微专题 勾股定理的9类常考应用（专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

微专题 勾股定理的9类常考应用 目录 题型一、求梯子滑落高度 1 题型二、求旗杆高度 3 题型三、求大树折断前的高度 5 题型四、解决水杯中筷子问题 6 题型五、解决航海问题 8 题型六、求台阶上地毯长度 10 题型七、汽车超速问题 10 题型八、判断是否受台风影响 11 题型九、最短路径问题 13 题型一、求梯子滑落高度 例1如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-1】一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【变式1-3】如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 【变式1-5】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 题型二、求旗杆高度 例2如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为 尺． 【变式2-1】某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 【变式2-2】为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类环境的破坏，某地对刚刚种植的小树进行加固处理．如图，用两根木棒加固树干，木棒与树在同一平面内，且树杆与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，求树干的高度． 【变式2-3】小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离为15米；根据手中余线长度计算出为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 【变式2-4】小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 题型三、求大树折断前的高度 例3《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题，大意是：如图，一根竹子原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子从点B处折断，其竹梢C恰好抵地，抵地处离竹子底部的水平距离尺，已知，问折断处离地面的高度是 尺． 【变式3-3】2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【变式3-4】如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 题型四、解决水杯中筷子问题 例4如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 尺． 【变式4-4】如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【变式4-5】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 题型五、解决航海问题 例5一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行到达到目的地点，求出两点之间的距离． 【变式5-2】某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【变式5-3】如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【变式5-4】某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 题型六、求台阶上地毯长度 例6如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【变式6-2】在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需 ． 【变式6-3】如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【变式6-4】如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米． 题型七、汽车超速问题 例7新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【变式7-1】规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【变式7-2】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【变式7-3】滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 题型八、判断是否受台风影响 例8 2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【变式8-1】据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【变式8-2】如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【变式8-3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 【变式8-4】如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的O处，以每小时的速度向南偏东的方向移动，距台风中心的范围内是受台风影响的区域 (1)求A城与台风中心之间的最小距离； (2)求A城受台风影响的时间有多长？ 题型九、最短路径问题 例9如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【变式9-1】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm． 【变式9-2】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要 ． 【变式9-3】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【变式9-4】如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 【变式9-5】如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 2 / 43 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 勾股定理的9类常考应用 目录 题型一、求梯子滑落高度 1 题型二、求旗杆高度 5 题型三、求大树折断前的高度 9 题型四、解决水杯中筷子问题 13 题型五、解决航海问题 18 题型六、求台阶上地毯长度 23 题型七、汽车超速问题 26 题型八、判断是否受台风影响 28 题型九、最短路径问题 35 题型一、求梯子滑落高度 例1如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 【变式1-1】一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数量掌握勾股定理是解题的关键． 通过勾股定理计算初始墙高和移动后梯脚离墙的距离，求差即可得到移动距离． 【详解】初始状态：设墙高为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． 移动后：顶端下滑 2m，新墙高为 m， 设新梯脚离墙距离为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． ∴ 梯脚移动距离为m． 【变式1-2】如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 【变式1-3】如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，抓住鱼竿的长度不变是解题的关键． 在和中，分别用勾股定理求出和，即可求出渔线水平方向移动的距离的值． 【详解】解：在中， ，， ． 根据题意可得， ， 在中， ， ． 鱼线水平方向移动的距离是， 故选：B． 【变式1-4】消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 【答案】云梯底部需要向楼房靠近 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理以及梯长保持不变是解题的关键． 利用云梯的长度不变和勾股定理分别求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，则． 在中，， 由勾股定理可得． 在中，， 由勾股定理可得． 所以． 答：云梯底部需要向楼房靠近． 【变式1-5】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 题型二、求旗杆高度 例2如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为 尺． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 【变式2-1】某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为9米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设米，则绳子长为米，再由题意得出米，然后由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：设米，则绳子长为米， ∴米， 由题意得：四边形是长方形， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为9米． 【变式2-2】为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类环境的破坏，某地对刚刚种植的小树进行加固处理．如图，用两根木棒加固树干，木棒与树在同一平面内，且树杆与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，求树干的高度． 【答案】树干的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． 在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【详解】解：在中，， 在中，， ∴， 解得：， 所以， 即树杆的高度为． 【变式2-3】小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离为15米；根据手中余线长度计算出为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用． （1）先利用勾股定理求解，再进一步求解即可． （2）先求解，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，（米） ∴线段的长为米． （2）解：风筝沿方向再上升12米，则， 在中，， 由勾股定理得，， ， ∴他应该再放出8米线． 【变式2-4】小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）假设能上升，延长至点F，使，连接，在中， 利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图2，延长至点F，使，连接， ∴， 在中， ， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 题型三、求大树折断前的高度 例3《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：D． 【变式3-1】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 【变式3-2】《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题，大意是：如图，一根竹子原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子从点B处折断，其竹梢C恰好抵地，抵地处离竹子底部的水平距离尺，已知，问折断处离地面的高度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，得，再结合，，得，即可算出的值． 【详解】解：∵一根竹子原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子从点B处折断，其竹梢C恰好抵地， ∴， 则， ∵，， ∴在中，， 即， ∴， ∴折断处离地面的高度是尺． 故答案为： 【变式3-3】2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面3米处被折断 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设米，则米， 由题意得4米， 在中，， ∴， ∴，即米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 【变式3-4】如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 题型四、解决水杯中筷子问题 例4如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【变式4-1】如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 画轴露出筒口外的长度最少，即在筒内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：底面直径为，高为， 画轴露出筒口外的长度最少为：． 故选：A． 【变式4-2】如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出筷子最长和最短时在盒中所处的位置，然后计算求解． 根据题中已知条件，首先要考虑筷子放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长为；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在盒外的长度最短． 【详解】解：①当筷子放进盒子垂直于底面时露在盒外的长度最长，最长为； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长为，高为， 由勾股定理可得盒里面的筷子长为， 则露在盒外的长度最短为； 故选：B． 【变式4-3】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 尺． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺，根据题意可得芦苇底部到水池右边的距离为5尺，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形， ∴芦苇底部到水池右边的距离为5尺， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∴这根芦苇的长度是13尺， 故答案为：13． 【变式4-4】如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深是，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深是， 如图所示，在中，， 由勾股定理得， ∴， 解得， 答：水深是． 【变式4-5】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，则；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； 即尺，尺； 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 题型五、解决航海问题 例5一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 【变式5-1】如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行到达到目的地点，求出两点之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：根据题意得：， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 【变式5-2】某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)乙船沿北偏西方向航行 (2)有小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，等腰三角形三线合一的性质，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理逆定理得出，再根据角的和差关系即可得出，进而可求解． （2）过点O作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：根据题意可知：，（海里） ∵（海里），（海里）， ∴， ∴， ∴， 故乙船沿北偏西方向航行． （2）解：过点O作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有小时可以接收到信号． 【变式5-3】如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 【变式5-4】某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)会，影响的时间为1小时 【分析】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合，理解图示，掌握勾股定理的运用是关键． （1）根据方位角的定义，结合图形得到，是等腰直角三角形，是等腰三角形，，设，则，由此得到数量关系列式求解即可； （2）如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则，由含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，是等腰三角形，， 设，则， ∵（海里），， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则， ∴圆心M到直线的距离（海里）（海里）， ∴该船会受到影响， ∵，， ∴H为中点，且， ∴， ∴船受到影响时间为小时． 题型六、求台阶上地毯长度 例6如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图， 由题意得：， 故， 故选：B． 【变式6-1】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 【变式6-2】在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，平移性质，由题意得，，，根据勾股定理得，然后利用平移性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， ∴， 根据平移性质可得地毯的长度至少需， 故答案为：． 【变式6-3】如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 【变式6-4】如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理在实际生活中的应用，把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．将楼梯表面向下和向右平移，则地毯的总长等于两直角边的和，已知斜边和一条直角边，据勾股定理可求另一直角边． 【详解】解：如图： （米），（米）， （米）， ∴地毯长（米）． 故答案为：7． 题型七、汽车超速问题 例7新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】在中，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为小汽车行驶了， 所以它的速度为． 因为，且， 所以这辆小汽车超速了． 【变式7-1】规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速行驶 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．利用勾股定理求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴小汽车的速度为，即． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【变式7-2】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【变式7-3】滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 题型八、判断是否受台风影响 例8 2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 【变式8-1】据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 【变式8-2】如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)影响； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。 ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【变式8-3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）过点作于点，此时线段为点到线段的距离，通过三角形面积相等可求出线段的长，若，则海港受台风影响，若，则海港不受台风影响； （2）通过勾股定理可求出线段、的长，从而求出线段的长，利用路程除以速度即可求出时间； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，过点作于点构建直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是直角三角形． ∴， 即， 解得． ∵， ∴海港受台风影响． （2）设台风到达点时开始影响该海港，到达点时解除影响该海港， ∴． ∵于点， ∴， ， ∴． ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 【变式8-4】如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的O处，以每小时的速度向南偏东的方向移动，距台风中心的范围内是受台风影响的区域 (1)求A城与台风中心之间的最小距离； (2)求A城受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1) (2)6小时 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点A作于H，根据题意可求出，据此求出的长即可得到答案； （2）在直线上取两点R、T，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而得到的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点A作于H， ∴， ∵台风中心从点O向南偏东的方向移动， ∴， ∴ ∴A城与台风中心之间的最小距离是． （2）解：如图所示，在直线上取两点R、T，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ∴受台风影响的时间有小时． 题型九、最短路径问题 例9如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握“将圆柱侧面展开，把曲面问题转化为平面的线段长度问题，再用勾股定理求解”是解题的关键． 将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，过作于， 由题意可得，， 在中，由勾股定理得，斜边． 故答案为：． 【变式9-1】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开一最短路径问题和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及利用展开图得出结论是解题关键． 利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得：，， 在展开图1中，连接，过N作，由题意得：，，， 在中，由勾股定理得， 在展开图2中，连接，易得：， 在中，由勾股定理得， 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为． 故答案为． 【变式9-2】如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用；先将长方体的侧面展开，再根据“两点之间线段最短”和勾股定理计算得出结果即可． 【详解】解：将长方体展开，连接，如图， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上， 且， ∴， 根据两点之间线段最短，； 故答案为：． 【变式9-3】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 【变式9-4】如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析； (3)图见解析，． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积、轴对称-最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据三角形的高的定义画出图形； 取的中点，作直线即可； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作垂足为点，即为所求； （2）解：如下图所示，取线段的中点，作直线，直线即为所求； （3）解：如下图所示， 作点关于的对称点，连接交于点， 点即为所求， 由对称可知， ， 当点、、三点在同一条直线上时的值最小， 最小值的长． 故答案为： 【变式9-5】如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 2 / 43 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $