精品解析：辽宁沈阳市东北育才学校双语校区2026-2027学年高三上学期第一次模拟测试数学试题

东北育才学校双语校区2026-2027学年度上学期 高三年级数学学科第一次模拟测试试题 一、单选题（每题5分，共40分，只有一项符合题目要求） 1. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 9 D. 3. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ） A. 10% B. 20% C. 30% D. 40% 5. 已知函数在（）上的最大值与最小值分别为M和m，则函数，函数图像的对称中心是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分共18分；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列有关函数的命题正确的是（ ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数” C. 满足对任意的都有成立，则 D. 若的定义域是，则的定义域为 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 11. 假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比为10%.记事件，事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设，则 D. 设，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 13. 若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数的取值范围是____________． 14. 2026年春节，甲，乙等5个人在一个遂宁东辰校友微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 四、解答题（解答题5道，共77分） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若在上有解，求实数的取值范围． 17. 某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． （1）求概率、； （2）设随机变量表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； （3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 18. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间． （2）函数，且． （ⅰ）证明：有唯一的极值点，且． （ⅱ）若为的零点，为的极值点，且，证明：． 19. 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才学校双语校区2026-2027学年度上学期 高三年级数学学科第一次模拟测试试题 一、单选题（每题5分，共40分，只有一项符合题目要求） 1. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 2. 设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式及等差数列性质求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】依题意，，则，而， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 3. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 4. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ） A. 10% B. 20% C. 30% D. 40% 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据列式求出x，进而可求出次品率． 【详解】设10件产品中有x件次品， 则＝＝， 所以x＝2或8. 因为次品率不超过40%，所以x＝2， 所以次品率为＝20%. 故选：B． 5. 已知函数在（）上的最大值与最小值分别为M和m，则函数，函数图像的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，构造奇函数，利用奇函数在对称区间上的最值之和为0求出，再将其代入，通过换元识别出奇函数结构，从而确定对称中心． 【详解】 ， 即，所以， 令，则， 所以为上奇函数， 在上的最大值与最小值的和为0， ∴，， 令，则，因为是奇函数，图象关于对称， 令，得，此时，故图象的对称中心为. 6. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，，消去，得. 7. 已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出函数的示意图，进而通过数形结合得到答案. 【详解】因为函数是通过函数向右平移2个单位得到且，，. 易知函数的对称中心为，又函数在上是减函数，则函数在上是减函数.作出示意图如下图： 则不等式的解集为：. 故选：C. 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意将问题转化为与函数的图象有两个交点，即有两个根，根据图象得到答案. 【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数 的图象有两个交点，即方程有两个根， 即：，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又在出的切线方程为，如图， 由图可知，要使方程有两个根，则或. 故选：B. 二、多选题（每题6分共18分；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列有关函数的命题正确的是（ ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数” C. 满足对任意的都有成立，则 D. 若的定义域是，则的定义域为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，偶函数的定义域关于原点对称，故区间端点满足 ，A正确. 选项B，若为奇函数，则对任意恒成立： 得到 ，得，可推出； 但时，，时，为偶函数，不是奇函数. 因此“为奇函数”是“”的充分不必要条件，B错误. 选项C，由，得关于点中心对称，即. 对配对： ， 令得，即，总和为，C错误. 选项D，的定义域为，即， 故，即的定义域为. 对，令，解得，即定义域为，D正确. 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合的单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对于A，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增. 若存在，使不等式成立， 等价于存在，成立，也即成立， 由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增， 故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确； 对于C，由可得， 因函数存在两个极值等价于有2个变号零点， 由，可得， 设，则， 则当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 故，且当，当， 则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点， 即得，也即，故没有最大值，即C错误； 对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数， 因，且，则， 由可得，即， 因是上的增函数，故， 又由，故， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确. 故选：ABD. 11. 假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比为10%.记事件，事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设，则 D. 设，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设元件总数为，寿命为年的元件数为，根据给定条件可得，进而求出，再结合条件概率公式及错位相减求和法逐项判断. 【详解】设元件总数为，寿命为年的元件数为，依题意，， 整理得，则， 两式相减得，，因此，而， 则数列是首项为，公比为的等比数列，， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，设， 则， ， 两式相减得 ，因此，D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 【答案】 【解析】 【详解】，即， 所以数列是公差为1的等差数列， 因为， 所以， 因此， 则， 所以数列的前项和. 13. 若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】分别在两函数上取点，求出其切线方程，由两切线是同一切线，可得，且此方程有两个大于0的解，设，将问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数确定的单调性及最值，作出图象，利用图象求解即可. 【详解】因为，所以， 设上的点为， 则过此点的切线方程为， 即； 因为， 所以， 设上的点， 则过此点的切线方程为， 即， 由题意可得， 整理得， 即， 由题意可得此方程有2个大于0的解， 设， 则， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 又当时，；当时，，且， 又因为直线与的图象有两个交点， 所以， 所以实数的取值范围为. 14. 2026年春节，甲，乙等5个人在一个遂宁东辰校友微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第n次发出红包的人是乙为事件，，则，且，由全概率公式可得，从而得出的递推关系，再凑配出等比数列后利用等比数列的通项公式求解. 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，，则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 四、解答题（解答题5道，共77分） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 时满足上式，所以； 【小问2详解】 当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，对其求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合导数与单调性关系及有解条件即可求解. 【小问1详解】 当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . 【小问2详解】 ，， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】  ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则  ， 令 ，则， 所以  在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 17. 某空军基地进行发射炮弹演习训练，分成甲乙两队进行对抗训练，已知无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，甲、乙两队空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗训练．经过数轮对抗训练后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，演习训练结束．假定各轮结果相互独立．记在1轮对抗中，甲队击中乙队目标为事件A，乙队击中甲队目标为事件B． （1）求概率、； （2）设随机变量表示经过1轮对抗后甲队与乙队击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； （3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，甲队多击中乙队目标两次的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）事件A表示甲队攻击乙队且乙队拦截失败；事件B为乙队攻击甲队且甲队拦截失败；而无障碍时甲、乙两队发射炮弹攻击对方目标与对方拦截事件为相互独立事件，根据独立事件的概率计算公式计算即可； （2）经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差包括随机事件：甲击中乙未击中，甲乙都击中对方，甲乙都未击中对方，以及甲未击中乙击中四种情况，由此取随机变量的取值计算概率即可； （3）根据3轮中，每轮都互不影响，故甲队与乙队击中对方目标次数之差可借助（2）中1轮的概率值进行计算． 【小问1详解】 记无障碍时甲队、乙队发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，， 甲队、乙队空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，． ， ． 【小问2详解】 经过1轮对抗，甲队与乙队击中对方目标数之差的可能取值为，，． ， ． ， 的概率分布为： 所以的数学期望． 【小问3详解】 记3轮对抗后训练结束为事件，记甲队比乙队多击中对方目标两次为事件． 记3轮对抗训练结束后甲队与乙队击中对方目标次数之差为， ， ， 所以， ，所以． 在3轮对抗后训练结束的条件下，甲队比乙队多击中对方目标两次的概率为． 18. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间． （2）函数，且． （ⅰ）证明：有唯一的极值点，且． （ⅱ）若为的零点，为的极值点，且，证明：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2）由已知，，，. 证明：（i），令，， 则，所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，. 根据零点存在定理，可知，使得，即. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 综上，有唯一的极值点，且. （ii）由（i）知，即，所以. 因为为的零点，且，所以，即，可得， 将代入中，可得，即. 因为当时，，又，所以， 所以. 对两边同时取对数得，移项可得. 综上，得证. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，再根据的取值范围讨论的单调性. （2）构造辅助函数，结合零点存在定理证明（i），利用（i）中结论，借助时，完成放缩即可证明（ii）. 【小问1详解】 已知函数，定义域为， ， 又，，所以恒成立. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 综上，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 19. 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）先求出至少发生2次信号误差的概率和恰好发生2次信号误差的概率，再根据条件概率公式计算； （2）分别计算出某时段内被激活的干扰源为3个的概率、连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个的概率，然后根据独立事件概率的计算方法求出测试3个时段后停止测试的概率； （3）由的分布列可求得，进而可确定随机变量的取值及概率，列出分布列，即可求得期望. 【小问1详解】 记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件， “该时段至少发生了2次信号误差”为事件， 由题知，，， ， ， ， 故所求概率为． 【小问2详解】 每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为， 3个全被激活的概率为． 连续测试3个时段后停止测试有2种情况： ①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个，概率为， ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个， 第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量均不为3个， 概率为， 故所求概率为． 【小问3详解】 因为的分布列为， ，，，的所有可能取值为2，4，8. 所以，所以， 所以，，， 的所有可能取值为4，6，8，10，12，16． ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 4 6 8 10 12 16 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $