1.5 等腰三角形-同步训练 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.5 等腰三角形 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是(    ) A. 中线 B. 底边上的中线 C. 中线所在的直线 D. 底边上的中线所在的直线 2.若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为(    ) A. B. C. D. 或 3.等腰三角形一边长为，一边长，它的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 不确定 4.如图，在中，，是边上的中点，，则等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，，点在上，，垂足为，，则等于(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 8.如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知，与的夹角为，若与的长度相等，则的度数为． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10.已知一个等腰三角形的两边长分别是和，那么这个等腰三角形的周长为____． 11.在中，，，则______ 12.若等腰三角形有一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为________________ 13.已知等腰中，，，则的面积为________． 14.如图，是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则           15.由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图，衣架杆若衣架收拢时，，如图，则此时，两点间的距离是          ． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． 如果腰长是底边的倍，那么各边的长是多少？ 能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？ 17.本小题分 如图，点、在上，，，，与交于点，求证：． 18.本小题分 如图，点在上，≌，求证：平分． 19.本小题分 如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点． 求证：； 若，，求的长． 20.本小题分 如图，≌，求证：是等边三角形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是：底边上的中线所在的直线． 故选：． 直接利用等腰三角形的性质结合对称轴的定义得出答案． 此题主要考查了轴对称图形，正确把握等腰三角形的性质是解题关键． 2.【答案】  【解析】解：等腰三角形的一个外角等于， 等腰三角形的一个内角为， 当为顶角时，其他两角都为、， 当为底角时，其他两角为、， 所以等腰三角形的底角可以是，也可以是 故选：． 等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错． 3.【答案】  【解析】解：当腰为时，周长； 当腰长为时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为，这个三角形的周长是． 故选：． 题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质可得到，再由的度数即可求出的度数． 本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】． 【解答】 解：在中，已知，是边上的中点， ， ， ， ， 故选：． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键根据等腰三角形的判定逐项判断即可． 【解答】 解：由可得，则为等腰三角形，故A能推出是等腰三角形； B.由且，可得，则可得，即为等腰三角形，故B能推出是等腰三角形； C.由，，无法求得或，故C不能推出是等腰三角形； D.由，，可得为线段的垂直平分线，可得，故D能推出是等腰三角形； 故选C． 8.【答案】  【解析】解：． 故选：． 等边三角形的三个角都为，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和． 本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为，和三角形的外角的性质． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形的外角及等腰三角形的性质由，得到，，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【解答】 解： ． 故选D． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形三边关系的理解和掌握，解答此题要用分类讨论的思想，根据三角形三边关系可得腰长只能为，这是解答此题的突破点． 分类讨论，根据三角形三边关系可得腰长只能为，然后即可直接求出该三角形的周长．  【解答】 解：当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． 当底边是，腰长是时，能构成三角形， 则其周长为：  故答案为． 11.【答案】  【解析】解：， ， ， ． 故答案为． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等． 12.【答案】或  【解析】解：角是顶角时，三角形的顶角为， 角是底角时，顶角为， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 分角是顶角与底角两种情况讨论求解． 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式，属于基础题．利用等腰三角形的性质、三角形的面积公式即可得出．【解答】 解：取的中点，， ， ， ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为以及等腰三角形的性质，难度适中．根据等边三角形三个角相等，可知，根据等腰三角形底角相等，  【解答】 解：是等边三角形， ，， ， ，， ， ． 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 此题考查等边三角形的判定与性质，根据有一个角等于度的等腰三角形是等边三角形，再根据等边三角形三条边相等求解． 【解答】 解：如图，连接． 因为，收拢后的， 所以是正三角形． 故AB． 16.【答案】解：设底边长为， 腰长是底边的倍， 腰长为， ，解得，， ， 各边长为，，． 当为底时，腰长； 当为腰时，底边， ， 不能构成三角形，故舍去； 能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，．  【解析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解． 设底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； 题中没有指明所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． 17.【答案】证明：， ， ， 在和中， ≌， ， ．  【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 求出，根据推出≌，得出，由等腰三角形的性质可得结论． 18.【答案】证明：≌， ，， ， ， 平分．  【解析】根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据角平分线的定义证明即可． 本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键． 19.【答案】证明：是的角平分线， ， ， ， ， ； 解：，是的角平分线， ， ，， 由知，， ， ， ， ．  【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 由是的角平分线可得，由，可得，则，即可得出结论； 根据等腰三角形三线合一的性质可得，可证，则，即可求得的长． 20.【答案】证明：≌， ，． ． 即． ， ． 又， 是等边三角形．  【解析】依据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可得到是等边三角形的条件． 本题主要考查了全等三角形的性质以及等边三角形的判定，有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $