参加体育锻炼时间的众数是 　7　 ． 【分析】根据众数的定义进行求解即可得出答案． 【解答】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7， 故答案为：7． 15．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（﹣10，8）　 ． 【分析】由菱形的性质可求AB＝AD＝10，OA＝6，由勾股定理可得OD＝8，即可求点C坐标． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0）， ∴CD∥AB，OA＝6，OB＝4，CD＝AB＝AD＝10， ∴OD8， ∴点D（0，8） ∵CD∥AB，CD＝10， ∴点C（﹣10，8） 故答案为：（﹣10，8）． 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接DE，AE，BE且满足BE⊥AE，线段DE的最小值为 　22　 ． 【分析】取AB的中点F，连接EF，DF，由正方形的性质推出AB＝AD＝4，∠DAF＝90°，由勾股定理求出DF＝2，由直角三角形斜边中线的性质得到EFAB＝2，由三角形三边关系定理得到DE≥DF﹣EF＝22，即可得到线段DE的最小值． 【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF， ∵四边形ABCD是边长为4的正方形， ∴AB＝AD＝4，∠DAF＝90°， ∴AFAB＝2， ∴DF2， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∵F是AB大的中点， ∴EFAB＝2， ∵DE≥DF﹣EF＝22， ∴线段DE的最小值是22． 故答案为：22． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【分析】利用有理数的乘方法则，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【解答】解：原式＝﹣1+1﹣4﹣（2） ＝﹣1+1﹣4﹣2 6． 18．（6分）先化简，再求值：，其中x． 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝（） ， 当x1时，原式． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（1，2）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）将△A1B1C1绕A1逆时针旋转90度得到△A1B2C2，画出△A1B2C2． 【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出B1、C1的对应点B2、C2即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；点B1的坐标为（1，﹣2）； （2）如图，△A1B2C2为所作． 20．（8分）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如表所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： （1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值； （2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； （3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数200乘以C等级的人数所占的百分比得到m的值，然后计算D等级人数所占的百分比得到n的值； （2）用3600乘以样本中A等级和B等级人数所占的百分比即可； （3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两个球上的数字和为奇数与偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明参加的概率与小亮参加的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏规则是否公平． 【解答】解：（1）10÷5%＝200（人）， 所以本次参与调查的学生人数为200人； m＝200×45%＝90； n100%＝35%； （2）3600720（人）， 所以估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两个球上的数字和为奇数有8种，两个球上的数字和为偶数有4种， 所以小明参加的概率，小亮参加的概率， 因为， 所以这个游戏规则不公平． 21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF． 求证：（1）△ABE≌△DCF； （2）四边形AEFD是平行四边形． 【分析】（1）由矩形的性质可得AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ABE≌△DCF； （2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形AEFD是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， （2）∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF＝AD， 又∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是平行四边形． 22．（9分）民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的2.5倍，若用1000元收购A原料会比用1000元收购B原料少200kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料3kg，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求A，B两种原料的单价； （2）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）； （3）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可； （2）根据题意列分式方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本，计算每盒产品的成本即可； （3）根据每天销量等于原来每天的销量减去减少的销量，列出函数关系式即可；先列出每天的利润与涨价x元之间的函数关系式，利用函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为2.5m元， 根据题意，得200， 解得m＝3， 经检验m＝3是方程的解， ∴2.5m＝7.5， 即A、B两原料的单价分别为7.5元，3元； （2）每盒产品的成本是：7.5×2+3×3+16＝40（元）； （3）根据题意，得w＝（x﹣40）[600﹣10（x﹣80）]＝﹣10x2+1800x﹣56000＝﹣10（x﹣90）2+25000， 当x＝90时，有最大值， ∴w最大值＝25000元． 23．（9分）如图所示，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，过点B作BE⊥DE，垂足为点E，BE交⊙O于点C． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AB＝5，DE＝2，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，求BE的长． 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，根据平行线的性质得到∠BDO＝∠DBE，根据角平分线 大电影即可得到结论； （2）过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得到△ABD的面积AB•DH5×2＝5； （3）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵直线DE与⊙O相切于点D， ∴OD⊥DE， ∵BE⊥DE， ∴OD∥BE， ∴∠BDO＝∠DBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠OBD＝∠DBE， ∴BD平分∠ABC； （2）解：过D作DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BE， ∴DH＝DE＝2， ∴△ABD的面积AB•DH5×2＝5； （3）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DH⊥AB， ∴∠ADB＝∠AHD＝∠BHD＝90°， ∴∠A+∠ADH＝∠ADH+∠BDH＝90°， ∴∠A＝∠BDH， ∴△ADH∽△DBH， ∴， ∴， ∴AH＝1或AH＝4（不合题意舍去）， ∴BH＝4， ∴AD， ∴BD， ∴， ∴BE＝4． 24．（10分）“两重”“两新”领域是国家为推动经济高质量发展、促进产业升级和消费升级而提出的重要政策方向，在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”，这个函数为“两重两新函数”． （1）下列函数是“两重两新函数”的有 　①③　 ； ①y＝3x﹣4；②y＝x2﹣x+2；③y＝x2+x﹣2． （2）直线y＝3mx+4n﹣5上只存在两个不同的“两重两新点”，请求出m，n满足的条件； （3）抛物线y＝﹣x2+bx+c（x＞0）上是否存在四个不同的“两重两新点”A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中y1＞y2＞0＞y3＞y4，且使得CD＝2AB？若存在，请求出b的范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据定义判断即可得解； （2）根据定义分类讨论建立方程求解； （3）根据前述思路分两种情况：①﹣x2+bx+c＝x，②﹣x2+bx+c＝﹣x，据此建立不等式组求解即可． 【解答】解：（1）①令x＝3x﹣4，解得x＝2， 此时（2，2）为“两重两新点”， 故y＝3x﹣4为“两重两新函数”； ②令x＝x2﹣x+2，得x2﹣2x+2＝0， ∵Δ＝﹣4＜0， ∴方程无解； 令﹣x＝x2﹣x+2，得x2+2＝0，方程无解； 故y＝x2﹣x+2不是“两重两新函数”； ③令x＝x2+x﹣2，得x＝±， ∴y＝x2+x﹣2为“两重两新函数”； 故答案为：①③； （2）若3mx+4n﹣5＝x有唯一解，则（3m﹣1）x＝5﹣4n， ∴， 若3mx+4n﹣5＝﹣x有唯一解，则（3m+1）x＝5﹣4n， ∴， 又∵直线y＝3mx+4n﹣5上只存在两个不同的“两重两新点”， ∴， 综上：； （3）存在，b＞3，理由如下： 由题意可知：A，B为抛物线与直线y＝x的两个交点，C，D为抛物线与直线y＝﹣x的两个交点， ①﹣x2+bx+c＝x， 整理得：x2+（1﹣b）x﹣c＝0， 则， ∴， ②﹣x2+bx+c＝﹣x， 整理得：x2﹣（1+b）x﹣c＝0， 则， ∴， ∴， ∵，， 又∵CD＝2AB， ∴（1+b）2+4c＝4（1﹣b）2+16c， 整理得：， ∴， ∴， 综上：b＞3． 25．（10分）如图，AB，CD为圆O的直径，且AB⊥CD，点E是弧AD上的一个动点（不与点A，D重合），OF⊥AE于点F，OG⊥DE于点G，连接AD分别交OF，OG于点M，N． （1）如图1，若OA＝4，则FG＝ 　2　 ，∠FOG＝ 　45　 °； （2）如图2，连接OE交AD于点H，当四边形AODE的面积最大时，试判断线段AE和OM的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，设AM＝x，记△OMN的面积为S1，以线段AM，MN，DN为边构成的三角形的外接圆的面积为S2，，试求y与x的函数关系，并求出y的最小值． 【分析】（1）连接OE，易证FG是中位线，∠FOG＝∠FOE+∠GOE，据此得解． （2）向右平移直线AD得直线l，当直线l与弧AD相切时，直线l与直线AD的距离最大，此时切点E使△ADE的面积最大，OE⊥l，证△OMH≌△AEH（ASA），即可得解； （3）将△ODN绕点O逆时针方向旋转90°得△OAK，连接KM，证△MON≌△MOK（SAS），进而可得y，利用勾股定理求出MN即可得解． 【解答】解：（1）连接OE， ∵AB⊥CD， ∴∠AOD＝90°， ∵OA＝OD＝4， ∴， ∵OF⊥AE于点F，OG⊥DE于点G， ∴EF＝AF，EG＝DG，∠AOF＝∠FOE，∠DOG＝∠EOG， ∴FG是△AED的中位线，∠FOG＝∠FOE+∠GOE， ∴FGAD＝2， 故答案为：，45； （2）AE＝OM．理由如下： 如图，向右平移直线AD得直线l，当直线l与弧AD相切时，直线l与直线AD的距离最大，此时切点E使△ADE的面积最大，OE⊥l， ∴OE⊥AD， ∴点E为弧AD的中点， ∵S四边形AODE＝S△AOD+S△ADE， 而S△AOD为定值， ∴当点E为弧AD中点时，△ADE的面积最大， 此时四边形AODE的面积最大． ∵∠AOD＝90°，OA＝OD， ∴∠OAD＝45°＝∠AOH， ∴OH＝AH， ∵∠AHO＝∠AFO＝90°，∠OMH＝∠AMF， ∴∠MOH＝∠MAF， 在△OMH与△AEH中， ∴△OMH≌△AEH（ASA）， ∴AE＝OM． （3）如图2，将△ODN绕点O逆时针方向旋转90°得△OAK，连接KM， 则∠OAD＝∠ODA＝∠OAK＝45°，∠DON＝∠AOK，ON＝OK，AK＝DN， ∴∠MAK＝90°， 由（1）知∠MON＝45°， ∴∠MOK＝∠AOM+∠AOK＝∠AOM+∠DON＝45°， ∴∠MON＝∠MOK， 又∵OM＝OM，ON＝OK， ∴△MON≌△MOK（SAS）， ∴MN＝MK， ∴以线段AM，MN，DN为边构成的三角形是以MN为斜边的直角三角形． ∴，， ∴y， 设DN＝t， ∵AM＝x，AD＝4， 则MN＝4x﹣t， ∵AM2+DN2＝MN2， ∴， 化简得， ∴， ∴， 设， 显然， 令，，则a＞0，b＞0， ∵， ∴， ∴， 即当4时，m有最小值8﹣4， ∴当x＝44时，ω有最小值8﹣4，此时y有最小值． 综上，y，其中，当x4时，y有最小值． 考点卡片 1．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 2．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 5．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 6．分式的化简求值 ‌分式的化简求值是通过约分、通分、因式分解等方法将分式化为最简形式，再代入特定值计算的过程‌．常用方法包括整体代入法、比例系数法等． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 7．零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 8．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 9．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 10．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 11．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 12．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 13．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 14．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 15．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 16．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 17．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 18．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 19．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 20．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 21．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 22．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 23．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 24．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 25．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 26．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 27．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 28．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 29．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 30．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 31．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 32．圆的综合题 考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大． 33．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 34．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 35．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 36．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 37．用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 38．统计表 统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来． 统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式． 39．众数 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 40．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 41．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/11 14:22:21；用户：13874961116；邮箱：13874961116；学号：22082003 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $