7 单元培优卷(四)(第13章 勾股定理)-【单元金卷】2025-2026学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

12.如图，已知AC=BC,则数轴上点B所表示的数是 7单元培优卷（四） 单元全爸 (第13章) 效学八·上 时间：100分钟满分：120分 -2-10 题号 二 三 总分 C. 13.如图.一架云梯AB长13米，底端B离墙的距离BC为5米，当 4 梯子下滑到DE位置时.AD=2米，则BE= 米 得分 7.如图1，小彬制作了一个底面周长为10cm,高为5cm的圆柱粮 仓模型如图2，BC是底面直径，AB是高.现要在此模型的侧面贴 难心不慌，遇易心更馆 一圈彩色装饰带，使装饰带经过A,C两点（接头不计），则装饰带 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.一个直角三角形的两直角边长分别为3,4，则第三边长是( 的长度最短为 A.3 A.10m cm B.20m cm B.4 C.2/50 em D.√50cm 第13题图 第14题图 C.5 D.5或7 2.已知△ABC的三条边分别为a,b,c下列条件不能判定△ABC是 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm,若点P从 直角三角形的是 点A出发，以每秒2m的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时 A.∠A:∠B:∠G=3:4:5 B.a=5.b=12.c=13 间为ts(1>0).当点P运动到边AB时，1为 s时，△BCP C.∠A-∠B=∠C D.a2=b2-e2 为等腰三角形 3.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有 2 15.(淮南期末)如图.在Rt△ABC中.∠C=90°，AC=5.AB=13.点D 个大于或等于 第7题图 第8题图 ,先要假设这五个正数 在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB',AB'与边 8.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC的顶点都 BC交于点E.若△DEB'为直角三角形，则BD的长 A都大于兮 B.都小于5 在格点上，则∠ABC的度数为 () 是 A.120 B.135 C.1509 D.165° C没有-个小于号 D没有-个大于号 9.某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满 货物的卡车，外形宽都是2.0米，高分别为2.8米.3.1米，3,4米 4.如图.在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=13,AD=12.AC= 3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是（参考数据：2≈1,41 15,BD=5,则DC的长为 ( A.13 B.12 C.9 D.8 3=1.73,52.24) () 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） A.1 B.2 C.3 D.4 16.(8分)（洛宁期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=25,AC= 24,AM=AC,BW=BC,求MN的长 第4题图 第5题图 4.0米 5我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人 第9题图 第10题图 称其为“赵爽弦图”如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角 10.如图是两个直角边分别为a,b的直角三角形拼成的直角梯形 三角形拼接而成记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT 由AD≥BC推得a+b≥k(a+b).则k= 的面积分别为S,.S2,,若S,+5,+5,=21,则5，的值是( ( ) A.9.5 B.9 C.7.5 D.7 A.2 C.2 6.如图，在RL△ABC中，∠ACB=90°，利用尺规作图作∠BAC的平 分线AP,射线AP交BC于点E.若AG=3,BC=4,则GE的值为 二、填空题（每小题3分，共15分】 州 BE 11.已知一个三角形的三边长分别为5cm,3cm,2cm,则这个三角 形的面积为 cm. -37 -38 39 17.(9分)如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口0向东南方 20.(9分)（南阳期末）如图，在倾斜角为45°（即∠NMP=45)的山 22.(10分)如图，在长方形ABCD中，DC=6cm,E为CD上一点，现 向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口一 坡MN上有一棵树AB,由于大风，该树从点E处折断，其树顶B 将一边AD沿AE进行折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处， 个半小时后分别到达B,A两点，且AB=30海里.求乙轮船每小 恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m,AC=18m. 如果△ABF的面积为24cm2.那么CE的长为多少厘米？ 时航行多少海里。 (1)求这两棵树的水平距离CF: (2)求树AB的高度 D 45 18.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D, 23.(11分)【教材呈现】如下是华师版八年级上册数学教材有关勾 AF平分∠CAB.交CD于点E,交CB于点F若AC=12,AB=20. 股定理证明的部分内容 (1)求证：CE=CF: 把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A,E, (2)试着求出线段CE的长 D在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理 (1)请结合图1，写出完整的证明过程： (2)如图2，在等腰直角三角形ABC中，c2=a2+b2,∠BAC=90°， 21.(10分)(1)如图1，在△ABC中，AC=15,AD=9,CD=12,BC= AB=√8，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作 淡发※ 20,求△4BC的面积： △APD,使∠APD=90°，AP=PD.过点D作DE⊥BC于点E,若 (2)如图2，在△ABC中，AC=13,BC=20,AB=11,求△ABC的 DE=4,求BD的长 面积 19.(9分)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,AD=1,且 ∠B=90°. (1)求∠DAB的度数： (2)求四边形ABCD的面积. 40 41 42.OB=OC. .直线n是边AC的垂直平分线， .OA=OC...OA=OB. 又.·OH⊥AB,∴.AH=BH 9B【解析】车宽2米，.卡车能否通过，只要比 较距厂门中间1米处的高度与车高.如图，在 Rt△OCD中，由勾股定理可得CD=√OC-OD2= 图 √/22-12=3≈1.73（米），.CH=CD+DH≈1.73+1.6= (3)解：如图2，连结BD,BE. 3.33(米)，∴.高度小于等于3.3米的卡车可以通过此 .·AB=BC,∠ABC=120°，.∠A=∠C=30° 门，∴只有两辆卡车能通过此门故选B. ·边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂 直平分线交AC于点E, .DA=DB.EB=EC. ∴.∠A=∠DBA=30°，∠C=∠EBC=30°、 ·.∠BDE=∠A+∠DBA=6O°，∠BED=∠C+ ∠EBC=60°. ∠DBE=∠ABC-∠DBA-∠EBC=60°， -1.0水开 .△BDE是等边三角形 10.D【解析】由勾股定理，得AE=√a+b,DE= .·.AD=BD=DE=BE=EC √a+b,.AB=CE=a,∠B=∠C=90°，BE=CD=b, 又.AC=15,∴.DE=5. .△ABE≌△ECD(SAS),∴.∠AEB=∠EDC, 7单元培优卷（四）】 .∠EDC+∠DEC=∠AEB+∠DEC=90°，.∠AED= 90°，∴.△AED为等腰直角三角形，∴.AD=2AE= 0 快速对答案： √2（√a+b),又BC=a+b,AD≥BC, 1~5 CABCD 6~10 BCBBD 0 11.W5 12.√6-113.(/69-5) 0 2(va+b)≥a+b,√a+6≥2 (a+b), 0 14.5或4.75或5.315.7或2 0 3 ·么=子故选D勇 1.C2.A3.B4.C 11.w512.6-113.(√69-5) 5D【解析】设全等的直角三角形的两条直角边分 14.5或4.75或5.3【解析】在Rt△ABC中，∠ACB= 别为a,b且a>b,由题意可知，S1=(a+b)2,S2=a2+ 90°，AC=√AB2-BC=√/52-32=4(cm).①如图1， b2,S3=(a-b)2,因为S1+S2+S3=21,即(a+b)2+a2+ 当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，∴.AC+CB+ b2+(a-b)2=21,3(a2+b2)=21,所以3S2=21,所以 BP=4+3+3=10(cm),∴.t=10÷2=5(s);②如图2， S,的值是7.故选D. 当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，：PC=PB, .∠PCB=∠B,.∠ACB=90°，∴.∠A+∠B= 6.B【解析】连结DE..·∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ∠ACP+∠BCP=90°，.∠A=∠PCA,..AP=PC .AB=√32+4=5.由题意得AP平分∠BAC, .∴.∠BAE=∠CAE..·AD=AC,AE=AE,∴.△ADE≌ .PC=PB...PA=PB= 24B=2.5 cm,AC+CB+ △ACE,∴.DE=CE,∠ADE=∠ACE=90°.设DE=CE= x,则BE=4-x.在RL△BDE中，x2+(5-3)2=(4-x)2,解 BP=4+3+2.5=9.5(cm),.t=9.5÷2=4.75秒； ③如图3，当CP=CB=3cm时，作CD⊥AB于点 …B=43=5CE2 D,则△ABC的面积=。×4×3= 得x= 。故选B. 2 2X5XCD,.CD= 2=2…BE5= 2.4cm,在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD= 2 √BC2-CD2=√/32-2.42=1.8(cm),∴.PB=2BD= 7.C【解析】如图，圆柱的侧面展开图 3.6cm,.CA+CB+BP=4+3+3.6=10.6(cm),∴t= 为长方形，AC=A'C,且，点C为BB的中 10.6÷2=5.3(s).综上所述，t为5s或4.75s或 点40=5cm,4c-=子x10=5 5.3s时，△BCP为等腰三角形. 装饰带的长度最短为2AC=2√/AB+BC=2V5+5= 2√50(cm).故选C. $方法指导》转化法 解几何体表面上的最短距离问题的关键是转 化，即将空间问题转化为平面问题，根据平面上 5 “两点之间，线段最短”确定路径，连结起点与终点 1 图2 所得线段作为三角形的一条边，以此为边来构造 15.7或兮【解析】在R△ABC中，BC=VAB-4C= 26 直角三角形，利用勾股定理求最短路线长. 8B【解析】如图，延长CB交网格于，点E,连结AE. 12.分两种情况：①当∠EDB'=90°时，△DEB'为直角 由勾股定理，得AE=AB=√2+1卫=√5，BE= 三角形，如图1，过，点B'作B'F⊥AC交AC的延长线于 √/12+32=√10，.AE2+AB2=BE2,.△EAB是等腰 点F,由折叠的性质，得AB=AB'=13,BD=B'D=CF 设BD=x,则B'D=CF=x,B'F=CD=12-x.在Rt△AFB 直角三角形，且∠EAB=90°，.∠EBA=∠AEB= 45°，.∴.∠ABC=180°-∠EBA=135°.故选B. 中，由勾股定理，得(5+x)2+(12-x)2=132,即x2-7x=0, 变形得x(x-7)=0,解得x=0(舍去)或x=7,故 BD=7:②当∠DEB'=90°时，△DEB'为直角三角形 (2)Saam=Sar+5ac=24BBG+)AD. 如图2，此时点E与点C重合，由折叠的性质，得 AB=AB=13,则B'C=13-5=8,设BD=x,则B'D=x, CD=12-x,在Rt△B'CD中，由勾股定理，得(12-x)2+ 16=2x2x2+x1x8=2+ 26 26 20.解：(1)由题可知MP∥CF,∠F=90° 82=x2,解得x= ,故BD= 综上所述，BD的长为7 3 3 ·.∠ACF=∠NMP=45°，.AF=CF. 6 在Rt△ACF中，CF2+AF2=AC2 3 .2CF2=18,.AF=CF=3m(负值已舍去). 答：这两棵树的水平距离CF为3m. (2)在Rt△CEF中，CE2=CF+EF, .CE=√32+4=5(m), . .∴.AB=AE+CE=1+5=6(m) 答：树AB的高度为6m. 21.解：(1).CD2+AD2=144+81=225,AC2=225 .CD+AD2=AC2,.△ADC是直角三角形， 网2 .∠ADC=90°，即CD⊥AB,∠BDC=90 16.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24,AB=25, .BD=BC2-CD2=16,..AB=AD+BD=25, .BC=√AB2-AC2=√/252-24=7. 又.·AM=AC=24,BN=BC=7. 六Sac=2AB.CD=150, ∴.MN=AM+BN-AB=24+7-25=6 (2)如图，过点C作CD⊥BA 17.解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向 交BA的延长线于点D. 航行， .CD⊥AB,.∴.∠CDB=90° ..AO⊥BO 设AD=x,则DB=x+11, ·.·甲轮船以16海里/时的速度航行了一个半小时： 由勾股定理，得CD2=AC ∴.0B=16×1.5=24(海里). 又.·AB=30海里， AD2,CD2=BC2-DB2, ·.AC2-AD2=BC2-DB2 ∴.在Rt△A0B中，A0=AB2-0B2=√302-24= 即132-x2=202-(x+11)2,解得x=5. 18(海里) :.乙轮船的速度为18÷1.5=12（海里/时）. .CD=√AC2-AD2=12, 答：乙轮船每小时航行12海里. 1 18.(1)证明：∠ACB=90°，CDLAB, 六S64c=2AB.CD=66. ∴.∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°. 22.解：在长方形ABCD中，.DC=6cm, AF平分∠CAB,.∠CAF=∠FAD, .∴.AB=6cm. .∴.∠CFA=∠AED. :△ABF的面积为24cm2, '∠AED=∠CEF,.∠CFA=∠CEF, 1 ∴.CE=CF. 2AB 4.:.BF=8 cm. . (2)解：如图，过点F作FG⊥AB于点G 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 .·AF平分∠CAB,.∠CAF=∠GAF. 在△ACF和△AGF中 AF=√AB2+BF=√J6+82=10(cm). '∠ACF=∠AGF=90°， 由折叠的性质可知AD=AF=10cm,DE=EF, ∠CAF=∠GAF, .BC=AD=10 cm. AF=AF. .CF=BC-BF=10-8=2(cm). .△ACF≌△AGF(AAS), 设CE=xcm,则DE=EF=(6-x)cm .AC=AG=12,CF=GF, 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 .·.BG=AB-AG=20-12=8 CF+CE2=EF ·.·∠ACB=90° 即22+x2=(6-x)2, 8 .BC=/AB2-AC2=/202-122=16. 解得x= 设CE=CF=x,则GF=x,BF=BC-CF=16-x. 在Rt△BFG中，由勾股定理，得BF2=BG+FG2,即 答：CE的长度为，cm (16-x)2=82+x2,解得x=6. 答：线段CE的长为6. 23.(I)证明：∴：△ABE≌△DEC, 19.解：(1)如图，连结AC ..∠ABE=∠DEC .·∠B=90°，AB=BC=2 ·.∠ABE+∠AEB=90°，∴.∠AEB+∠DEC=90°， ∴.AC2=8,∠BAC=45° ∴.∠BEC=90°，∴.△BEC是等腰直角三角形， 又.CD=3,AD=1, c ∴.AC+DA2=CD2 .△ACD是直角三角形， S6Bc=S梯形AD一-2S△As, .∴.∠CAD=90° ..∠DAB=45°+90°=135° 、、、c2(L+b)《a十b》2×、.·.c2=x2+-b2. 2 (2)解：如图，过点A作AH⊥BC于点H. 32 :△ABC是等腰直角三角形，AB=√8】 20.解：(1)100 .AH=BH=CH=2. (2)“D”部分所占的百分比为 ·∠APH+∠PAH=90°，∠APH+∠DPE=90°， 1-30%-20%-40%=10%,所 对应的圆心角度数为360°× ∴.∠PAH=∠DPE. 10%=36°. 又.·∠AHP=∠PED,AP=PD (3)“C”部分的人数为100× ..△APH≌△PDE. 40%=40,“D”部分的人数为 .·.PH=DE=4,AH=PE=2 100×10%=10. ∴.BE=BH+HP+PE=8, 补全折线统计图如右： ∴.BD=√BE2+DE=√64+16=√80. 21.解：(1)4014 (2)补全频数分布直方图如下： 8单元培优卷（五） 人数 0°0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙⊙0⊙0⊙0⊙0⊙0⊙08 快速对答案： 0 1~5 BDCAB 6~10 BCBBC 0 0 11.1212.14013.15014.24015.18°0 100120140160180 1.B2.D3.C4.A (3)108 5.B【解析】：该校血型为A型的学生有200人，占 40-4 总人数的40%，.学生总人数为200÷40%=500.又 (4)1600×40 =1440(名). .血型为AB型的人数占总人数的比例为1-(40%+ 答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以 30%+20%)=10%,.该校血型为AB型的学生人数为 上的人数为1440名. 500x10%=50.故选B. 22.解：(1)2538% 6.B7.C8.B9.B10.C (2)根据题意，得360°×(1-60%-10%)=108° 11.1212.14013.150 (3)甲校参加“话剧”的人数为25人， 14.240【解析】根据频数分布表可知b=1-30%-15% 乙校参加“话剧”的人数为(170-50)×30%=36（人）， 则乙校参加“话剧”的师生人数较多. 5%=50%,∴.300×(30%+50%)=240（人）. 23.解：(1)补全条形统计图如下： 15.18 参加文艺社团学生人数统计图 16.解：(1)0.15240.1060 人数 (2)49.5~59.5 (3)24 17.解：(1)80.1 (2)600×(0.55+0.1)=390(名). 答：该校八年级视力正常(4.7及以上为正常视 力)的人数有390名 D欢几 18.解：(1)200 (2)26 朗诵的人数为200-24-76-20=80（名）， (3)参加书法社团的学生人数占全班总人数的百 补全条形统计图如下： 分比为0 人数 0 100%=20% 80 80 (4)参加绘画社团的学生所在的扇形圆心角的度 70 60 数为360° 5014.49 50 9月考提升卷（二） 30 24 20 10 快速对答案： 1~5 DBBAD 6~10 DCCDA 绘而合听朗证书法财H类别 0 (2)369 11.7cm或25cm12.0.1813.54°14.25 80 (3)2000 =800(名) 0 155或 200 10 答：估计该校参加朗诵的学生有800名. 234前6D7 0600060 19.解：1)50× 4 =40(双). 8.C 【解析】如图，作DE⊥AB于点 E,AB=10,AC=8,∠C=90° 所以一月份B款运动鞋销售了40双， .BC=6.由作图可知，BD是 (2)设第一季度A,B两款运动鞋的销售单价分别 ∠ABC的平分线，∠C=90°， 为x元、y元. DE⊥AB,.设DE=DC=x,.SAAm= B·DE= 1 根据题意.得0r+分80W0:解得0。 D·BC,即}x10X 1y=500. 2 所以三月份的总销售额为400×65+500×26= x=- x(8-x)×6,解得x=3,即CD=3.故选C 39000(元)， 所以一季度的总销售额为40000+50000+39000= 9.D【解析】连结GQ,如 图，.·DG:GE=1:3, 129000(元) (3)从销售总额来看，由于B款运动鞋销售量逐 GE=GF,.设DG=x, GE=GF=3x.在Rt△DGF 月减少，导致总销售额减少，建议采取一些促销方 中，∠D=90°，.DF= 法增加B款运动鞋销售量.（答案合理即可）