精品解析：北京市北京工业大学附属中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中阶段练习 九年级数学学科 （练习时间120分钟，满分100分） 学生须知 1．本练习卷共8页，共27道题 2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号 3．练习题答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他练习题用黑色字迹签字笔作答 一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 拋物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．根据抛物线的顶点式即可求解． 【详解】解：拋物线的顶点坐标是． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：B． 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 5. 将一元二次方程转化为的形式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式． 【详解】解：∵ 原方程：， 配方法：加上并减去一次项系数一半的平方，即 ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的性质是解题关键．分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就是旋转中心，根据其在平面直角坐标系中的位置即可得旋转中心的坐标． 【详解】解：如图，与的垂直平分线相交于点，则点即为旋转中心． 故选：C． 7. ，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大． 8. 如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用等边三角形的性质易得，由全等三角形的性质来判断；作于，利用三角形的面积得到随的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，来求解；利用得到进而求解；利用得到，当时，最小，的周长最小来求解． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ． ∵点是的中心， 分别平分和， ∴， ，即， 而，即， ． 在和中 ，故①正确； 作于，如上图，则． ， ， .，， , 即随的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ，故错误； ， ， ∴四边形的面积，保护不变，故正确； ， 的周长 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，所以④正确. 故正确的有：． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关键．根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为2即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，列出关于k的方程求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 判别式， 解得． 故答案为：． 12. 如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是___________． 【答案】x1 =4 x2=-2 【解析】 【分析】由对称的性质得出点Q的坐标，再根据一元二次方程与二次函数之间的关系得出方程的解. 【详解】点P关于x=1对称的点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的解是x1=4，x2=﹣2. 故答案为x1=4，x2=﹣2. 【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点与一元二次方程的解之间的关系. 13. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x， 根据题意得：， 故答案为：． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可． 【详解】将绕点顺时针旋转得到． ，，， ． 点，，在同一条直线上， ． 故答案为． 15. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答． 【详解】∵， ∴， 解得x=3或x=-1， ∴点B的坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3， ∴点A的坐标为（0，3）， ∴不等式的解集为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 【答案】 ①. ① ②. 1010 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， 故答案为：①； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1010． 三、解答题（共68分，第17题10分，第18、20、22、23、24题，每题5分，第19、21、27题，每题6分，第25、26题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得： ； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， 解得：，． 18. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】8 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，再把原式化简，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边同时成立的未知数的值是一元二次方程的解，乘法公式及代数式的值是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）点的坐标是_____；点的坐标是_____； （3）线段的长是_____． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换以及勾股定理求长度． （1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到对应点，再与点O顺次连接即可； （2）根据图形写出点的坐标即可； （3）根据勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：此时的坐标为，的坐标为； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：． 20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （1）并画出图象； （2）求此抛物线的解析式； （3）结合图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）抛物线图象如图， （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键． （1）再利用描点法画函数图象； （2）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出、、即可， （3）分别求出，，时的函数值，利用图象可直接得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵设二次函数的解析式为， 由题意得：当时，， ∴ ∵时，，当时，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时， 当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】（1）证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由原方程得：， 解得，， ∵方程有一个根为正数，， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． 22. 如图，在中，，，交于点，为的中点，为的中点，连接．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 可得分别为斜边中线，则得到，那么，再由直角三角形锐角互余得到，则等量代换，即可求证． 【详解】略 23. 阅读下列材料： 题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断与的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出与的差，再 说明y的符号即可. 现给出如下利用函数解决问题的方法： 简解：可将y的代数式整理成，要判断y的符号可借助函数的图象和性质解决. 参考以上解题思路解决以下问题： 已知a，b，c都是非负数，a＜5，且，． (1)分别用含a的代数式表示4b，4c； (2)说明a，b，c之间的大小关系． 【答案】(1) ；(2)b＜a≤c. 【解析】 【分析】(1)根据a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，整理得出4b=a2-2a-3． (2)利用4（b-a）=a2-6a-3=（a-3）2-12，得出二次函数的图像即可，再利用4（c-a）=a2-4a+3=（a-1）（a-3），得出图像，进而得出a，b，c大小关系． 【详解】解：(1)∵，， ∴ 消去b并整理，得． 消去c并整理，得． 故答案为：；. (2)∵， 将4b看成a的函数，由函数的性质结合它的图象（如图下图所示），以及a，b均为非负数得a≥3． 又∵a＜5， ∴ 3≤a＜5． ∵， 将看成a的函数，由函数的性质结合它的图象 （如图下图所示）可知，当3≤a＜5时，． ∴ b＜a． ∵，a≥3， ∴≥0． ∴c≥a ． ∴b＜a≤c． 故答案为：b＜a≤c. 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及利用二次函数图像得出a，b，c大小关系，利用数形结合是解题关键． 24. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）； （3）在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】（1） 如下图，即为与x的函数图象； （2），（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考考查了画函数图象，根据图象获取信息，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格中的数据描点画图即可； （2）根据绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳，结合表格数据解答即可； （3）观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知，绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳， 由表格可知，时，；时，， 当绿茶茶水的放置时间约为时，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为 【小问3详解】 解：观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低， 即若，则， 故答案为： 25. 在平面直角坐标系中，抛物线过点． （1）用含的式子表示，并求抛物线与轴的交点坐标； （2）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线与直线交于点． ①若，，求的长； ②点在抛物线上运动过程中，线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1）；抛物线与轴的交点坐标为， （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将代入抛物线解析式，再令，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②根据已知可得，，分当在的上方时，和当在的下方时，分别求得的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 可得， 解得； 令， ∵， ∴， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； 【小问2详解】 ①解：若，则抛物线的表达式为，直线的表达式为． ∵是抛物线上一动点， 当时，， ∴， ∵轴与直线交于点． ∴， ∴； ②解：由（1）可得， ∴抛物线解析式为， ∵点， ∴， ∵轴与直线交于点． ∴ 当在的上方时，即， 解得：或 ∴ ∵， ∴当时，线段的长度随的增大而减小， ∴时，线段的长度随的增大而减小， 当在的下方时，即， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度随的增大而减小， ∴时，线段的长度随的增大而减小， 综上所述，或时，线段的长度随的增大而减小. 26. 如图，中，，，点，分别在，上（不与A，，重合），连接，． （1）如图，判断与的数量关系是_____； （2）如图，若，将绕点逆时针旋转，使点正好落在上，取的中点，连接，． 在图中，依题意补全图形； 判断，的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】（1）； （2）如图， ，， 理由， 如图，过作，交延长线于点，连接，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，点正好落在上， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，则有，又，所以，然后通过等角对等边即可求解； （）根据题意画出图形即可； 过作，交延长线于点，连接，，证明，所以，，，再证明，所以，，又，则有，从而证得是等腰直角三角形，最后通过等腰三角形性质即可求证． 【小问1详解】 解：，理由， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略 略 27. 体重为衡量个人健康的重要指标之一，下面为成年人利用身高计算理想体重的三种方式，由于这些计算方法没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 算法①：女性理想体重：身高身高，男性理想体重：身高身高； 算法②：女性理想体重：身高，男性理想体重：身高； 算法③：女性理想体重：身高，男性理想体重：身高，下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： 甲有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同， 乙有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同． 范围() 体重类别 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 （1）请你判断甲乙两人的叙述是否正确？并说明理由； （2）当身高的成年男性使用算法①计算理想体重，他的实际体重比理想体重大，并且他的实际体重与理想体重的差的平方等于实际体重的倍与理想体重的差；请你判断该成年男性实际体重的是否正常？并说明理由； （3）现在为了响应国家号召，该男子实施减肥计划，直接写出他减重公斤数在哪个区间体重是正常的？，，体重结果保留整数，保留一位小数 【答案】（1）甲错误，乙正确 （2）不正常 （3）他减重公斤数在时，体重是正常的 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式， （1） 通过设女性身高为米，分别计算算法①与算法②、算法②与算法③相等的方程，判断是否存在实数解； （2）先计算理想体重，再根据条件列方程求实际体重，然后计算，对照表格判断类别； （3）设减重公斤，根据正常范围列不等式组，求解的范围． 【小问1详解】 解：假设甲叙述正确，设女性的身高为， 根据题意得： 整理得： ， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为， 根据题意得：， 解得：， ∴当女性的身高为时，使用算法与算法算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确； 【小问2详解】 解：身高，男性算法①理想体重： 设实际体重为，，且 整理得 解得或(舍去，因) 实际体重 对照表格，为超重，故不正常． 【小问3详解】 解：设减重公斤，新体重为 正常范围 解得， 故 ∴他减重公斤数在时，体重是正常的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中阶段练习 九年级数学学科 （练习时间120分钟，满分100分） 学生须知 1．本练习卷共8页，共27道题 2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号 3．练习题答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他练习题用黑色字迹签字笔作答 一．选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 拋物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 5. 将一元二次方程转化为的形式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. ，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 10. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式：______． 11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 12. 如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是___________． 13. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为______． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是__________． 15. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 三、解答题（共68分，第17题10分，第18、20、22、23、24题，每题5分，第19、21、27题，每题6分，第25、26题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）点的坐标是_____；点的坐标是_____； （3）线段的长是_____． 20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （1）并画出图象； （2）求此抛物线的解析式； （3）结合图象，直接写出当时的取值范围． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 22. 如图，在中，，，交于点，为的中点，为的中点，连接．求证：． 23. 阅读下列材料： 题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断与的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出与的差，再 说明y的符号即可. 现给出如下利用函数解决问题的方法： 简解：可将y的代数式整理成，要判断y的符号可借助函数的图象和性质解决. 参考以上解题思路解决以下问题： 已知a，b，c都是非负数，a＜5，且，． (1)分别用含a的代数式表示4b，4c； (2)说明a，b，c之间的大小关系． 24. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）； （3）在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线过点． （1）用含的式子表示，并求抛物线与轴的交点坐标； （2）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线与直线交于点． ①若，，求的长； ②点在抛物线上运动过程中，线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 26. 如图，中，，，点，分别在，上（不与A，，重合），连接，． （1）如图，判断与的数量关系是_____； （2）如图，若，将绕点逆时针旋转，使点正好落在上，取的中点，连接，． 在图中，依题意补全图形； 判断，的数量关系和位置关系，并证明． 27. 体重为衡量个人健康的重要指标之一，下面为成年人利用身高计算理想体重的三种方式，由于这些计算方法没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 算法①：女性理想体重：身高身高，男性理想体重：身高身高； 算法②：女性理想体重：身高，男性理想体重：身高； 算法③：女性理想体重：身高，男性理想体重：身高，下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： 甲有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同， 乙有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同． 范围() 体重类别 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 （1）请你判断甲乙两人的叙述是否正确？并说明理由； （2）当身高的成年男性使用算法①计算理想体重，他的实际体重比理想体重大，并且他的实际体重与理想体重的差的平方等于实际体重的倍与理想体重的差；请你判断该成年男性实际体重的是否正常？并说明理由； （3）现在为了响应国家号召，该男子实施减肥计划，直接写出他减重公斤数在哪个区间体重是正常的？，，体重结果保留整数，保留一位小数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $