湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

雅礼教育集团2025年下学期期中考试试卷 高一数学参考答案 时量：120分钟.分值150分 命题人：李云皇审题人：彭熹、汤芳 一、选择题： 1.【答案】D 【解析】因为A={x-2<x≤1}，B={-2,-1,0,1,2},所以A∩B={-1,0,1} 2.【答案】C 【解析】根据存在量词命题的否定可得， 3x<3,x2-3x<0的否定为Vx<3,x2-3x≥0， 3.【答案】A 21 7 【解析】4.√2=4322=23.22=26 4.【答案】B 【解析】由题意可得，当x=-4时，f(-4)=-4+3=-1, 当x=-1时，f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3, 所以f(f(-4)=3. 5.【答案】c 6.【答案】C 【解析】当x≤2时，f(x)=x2-5,其开口向上，对称轴为x=0,值域为[-5，+0)， 由函数f团={+5品2的值蚊是R, 则当x>2时，f(x)=2ax+1的值域应包含(-o,-5),所以f(x)为减函数， 2×2a+1≥- 所以〈 5,解得-3≤4<0，故a的取值范围是 2a<0 7.【答案】A 【解析】设用水量为xm,水费为y元， 当0≤x≤12时，y=3x, 当12<x≤18时，y=12×3+(x-12)×6=6x-36,值域为(36,72] 当x>18时，y=12×3+6×6+(x-18)×9=9x-90,y>72 共9页，第1页 12<x≤18， .令6x-36=66,解得x=17, 故此用户居民本月用水量为17m3. 8.【答案】B 【1-得 当x≥0时，函数g(x)=3-3--3=31-3-3）≤31-2)=-3 二、多项选择题 9.【答案】AC 【解折】对于A,设幂函数为f)=x“,则2=】=2→a=-1,所以f(y)=x, 2 所以A正确， 对于B,因为x2的系数为2，所以函数y=2x2不是幂函数，所以B错误， 对于C,因为幂函数y=(m2-2m-2)xm在(0，+o)单调递增， m2-2m-2=1 所以 ，解得m=3,所以C正确， m>0 对于D,因为幂函数f(x)=x的图象不过(0,0)，所以D错误。 10.【答案】AC 【解析】对A:当x>1时，x+1 当且仅当x-1= x-1 ,即x=2时取得等号，故A正确： x2+5 对B: （2+4+1 Vx2+4 =VX2+4+ Vx2+4 x2+4 令t=Vx2+4,则t≥2，令f(x)=1+(t≥2)， 又=()在[2，+)上单调递增，敌f)2f(2)- 共9页，第2页 故了(x)的最小值为，也即 x2+5 的最小值为 故B错误 2+4 对C:x(10-)≤x+(10-x]=25,当且仅当x=10-x,即x=5时取得等号： 故当0<x<10时， √x(10-x)的最大值是√25=5，故C正确： ‘罩甘粱，=M‘乙=x汹香‘x=乙+X百‘0<(‘0<X☑0必 此时有2x+y=2 >3，故D错误. 故选：AC 11.【答案】ABD 【解析】对于A,因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若a∈A,则二∈A,那么 ax上-1∈A,A正确。 a 对于B,因为A为一个“封闭集”，a,b∈A,所以∈A,所以∈A,B正确. b b 对于C,不妨取“封闭集”A= 则A∩B=I也是“封闭集”，显然AsB或BsA不成立，C错误. 对于D,充分性：A,B都是“封闭集”， 若ASB或BSA,则AUB=B或AUB=A,则AUB是“封闭集”. 必要性：若AUB是“封闭集”，令AUB=C, 假设AsB或BsA不成立，则存在a∈A,a使B,b∈B,b生A,同时a∈C,b∈C, 因为AUB=C是“封闭集”，所以b∈C, ∈C, ab 分两类情况讨论， 若b∈A,又当a∈A时，1∈4，所以b×上=b∈，这与假设矛盾， a 1 1 若ab廷A,又当b∈B时，二∈B,所以ab×,=a∈B,这与假设矛盾， b 故假设不成立，原结论AUB是“封闭集”，则A二B或B二A成立，即必要性成立.D 正确 共9页，第3页 三、填空题 12. 【答案】(3，-1) 【解析】当x=3时，y=1-2=-1,所以P的坐标为(3，-1)， 故答案为：(3，-1) 13.【答案】3 【详解】因为x+x1=V5,所以(x+x)=5,即x2+x2=5-2=3. 故答案为：3 14.【答案】 【详解】由题意知存在实数a,使得对任意的x∈[，4]，都有x2+ax+b≤2x, 即-2x≤x2+ax+b≤2x, 即2(as2-(）立 设f(x)=x+2,x∈[1,4]，则题意等价于存在实数a, 使得 a2-2-f八m,所以-2-f)m≤2-fx, a≤2-f(x)mx 即f(x)nx-f(x)nn≤4. 当b≤0时，y=x+b显然在L,4]上单调递增， 则/mfen=1e)-0-3的s4,能62手所以60， 3 当b>0时，根据对勾函数的性质，y=x+力在O,上单调递减，在(V6,+∞)上单调 递增. (i)当0<b≤1时，f(x)在[1,4]上单调递增， f=/4到-4？f=f0=16 共9页，第4页 由f()-f()=3-6≤4，解得b2-所以0<b≤1. 4 (i)当1<b<16时，f(x)在1，VB上单调递减，在V万，4上单调递增， f(x)=maxf(1).I(4),f(x)f()=2B. f()-2b=-1+b-2b≤4 因为f(x)nx-f(x）nn≤4，所以 f(4)-2万=4+2-26≤4 [-1≤Vb≤3 解得 所以1<b≤9. 0≤Vb≤8 (进)当b≥16时，f(x)在[1,4]上单调递减， f=/0=1+b,fx)=f(4)=4+2 4 自了(f0子6-3≤4，解得6≤与b≥16矛后。 28 综上所述，实数b的取值范围为 四、解答题 15.【解析】(1)证明：任取x,x2∈(-1，+o∞)，且x<x2, 则s)-f3)=2-325-3-5-) x+1x2+1(x+1)(x2+1) 因为x,x2∈（-1，+0)，x<x2,所以x-x2<0,x+1>0,x2+1>0, 所以f(x)-f(x)<0,即f(x)<f(x), 所以f(x)在(-1，+o)上单调递增。 (2)由(1)知f(x)在区间1,4上单调递增， 所以f6)=f四=2f()=f4到=1， 所以函数了()在区间[4到上的最大值为1，最小值为 共9页，第5页 16.【解析】(1)当a=1时，B={x0≤x≤2， 所以CB={xx<0或x>2}, 因为A={x|-2≤x≤3}， 故An(CB)={x-2≤x<0或2<x≤3}. (2)因为x∈A是x∈B的充分条件，所以AsB 1-a≤-2 所以 1+a≥3， 解得a≥3， 所以a的取值范围为a≥3. 17.【解析】(1)由题意可知ax2+bx-12=0的两根为-3和-1， b=-3+(-)=4 a a=-4 所以由根与系数的关系得 解得 12 =-3×(-1)=3 1b=-16 a (2)当a=0时，则x+3≤0，解得x≤-3： 当a≠0时， f=am2+hx-12=am+(6a-4到x-12=(x+3ar-4=ax+3x 当a>0听，用(x+到0，解得≤-3或x号 当00+}0， a 当4=-3时，即a= 4 a +)0，袋=-3： 当子-3，用a<0,(40,将3 a 综上所述，当a< 4时，不等式f)≥0的解集为 4 当a=-4时，不等式f(x)≥0的解集为{-3}： 3 共9页，第6页 当-子<a<0时，不等式f)之0的解集为 当a=0时，不等式f(x)≥0的解集为(-0，-3]： 当a>0时，不等式f≥0的罐架为(x[+ 18.【解析】(1)由已知，f(x)=w(x)-(20x+10), 20(x2+17),0<x≤2 又w(x)= 500 ,2<x≤5 80 x- 20x2-20x+330,0<x≤2 所以f(x)= 490- 80 -1 -20x,2<x≤5 ②当02-20r-20+30-2x+2 则x=2时，f()mx=370: 80 当2<x≤5时，f(x)=490- -20x=490 +20-+20 80 x- ≤470-2 80 Vx-1 ·20(x-1)=390, 当且仅当 91=20r-.即r=3时，f00=390. 80 因为370<390，所以f(x)的最大值为390， 故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元. 19.