22.3 勾股定理（第2课时）（教学课件）数学沪教版五四制2024八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理，通过回顾勾股定理引入逆命题，以“观察—猜想—归纳—验证”为学习支架，引导学生从旧知自然过渡到新知探究，构建完整知识脉络。 其亮点在于以严谨证明过程培养推理意识，结合绿地面积计算、台风影响等实际问题发展模型与应用意识，例题解析与步骤归纳助力学生形成逻辑思维，既提升学生数学思维与解题能力，也为教师提供高效教学支持。

第22章 直角三角形 22.3②勾股定理 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 22.1 直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形全等的判定 角平分线定理 角平分线定理的逆定理 22.2 角平分线 勾股定理 勾股定理的逆定理 22.3 勾股定理 勾股定理及逆定理的应用 学习目标 掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. 经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，体会数形结合的数学思想和由特殊到一般的研究问题方法. 知识回顾 复习回顾 什么是勾股定理？ 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. A B C a c b 数学表达式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则a2＋b2＝c2. 让我们一起探究它的逆命题！ 新课讲授 问题探究 问题思考 探究勾股定理的逆命题. ①写出勾股定理的逆命题. 如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 这是个真命题吗？怎么证明？ 新课讲授 问题探究 问题思考 探究勾股定理的逆命题. ②证明勾股定理的逆命题为真命题. 已知：如图，在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且a2＋b2＝c2. 求证：三角形ABC是直角三角形. 【分析】构造一个直角边长为a、b的直角三角形，证明它与△ABC全等. 新课讲授 问题探究 探究勾股定理的逆命题. 已知：如图，在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且a2＋b2＝c2. 求证：三角形ABC是直角三角形. 证明：作△A'B'C'，使C'=90°，B'C'=a，A'C'=b, 由勾股定理，可得 A'B'²=B'C'²+A'C'²=a²+b²． 又因为 a²+b²=c²，所以A'B'2=c²， 即A'B'=c. 因此，△ABC与△A ' B ' C '的三边对应相等，从而△ABC≌△A'B'C'. 由“全等三角形的对应角相等”，可得 ∠C= ∠ C'=90°，即△ABC是直角三角形. 新课讲授 我归纳！ 勾股定理逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 如果在三角形ABC中, BC2＋AC2＝AB2， 那么三角形ABC是直角三角形，∠C=90°. 学以致用 我会证！ 例1 在  中，，，。试判断  是不是直角三角形。 解 ∵ ，， ∴ 。 ∴  是直角三角形（勾股定理的逆定理）。 我们已经知道，，，如果正整数 、、 满足 ，那么 、、 称为一组勾股数。以勾股数中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形。 学以致用 我会证！ 例2 如图是一块四边形绿地的示意图，其中长24 m，长15 m，长20 m，长7 m，。求绿地的面积。 解：如图，连接 。 在  中，∵ , ∴ （勾股定理）。 ∴ , ∴ 。 在  中，∴ , ∴ . ∴ . ∴ （勾股定理的逆定理）。 归纳解题步骤和注意事项！ 新课讲授 我归纳！ 方法：首先识别三角形边长，验证是否满足 （其中  为最长边），以判断直角三角形；在综合题中，常需构造辅助线（如连接对角线）或利用垂直关系计算面积或边长。 注意事项： ①边长顺序很重要，需先确定最长边； ②勾股数（如3-4-5、8-15-17）可快速判断； ③非整数边长需精确计算平方； ④在复杂图形中，注意多个三角形的关联性，结合等腰三角形性质求解。 提升训练 我会证！ 练习1 判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”： (1) 以0.3、0.4、0.5为三边长的三角形不是直角三角形； （ ） (2) 以50、120、130为三边长的三角形是直角三角形。 （ ） (1) 分析：勾股数指满足  的正整数，但边长可缩放。0.3、0.4、0.5 是勾股数 3-4-5 的缩小，满足 ，故是直角三角形。说法错误。 作答： × (2) 分析：勾股定理的逆定理：若三边满足 ，则为直角三角形。计算 ，，相等，故是直角三角形。 作答： √ 提升训练 我会证！ 练习2 以下列  为边的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) ;(2) ; (3) 。 (1) 分析：需检查两边平方和是否等于第三边平方。这里最大边 ，计算 ，其他组合也不满足，故不是直角三角形。 作答： 不是直角三角形。 (2) 分析：先确定最大边 ，计算 ，满足勾股定理逆定理，故是直角三角形，直角为角 （对边 ）。 作答： 是直角三角形，角  是直角。 (3) 分析：最大边 ，检查 ，其他组合（如 ）也不相等，故不是直角三角形。 作答： 不是直角三角形。 提升训练 我会证！ 练习3 如图，在  中， 是边  上一点，。求  的长。 【分析】本题综合运用勾股定理及其逆定理。 首先，在  中，，，， 计算 ， 故  为直角三角形，，即 。 在等腰  中（），设 ，则 。 在  中，利用勾股定理：， 即 ，求解得 。 作答：  的长为  m。 课堂小结 我总结！ 勾股定理逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 如果在三角形ABC中, BC2＋AC2＝AB2， 那么三角形ABC是直角三角形，∠C=90°. 提升训练 我会证！ 提升1 ？如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 提升训练 我会证！ 提升1 ？如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ 【分析】 (1) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． （1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴，故是直角三角形． 提升训练 我会证！ 提升1 ？如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【分析】 (2) 根据三角形面积公式，确定四边形的面积，后面积乘以单价计算即可． （2）解：根据题意，得四边形面积为： =． 根据题意，得（元）． 提升训练 我会证！ 提升2 台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)经判断，海港会受到台风影响，请写出理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 提升训练 我会证！ 提升2 台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)经判断，海港会受到台风影响，请写出理由． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用三角形面积得出的长，进而得出海港受台风影响； （1）解： ，，， 是直角三角形，  过点作于，是直角三角形， ，即， ．距离台风中心及以内的地区会受到影响，而，海港会受到台风影响． 提升训练 我会证！ 提升2 台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． （2）直线上取点，连接，使， 则， ， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 提升训练 我会证！ 提升3 在中，，设为最长边，当时， 是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时， 为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 提升训练 我会证！ 提升3 在中，，设为最长边，当时， 是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； 【分析】（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 提升训练 我会证！ 提升3 在中，，设为最长边，当时， 是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时， 为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） 【分析】（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； 提升训练 我会证！ 提升3 在中，，设为最长边，当时， 是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (3)判断：当时，当为直角三角形时，则的取值为________；当为锐角三角形时，则的取值范围________；当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【分析】（3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，，； 当为钝角三角形时，，则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 感谢聆听 $