1 单元培优卷(一)(第一章 勾股定理)-【单元金卷】2025-2026学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

△ABD的面积为90.则AC的长是 1单元培优卷（一） A.19 B.20 C.22 D.24 7.如图1，有一个由传感器A控制的灯，装在门上方离地高4.5m的 单元立卷 (第一章) 墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发 数学8年级-上册 时间：100分钟满分：120分 光如图2，若一个身高1.5m的学生走到D处，灯恰好自动发光， 题号 二 三 总分 则BD的长为 ( 第12题图 第13题图 得分 13.如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度 % 向北偏东35°航行，乙船向南偏东55航行.2小时后，甲船到达C 今天多一份拼将明天多几份欢笑 岛、乙船到达B岛，若C,B两岛相距40海里，则乙船的速度是 、选择题（每小题3分，共30分） 1 海里/时 1.下列各组数中，是勾股数的一组是 A.3 m B.4 m C.5 m D.7 m 14.(郑州期末)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型场地的示 A.1.2,2 B.32,42,52 8.如图，在小正方形的边长都相等的网格中，A,B,C是小正方形的 意图，该U型场地可以看成是长方体去掉一个“半圆柱“而成， C.5.12.13 D.6.6.6 顶点，则∠ABC的度数为 ( 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论不正 中间可供滑行部分的截面是直径为0m的半圆，其边缘B= A.459 B.50 C.55 D.60° 确的是 CD=20m,点E在CD上，CE=5m,一滑板爱好者从点A滑到点 A如果a2=b2-e2,那么△ABC是直角三角形且∠B=90 E,则他滑行的最短距离约为 m(边缘部分的厚度忽略不 B.如果∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么△ABC是直角三角形 计) C.如果a2:62:c2=9:16:25,那么△ABC是直角三角形 第8题图 第9题图 D.如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形 9.(重庆期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,将 3.如图.在四边形ABCD中.∠ABC=∠CDA=90°.分别以四边形 △ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕， ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为5，S,S 则EC的长为 () 和S4.若S,=1.S2=4,S3=3,则S,的值是 A.3 B.1.5 C.2.5 D.1 10.(许昌期末)在长方形ABCD中，分别按图中方式放人同样大小 的直角三角形纸片.如果按图1方式摆放，刚好放下4个：如果 第14题图 第15题图 按图2方式摆放，刚好放下3个若BC=4a.则按图3方式摆放 15.(郑州期中)如图.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.点 时.剩余部分CF的长为 D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB'D,边 A.1 B.2 C.3 D.4 AB与边BC交于点E,若△DEB'为直角三角形，则BD的长 4.如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）】 A锐角三角形 B钝角三角形 2 C.直角三角形 D,不能确定 A.34 B.2d 16.(8分)（平项山期末）小明在综合实践课上剪了一个四边形 5.有一辆装货的汽车，为了方便装运货物.使用了如图所示的钢架 ABCD,如图所示.连接AC,经测量AB=12.BC=9,CD=8, 其中∠ACB=90°，AC=1.2m,BC=0.9m,则AB的长为( AD=17,∠B=90°.求证：△ACD是直角三角形 A.1.2m B.1.5m C.1.8m D.15m 二、填空题（每小题3分，共15分） 暴 11.在△ABC中，已知AB=8,AC=15,BC=17,则这个三角形的面积 是 12.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，周定两端A和B, 州 第5题图 第6题图 然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点.若DA=DB=15, cm. 1 -2 3 17.(9分)如图，网格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都 20.(9分)如图是某“飞越丛林”俱乐部新打造的一款儿童游戏项 23.(11分)【问题情境】 在小正方形的格点上， 目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材 小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1.利用此图，可以验 (1)判断△ABC的形状： 打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台从正面看到 证勾股定理. (2)求△ABC的面积 的形状图.小敏经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米，于是小 【探索新知】 敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判晰小敏的猜想是否正 从面积的角度思考，不难发现： 确？如果正确，请写出理由：如果不正确，请求出立柱AB段的正 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积 确长度 从而得数学等式：(a+b)2=c2+4 2b,化简证得勾股定理：+ 62=c2 【迁移运用】 (1)如图1，若b=2a,则小正方形面积：大正方形面积= (2)现将图1中上方的两直角三角形沿斜边向内折叠，如图2 若a=4,b=6,此时空白部分的面积为： (3)如图3，将这4个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知 外围轮廓（实线）的周长为24.0C=3,求该风车状图案的面积： 18.(9分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4,BC=3, 21.(10分)（南阳期末）如图，在△ABC中，.AC=21,BC=13,D是AC (4)如图4，将8个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方 DB=1.8. 边上一点，BD=12,AD=16 (1)求CD的长： 形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S,S2,S, (1)求证：BD⊥AC: 若S,+S2+S,=40,求S的值 (2)求AB的长： (2)若E是边AB上的动.点，求线段DE的最小值 (3)△ABC是直角三角形吗？请说明理由. 22.(10分)如图，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边 19.(9分)如图，已知AC⊥BD,O为垂足，设m=AB+CD,n 上的点F处，BC=10cm,AB=8cm求： AD+BC,请比较m和n的大小 (1)FC的长： ※ (2)EF的长 一4 -5 6参考答案 单元金卷·数学 8年级上册 1单元培优卷（一） 所以AD=5cm,同理得BD=5cm,所以AD+BD AB=2AD-AB=10-8=2(cm),故橡皮筋被拉长了 2 cm. 01 快速对答案： 0 13.16 1~5 CBBCB 6~10 DBACA 14.25【解析】如图所示是其截面的展开图，AD=T· 11.6012.213.1614.25 15或号 0 20 0 =20(m),AB=CD=20m,DE=CD-CE=20-5= 9o0⊙0⊙0⊙⊙o⊙o⊙o⊙oo⊙⊙0⊙o0⊙oce9 15(m).在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE=202+152= 1.C2.B 625,所以AE=25m.故他滑行的最短距离约为25m. 3.B【解析】如图，连接AC.在Rt△ABC和Rt△ADC 中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2,AC2=AD2+CD2, 所以AB2+BC2=AD2+CD,即S,+S2=S,+S4,所以 S4=S1+S2-S3=1+4-3=2.故选B. 0 15.1或 【解析】根据勾股定理得，AB=5.分两种 4.C5.B 6.D【解析】因为△ABD的面积为90，DA=15,所以 情况：①当∠EDB'=90°时，如图1，由折叠可知， BD=B'D,∠ADB=∠ADB'.因为∠BDB'=90°，所以 2×15×BC=90,解得BC=12,在Rt△BCD中， ∠40B=∠A06=(360-∠B0B')=135,所以 CD2=BD2-BC2=152-12=81,所以CD=9,所以 AC=AD+CD=15+9=24.故选D. ∠ADC=45°.因为∠C=90°，所以CD=AC=3,所以 7.B BD=BC-CD=4-3=1;②当∠DEB'=90°时，此时 8.A【解析】如图，连接AC.设小正方形的边长为1， 点E与点C重合，如图2，由折叠可知，AB=AB'= 由勾股定理得AC2=5,BC2=5,AB2=10,则AC=BC, 5,所以B'E=AB'-AC=5-3=2.在Rt△DEB中，B 且AC2+BC2=AB2,所以△ACB是等腰直角三角形，且 E+ED2=B'D2,即2+(4-BD)2=BD2,解得BD= 5 ∠ACB=90°，故∠ABC=∠BAC= 2(180°-LACB)= 1 综上所述，BD的长是1或5 45.故选A. 1 9.C【解析】根据折叠可得BE=EB',AB'=AB=3.设 阁2 16.证明：因为∠B=90°，AB=12,BC=9 BE=EB'=x,则EC=4-x.因为∠B=90°，AB=3,BC= 所以AC2=AB2+BC2=144+81=225. 4,所以AC=5,所以B'C=5-3=2.在Rt△B'EC中，由 又因为AC2+CD2=225+64=289,AD2=289. 勾股定理得，x2+2=(4-x)2,解得x=1.5,所以BE= 所以AC2+CD2=AD2, 1.5,所以EC=4-1.5=2.5.故选C 所以△ACD是直角三角形. 10.A【解析】因为BC=4a,所以题图1中，BE=a,题 17.解：(1)在正方形网格中， 图2中，能=手a根福约殿定理行+ 4)2 由勾股定理可得AB2=12+2=5,AC2=12+22=5, 3“ BC2=12+32=10. 5 需。，所以直角三角形纸片的斜边长为 3a,所以 因为AB2+AC2=BC2,AB=AC, 所以△ABC是等腰直角三角形. 题图3中剩余部分CF的长为4a-2× 52 30=3.故 (25em-0·Ac=B- 2 选A. 18.解：(1)因为CD是AB边上的高， 11.60 所以△BDC是直角三角形， 122【解折】△MCD中，AG=2d=4m,GD= 所以CD2=BC2-DB2=32-1.82=2.42 所以CD=2.4. 3cm,根据勾股定理，得AD=AC2+CD2=25(cm), (2)由(1)可知△ADC也是直角三角形， 所以AD2=AC2-CD2=42-2.42=3.22, 的面积分别为S1,S2,S,S+S2+S,=40, 所以AD=3.2, 所以S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x, 所以AB=AD+DB=3.2+1.8=5 所以S,+S2+S3=3x+12y=40, (3)△ABC是直角三角形. 40 理由如下：因为AC=4,BC=3,AB=5, 所以x+4y= 3’ 所以AC2+BC2=42+32=52=AB2, 40 所以△ABC是直角三角形. 所以S2=x+4y= 31 19.解：因为AC⊥BD 所以AB2=OA2+0B2,CD2=0C2+0D2,AD2=0A2+ 2单元培优卷（二） 0D2,BC2=0B2+0C2, 0◇0◇0◇ 所以m-n=AB2+CD2-AD2-BC2=OA+0B2+0C2+ 快速对答案： 0D2-(0A2+0D+0B2+0C2)=0, 1~5 BCDBC 6~10 CCDCC 所以m=n. 11.-112.19.02 20.解：不正确. 0 13.a-e14.0-215.33 如图，延长FC交AB于点G, 则CG⊥AB,AG=CD=1米，GC=AD=15米 1.B2.C3.D4.B 5.C【解析】√48-√12=43-23=23=√12，因 为9<12<16，所以3<√12<4，所以√48-√/12的值在3 和4之间.故选C. 6.C【解析】根据题意得，阴影部分为正方形.设木 设BG=x米，则BC=(26-1-x)米. 块的长为x,根据题意，得(x-2)2=19,则x-2=± 在Rt△BGC中， √19，所以x=2+√19或x=2-√19<0（舍去），则 因为BG+CG=BC2, AD=2x=2√19+4.故选C. 所以x2+152=(26-1-x)2,解得x=8, 7.C 所以BA=BG+GA=8+1=9(米). 8.D【解析】如图，连接AD.因为AD=AB=2,所以DE= 答：小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度为 √22-1下=3，所以CD=2-√/3.故选D. 9米. 21.(1)证明：因为AC=21,AD=16, 所以CD=AC-AD=5. 因为BD2+CD2=122+52=169=BC2, 所以△BDC为直角三角形，且∠BDC=90°， 所以BD⊥AC. 9.C【解析】因为a=3+√5，b=3-√5，所以a+b=6, (2)解：当DE⊥AB时，DE的长度最短. ab=4,所以√a2-ab+b=√(a+b)2-3ab=√24=26. 在Rt△ABD中，AB2=AD+BD2=400, 故选C. 所以AB=20. 10.C11.-112.19.02 1 13.a-c【解析】根据题意，得a<b<0<c,所以a-c<0, SA)AD·DB)AB·DE,解得DE=9.6 c-b>0.所以原式=1b1-1a-cl-(c-b)+c=-b+a-c 所以线段DE的最小值为9.6. c+b+c=a-c. 22.解：(1)由折叠得AF=AD=BC=10cm. 14.√10-2【解析】根据题意得AC=CP,AB=1,BC= 在Rt△ABF中，因为AB=8cm, 3,∠ABC=90°.在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC= 所以BF2=AF2-AB2=102-82=36, /10,所以CP=10.因为，点C表示的数是-2，所 所以BF=6cm,所以FC=BC-BF=10-6=4(cm), (2)由折叠得EF=DE. 以点P表示的数为√10-2. 设DE=xcm,则EF=xcm,EC=(8-x)cm. 7533 8 【解析】由题意得7=V4+14+,↓3 在Rt△EFC中，由勾股定理得(8-x)2+42=x2, 2×48 解得x=5,即EF=5cm. 16解：(1)原式=2,27 (3-26+2)-√6 23.解：(1)5：9(2)28 33 (3)24÷4=6.设AC=x,由题意得， =√4+√-3+26-2-√6 (x+3)2+32=(6-x)2,解得x=1, =2+3-3+2W6-2-√6 所以2×(3+1)×3x4=24, =√6. 故该风车状图案的面积是24. (2)原武=6x3-2V15×3-6 (4)将正方形MNKT的面积设为x,将其余8个全 2 等的三角形每一个的面积设为y =3√2-65-32 因为正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT =-65.