22.3-1 勾股定理 课件2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）八年级数学上册

PowerPoint Design 汇报人：XXX 时间：2025 第22章 直角三角形 22.3-1 勾股定理 CONTENTS 探索三角形三边的奥秘 01. 目录 勾股定理及证明 02. 例题分析 03. 小结 04. 探索三角形三边的奥秘 我们来研究直角三角形三边之间的关系。 定理 在直角三角形中，斜边大于直角边。 如图 22-3-1，已知：在 Rt△ACB 中，∠C=90°。 求证：BC<AB，AC<AB。 证明 根据“直角三角形的两个锐角互余”，可得∠A+∠B=90°，进而推出∠A<∠C。由“在三角形中，大角对大边”，可得 BC<AB，同理可知 AC<AB。 探索三角形三边的奥秘 如果把直角边 AC 看作点 A 到直线 BC 的垂线段，那么根据上述定理，可以推得： 定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简单地说，垂线段最短。 这样，直线外一点到直线的距离就是连接该点与该直线上各点所得线段长度的最小值。 探索三角形三边的奥秘 如图 22-3-2，在由边长为 1 的小正方形构成的方格网中，作出几个以格点为顶点的直角三角形（两条直角边的长分别记为 a、b，斜边记为 c)，分别以三角形的各边为正方形的一边，向三角形外作正方形，请计算每张图中各小正方形的面积并填写在表 22-1 中。 探索三角形三边的奥秘 1 4 5 4 9 13 9 16 25 16 25 41 勾股定理 直角三角形斜边的长可由两条直角边的长确定，它们有怎样的关系呢？ 在上面的例子中，都有 a²+b²=c²，一般地，我们有： 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 如图 22-3-3，在我国古代，称直角三角形的直角边中较短的一边为“勾”，较长的一边为“股”，斜边为“弦”， 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是几何中著名的定理，有着极其广泛的应用， 我们可以通过计算图形的合、移、补前后的面积来证明勾股定理。 关于面积有下面的性质： 如果两个图形全等，那么它们的面积相等; 一个图形的面积等于它的各部分面积的和。 勾股定理的证明 已知：直角三角形的两条直角边长分别为 a 及 b，斜边长为 c。 求证：a²+b²=c²。 下面是古代数学家的一种巧妙证法： 图 22-3-4(1) 和 (2) 都是边长为 (a+b) 的正方形，从中分别去掉四个全等部分的面积一定相等， 由上述关于面积的性质，可知这两个正方形中 剩余部分是面积相等，而图 22-3-4(1) 中剩余 的两个直角边长分别为 a 及 b 的正方形，而 图 22-3-4(1)中的剩余部分是边长为 c 的 正方形，因此，a²+b²=c²。 9 例题 例1 求边长为 1 的等边三角形的面积。 解 如图22-3-5，等边三角形ABC 的边长为 1，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D。 ∵ AB=BC=CA=1，AD⊥BC， ∴ BD=CD= ½ 在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°， ∴ AB²=AD²+BD²（勾股定理）， ∴ AD== = = ∴ S△ABC=BC·AD= x1x = 因此，边长为 1 的等边三角形的面积是。 如果等边三角形的边长为 a，那么其面积 S 是多少？(用含 a 的代数式表示?) 利用勾股定理求高 在直角三角形中，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。设高为h，则有h2+()2=a2,通过解方程可求出高h。 h2+()2=a2 解得 h= a 代入三角形面积公式计算面积 三角形的面积公式S= ×底×高，已知底为a，高为a，将数值代入公式即可求出面积S。 S = × × a= a2 11 课堂练习 22.3(1) 1、已知等边三角形 ABC 的边长为 3 cm，求 △ABC 的面积。 解 设等边三角形ABC的边长为a=3cm，过点A作AD⊥BC于点D。 因为等边三角形三线合一，所以D为BC中点，即BD=BC= a= cm 在Rt△ABD中，根据勾股定理AD== = = 根据三角形的面积公式S= ×底×高，已知底BC=3cm，高AD=， 所以S△ABC = × × = = × × 2 课堂练习 22.3(1) 2、如图，设每个小方格的面积为 1，分别画出一条以格点为端点且长度为 ，2 的线段。 课堂练习 22.3(1) 2、如图，涂色部分是两个直角边长为 a、b，斜边长为 c 的直角三角形，且两个斜边的夹角是直角，请利用这个图形验证勾股定理。 图形整体为直角梯形， S=（a+b)(b+a)= a2+ab+ b2 将图形分割为三部分，每部分的面积分别为： S① =S②= ab, S③= c2, 则S=2 x ab+ c2=ab+ c2 两次计算同一个图形的面积，则有， a2+ab+ b2=ab+ c2，即a2+b2=c2 小结 定理 在直角三角形中，斜边大于直角边。 定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 用字母表示为： a2+b2=c2 PowerPoint Design 汇报人：XXX 时间：2025 谢谢大家 $