解析：(1)假设函数f(x)=x2+1是区间[0,3]上的“2阶自伴函数”，取x=2,则 f(x)=f(2)=5,由f()f()=2,得5(x,2+1)=2,显然此方程无解，(3分) 所以，f(x)=x2+1不是区间[0,3]上的“2阶自伴函数” (4分) 2》爵数/（国-3-1为区间}】 上的“1阶自伴函数”， 共9页，第7页 则对任意的x ∈ 26 总在的 使f(x)f(x)=1,(5分) 即3x2-1 3整理得 33(3x-1) 1 且当x=2时，=1，当x=b时，6=3十3(3动- (7分) 6小到 [b≥1 b≥1 则有 1 、1,即 33(3b-1)2 6s1' 即b=1,所以，b的值是1 (10分) (3)函数f)=4,在0,2]上单调递减，得了)在0,2]上的值域为1,2]， x+2 由政/儿利-2是8)--2ax+口-1在区间0小上的2份作道画数， 得对任意的x∈[0,2]，总存在唯一的x2∈[0,2]，使f(x)g(x)=2成立， 于是，8)上行2则g(四)=X-2ax+a-1在0,2上的值域必定包3 [1,2],且g(x)的值域在[1,2]上对应的自变量是唯一的， 而函数g(x)=x2-2ax+a2-1图象开口向上，对称轴为x=a, 显然g(0)=a2-1,g(2)=a2-4a+3,g(a)=-1 (12分) ①当a≤0时，函数g(x)在[0,2]上单调递增，则 g(x)in=g(0)s1 a≤0 3(x=g(2)22'即o-1s1 解得-√2≤a≤0 (13分) a2-4a+3≥2 ②当a≥2时，函数g(x)在[0,2]上单调递减，则 共9页，第8页 8(x)mm=g(2)s1 a≥2 8(m=g0)2即0-a+3s1,郁得25a≤2+5 (14分) a2-1≥2 ③当0<a≤1时，函数g(x)在0，a上单调递减，在[a,2上单调递增，则 g(x)x=g(2)≥2，结合图象得 8(r)mx=g(2)22 0<a≤1 即 a2-4a+3≥2，解得0<a≤2-V3 (15分) g(0)<1 a2-1<1 ④当1<a<2时，函数g(x)在0，a上单调递减，在a,2上单调递增，则 g(x)x=g(0)≥2，结合图象得 1<a<2 g(x)mx=g(0)≥2 即a2-1≥2 ,解得V3≤a<2 (16分) g(2)<1 a2-4a+3<1 综合得，实数a的取值范围是[-√2,2-V5]U[V3,2+V2] (17分) 共9页，第9页雅礼教育集团2025年下学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟.分值150分 命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合A={-2<x≤1}，B={-2,-1,0,1,2},则AnB=( A.-1,0} B.(0 C.{-2,-1,0,1} D.{-1,0,1 2.命题“3x<3,x2-3x<0”的否定是() A.3x<3,x2-3x≥0 B.Vx≥3，x2-3x≥0 C.∀x<3,x2-3x≥0 D.Vx<3,x2-3x>0 3。将4√2化成分数指数幂的形式是() A28 B.26 c.2月 D.28 已知函数f(x)= x2-2x,x2-2 x+3,x<-2,则f(f(4)=(） A.-1 B.3 C.-3 D.24 5.已知卫：a=0,9:函数f(x)=x3+x+a是奇函数，则p是9的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8若函数f)=-5x≤2 的值域是R,则a的取值范围是() 2ax+1,x>2 [0a(x[20( 共4页，第1页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫App 7.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”·计费方法 如表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m但不超过18m3的部分 6元/m 超过18m3的部分 9元/m 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为( A.17m3 B.18m3 C.19m3 D.20m3 8. 已知函数f(x)=a +b的图象过原点，且无限接近于直线y=3但又不与该直线 相交，当x≥0时，函数g(x)=f(x)-31有() A. 最小值-3 B.最大值-3 C.最小值-2 D.最大值-2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是() A若琴险数y=构过2 则f(x)=x B.函数y=2x2表示幂函数 C.若幂函数y=(m2-2m-2)xm在(0，+o)单调递增，则m=3 D.幂函数的图象都过点(0,0)和(1,1) 10.下列命题中的真命题有（) A当x>1时，x+ 的最小值是3 x-1 x2+5 B. 的最小值是2 √x2+4 C.当0<x<10时，√x(10-x)的最大值是5 D.对正实数xy,若x+2y=3,则2x+y的最大值为3 共4页，第2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 11.非空数集AsR,同时满足如下两个性质：（1)若a,b∈A,则ab∈A;(2)若 a∈A,则二∈A.称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是(） a A.若A为一个“封闭集”，则1∈A B.若A为个“封闭集，且a6A,则号A C.若A,B都是“封闭集”，则A⌒B是“封闭集”的充要条件是A∈B或B三A D.若A,B都是“封闭集”，则AUB是“封闭集”的充要条件是A三B或B三A 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.函数y=a-3-2（常数a>0且a≠1)图象恒过定点M,则M的坐标为 13.已知x+x1=√5，则x2+x2= 14若存在实数a,使得对任意的x∈[1,4]，都有x2+ax+b≤2x成立，则实数b的取值 范围为 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15。 已知函数∫()=2x-3 x+1 (1)函数单调性的定义证明：函数f(x)在(-1，+o)上单调递增； (2)求函数f(x)在区间f1,4上的最大值和最小值. 16.已知集合A={x-2≤x≤3}，集合B={x1-a≤x≤1+a (1)当a=1时，求An(CB): (2)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围. 共4页，第3页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.已知函数f(x)=ax2+bx-12(a,b∈R) (1)若不等式f(x)>0的解集为(-3，-1)，求实数a,b的值； (2)当b=3a-4时，求不等式f(x)≥0的解集 18.某企业原来生产某种产品x(万件)可获利w(x)(万元)，且满足 20(x2+17）,0<x≤2 w(x)= ,现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产 500- 80 2<x≤5 x-1 品，优化后的产品的其他成本总投入为(20x+10)万元.由市场调研分析得知，当前产品 供不应求.记该企业优化后的产品的利润为f(x)(单位：万元). (1)求函数f(x)的解析式； (2)当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润f(x)最大？最大利润是多少？请 说明理由. 19.若函数f(x)与g(x)满足：对任意的x∈D，总存在唯一的x∈D，使 f(x)g(x2)=m成立，则称f(x)是g(x)在区间D上的“m阶伴随函数”：对任意的 :∈D,总存在唯一的x2∈D,使f(:)f(x)=m成立，则称f(x)是区间D上的 “m阶自伴函数”。 (1)判断f(x)=x2+1是否为区间[0,3]上的“2阶自伴函数”，并说明理由： (2)若函数f(x)=3x-1为区间 0]上的1阶自件福数”，求6的盒： 《8若题数f(网2是8（问=×-2+心-1在区同02到上的“2阶件脑五 数”，求实数a的取值范围。 共4页，第4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫APP