22.3 勾股定理（第3课时）（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及逆定理，以知识回顾为起点，通过《九章算术》“引葭赴岸”古题导入，衔接作无理数线段、直角三角形判定及中线高计算等内容，构建从基础到应用的学习支架。 其特色在于融合传统文化与实际问题，如用“引葭赴岸”培养数学眼光，通过面积法求高发展数学思维，结合旗杆测量、商场选址强化模型意识。丰富例题与分层训练，助力学生提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

第22章 直角三角形 22.3③勾股定理 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 22.1 直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形全等的判定 角平分线定理 角平分线定理的逆定理 22.2 角平分线 勾股定理 勾股定理的逆定理 22.3 勾股定理 勾股定理及逆定理的应用 学习目标 熟练运用勾股定理和逆定理解决问题。 通过复习勾股定理和逆定理的相关内容，总结常用的数学思想方法。 经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，体会数形结合的数学思想和由特殊到一般的研究问题方法. 知识回顾 复习回顾 什么是勾股定理及其逆定理？ a2+b2=c2 数 直角三角形 直角边a、b，斜边c 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为c ,则有 三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角. 勾股定理的逆定理: 勾股定理: 形 应用勾股定理解决更多的新问题！ 学以致用 我会证！ 例1 请尝试解决《九章算术》“勾股”章第6题“引腹(jiā)赴岸”：“今有池方一丈，黄生其中央，出水一尺。引腹赴岸，适与岸齐。问水深、黄长各几何。” 有一个水面是正方形的水池，边长为1丈。如图一棵黄AB（竖直）生长在水池中央，黄露出水面的部分CB长1尺。如将黄引向（最近的）岸边（CD长为0.5丈，即5尺），黄尖恰好碰到岸（AB=AD）。求水深AC、黄长AB各是多少（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）？ 解 根据题意，如图，，，（尺），（尺）。 在  中，（尺）。由勾股定理，可知 ， 解得  (尺)。 于是  (尺)。 答：水深 12 尺，长度 13 尺。 归纳此类问题的解决方法！ 新课讲授 我归纳！   在运用勾股定理建立方程求解实际问题时，关键是将实际问题转化为几何模型，识别直角三角形（如 ），设未知数（如水深 ），利用勾股定理列出方程。 注意单位统一（1丈=10尺），并正确求解方程。此类问题常见于测量计算，需仔细分析图形关系，确保已知量和未知量对应准确。解题时，先理解题意，画出示意图，再应用勾股定理，最后验证结果合理性。 学以致用 我会证！ 例2 给出单位长度 1，作长为  的线段。 【分析】根据勾股定理，可知两条直角边长都为 1 的直角三角形，它的斜边长等于 ；两条直角边长分别为 、1 的直角三角形，它的斜边长就等于 。 作法 如图 。 (1) 作两条直角边长都为 1 的直角三角形 ，其中 ； (2) 以斜边  为一直角边，作另一直角边长为 1 的直角三角形 。 斜边  的长度是 ，它就是所求的线段。 利用勾股定理，给出单位长度1，如何作出长度为  (n是大于1的整数) 的线段？ 新课讲授 我归纳！  基于勾股定理用尺规作图画长度为  的线段的方法 从单位长开始，构造直角三角形，斜边为 ；再以此斜边为直角边，构造新三角形，斜边为 。推广到 ，需重复此过程。 注意事项：确保每个三角形都是直角三角形，直角边长度准确；作图时使用圆规和直尺，保持精度。此法体现了数形结合，适用于无理数线段的构造，关键在逐步应用勾股定理，避免计算错误。 学以致用 我会证！ 例3 如图在  中，，，， 是边  的中点。 (1) 求 、 两点的距离；(2) 求点  到直线  的距离。 【分析】运用勾股定理的逆定理可以判断  是直角三角形，于是转化为“求直角三角形斜边上的中线长和高”的问题。 解 在  中，∵ ∴  又 ∵ ∴ ∴ （勾股定理的逆定理）。 (1) 连接BM。∵  是边的中点，∴  （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即两点的距离为13。 学以致用 我会证！ 例3 如图在  中，，，， 是边  的中点。 (1) 求 、 两点的距离；(2) 求点  到直线  的距离。 【分析】运用勾股定理的逆定理可以判断  是直角三角形，于是转化为“求直角三角形斜边上的中线长和高”的问题。 (2) 过点作，垂足为。 ∴  ∴ ∴  归纳此类问题的解决方法！ 新课讲授 我归纳！  方法和注意事项 例6结合勾股定理逆定理、斜边中线定理和面积法。首先验证三角形是否为直角三角形（计算两边平方和等于第三边平方），然后利用斜边中线定理求中线长（中线等于斜边一半），最后用面积法求高（两种面积表达式相等）。 注意事项：勾股定理逆定理的应用条件需严格检查；面积法时，选择适当的底和高；计算时注意单位一致性。此类问题需灵活运用直角三角形性质，综合几何知识，步骤清晰，避免混淆中线和高线的概念。 提升训练 我会证！ 练习1 在  中，，，。求这个三角形的面积。 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形面积公式。首先验证三角形是否为直角三角形：计算 ，与  相等，故 。面积公式为 。 作答：∵ ，， ∴ ， 是直角三角形，。∴ 。答：三角形的面积是 210。 提升训练 我会证！ 练习2 如图，在  中， 是边  上一点，，，，。求  的长。 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理的应用。首先在  中验证 ，得 ，即 。然后在  中用勾股定理求 ，最后 。 答：在  中，∵ ，， ∴ ，∴ ，即 。 在  中，，，由勾股定理：，∴ 。 ∴ 。 答： 的长为 14。 提升训练 我会证！ 练习3 如图，公路上  两站相距 ， 为两村庄，，，垂足分别为 。已知  长为 ， 长为 ，现要在公路  上建一个商场 ，使得  两村庄到商场  的距离相等，那么商场  应建在离  站多远处？ 【分析】 本题考查勾股定理的应用和方程。设 ，则 。利用 ，在直角三角形  和  中分别表示  和 ，并令其相等，解方程求 。 作答：设 ，则 。 在  中，。 在  中，。 由 ，得  化简得：， 答：商场  应建在离  站 15 km 处。 课堂小结 我总结！ a2+b2=c2 数 直角三角形 直角边a、b，斜边c 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为c ,则有 三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角. 勾股定理的逆定理: 勾股定理: 形 提升训练 我会证！ 提升1 如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 解：由题意可得：，， 则，故， 解得：，则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 提升训练 我会证！ 提升2 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度；(2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 提升训练 我会证！ 提升2 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． 提升训练 我会证！ 提升2 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【分析】 ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． （2）过作，垂足为，则， ∴四边形为长方形，∴，∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴．答：小明需后退． 提升训练 我会证！ 提升3 （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为和的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ． （2）应用：如图，“赵爽弦图”是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ． （3）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． （4）方法应用：已知，均为正数，且，，是三角形的三边长．求这个三角形的面积（用含，的代数式表示） 提升训练 我会证！ 提升3 （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为和的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ． 【分析】 （1）利用给出的图形可推，，得到，要使的值最小，则的值最小，根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 解：（1），，，，则，， 在中，，在中，， ，要使的值最小，则的值最小， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 由勾股定理，得， 即的最小值是 （2）如图：设这个全等直角三角形的长边为，短边为，则，，， 由勾股定理得 ， 即，由勾股定理得， 设，，，， 可得，， ， 的最小值为的长，如图所示， ， ，，， ，，即的最小值为． 提升训练 我会证！ 提升3 （2）应用：如图，“赵爽弦图”是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ． 【分析】（2）设这个全等直角三角形的长边为，短边为，则，，， 由勾股定理得  ， 即，， 构造图形，设，，，， 可得，，  则有的最小值为的长，易证，得到，进而可求得的值． 提升训练 我会证！ 提升3 （3）类比迁移已知，均为正数，．求最大值． 【分析】 （3）构造图形如图，在矩形中，，，，，且于点，得到 ， ， 则有， 要使的值最大，需的值最大， 当，，三点共线时，的值最大，最大值为，易知，根据平行线分线段成比例，结合，可求得、的值，进而可求得的值． （3）构造图形:在矩形中，，，，，且于点，  在中， 由勾股定理，得 ， 在中， 由勾股定理，得， ， 要使的值最大，需的值最大，， 当，，三点共线时，的值最大，最大值为， ，，，，即，， ， 即，， ， ， ， ， 即的最大值为． 提升训练 我会证！ 提升3（4）方法应用：已知，均为正数，且，，是三角形的三边长．求这个三角形的面积（用含，的代数式表示） 【分析】（4）构造图形，使得，，，，，， 则满足 ， ，，可得的面积即为所求， 根据三角形的面积公式即可得到结论． （4）构造图形：，，，，，， ， ，， 的面积即为所求， ． 即这个三角形的面积为． 感谢聆听 $